《基本關(guān)系式》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)必修第二冊北師大】.docx

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第四章三角恒等變換4.1.1基本關(guān)系式◆教學(xué)目標(biāo)1．能根據(jù)三角函數(shù)的定義，利用單位圓，推導(dǎo)出三角函數(shù)的基本關(guān)系式.2．能正確利用基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值運(yùn)算，并且確定符號.3．通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，能把方程的思想、代數(shù)變換、分類討論的邏輯方法融入到解題中.◆教學(xué)目標(biāo)重點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的推導(dǎo)及應(yīng)用；已知一個角的一個三角函數(shù)值，利用基本關(guān)系式求其它的三角函數(shù)值．難點(diǎn)：已知一個角的一個三角函數(shù)值，求這個角的其它三角函數(shù)時符號的確定．◆教學(xué)過程◆一、新課導(dǎo)入溫故知新：請同學(xué)們回憶一下，我們之前學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時候，是如何對它們進(jìn)行定義的？給定任意角α，作單位圓，角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為，點(diǎn)的橫坐標(biāo)就定義為角α的余弦，即，縱坐標(biāo)定義為角的正弦，即.想一想：如果已知，我們?nèi)绾伟堰@個角的正弦值和正切值求出來呢？答案：如果我們能得出同角的三角函數(shù)之間的關(guān)系，就可以達(dá)到知一求二的效果了，接下來，我們一起來探究這個問題.設(shè)計(jì)意圖：通過對過往章節(jié)中學(xué)習(xí)的對三角函數(shù)的定義方法，引出本節(jié)課內(nèi)容中一個重要橋梁——單位圓，加深知識之間的聯(lián)系與銜接，幫助學(xué)生建立起知識網(wǎng)絡(luò)，與此同時，提出本節(jié)課的核心問題——已知一個角的一個三角函數(shù)值，如何求出其它的三角函數(shù)值呢？可以引起學(xué)生的思考． 二、新知探究問題1：小組討論：請大家閱讀下列常見特殊角的三角函數(shù)值，再結(jié)合剛才提到的單位圓中三角函數(shù)的定義，能否得出通一個角的正弦、余弦、正切這三個三角函數(shù)之間的關(guān)系？請?jiān)谛〗M內(nèi)討論一下這個問題.????0sin????01cos????10tan????0不存在-1追問1：大家能否用數(shù)學(xué)表達(dá)式將你發(fā)現(xiàn)的這個關(guān)系寫出來？答案：有不少細(xì)心的同學(xué)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，第一個關(guān)系就是我們之前第一章學(xué)習(xí)的正切函數(shù)的定義：，第二關(guān)系是正弦與余弦之間的關(guān)系：．同角的三角函數(shù)的兩條基本關(guān)系式：問題2：如何去理解關(guān)系式呢？答案：有同學(xué)想到了在我們初中學(xué)習(xí)三角函數(shù)的時候，特意強(qiáng)調(diào)了它們需要在直角三角形中使用，在直角三角形中ac根據(jù)定義可得：，bα則根據(jù)勾股定理：故進(jìn)入到高中，我們學(xué)習(xí)了單位圓中三角函數(shù)的定義.根據(jù)定義可知，角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是角α的余弦值，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)就是角α的正弦值，且點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為1.過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，構(gòu)造直角三角形： 根據(jù)勾股定理，易得：問題3：在使用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的時候，有什么地方需要注意的？答案：我們在使用這兩條基本關(guān)系的時候，要注意以下幾點(diǎn)：1.注意是否為“同角”，這里所謂的同角可以指終邊相同的角若，則2.公式成立的條件：（1）對任意實(shí)數(shù)都成立，例如：（2）要求式子有意義，這時.3.在書寫的時候要特別注意，或表示的平方，表示的正弦值.問題4：請大家判斷以下等式是否成立？如果不成立，理由是什么？（1）（2）（3）（4）（5）答案：根據(jù)兩條基本關(guān)系式的適用條件進(jìn)行判斷（1）都是，屬于同角，等式成立；（2）都是，屬于同角，但是要分類討論，若，即，右邊沒有意義，等式不成立，反之則成立；（3）都是，屬于同角，等式成立；（4）需要分類討論，若，則等式成立，反之不成立；（5）其中，屬于終邊相同的角，等式成立.設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生通過對單位圓的理解以及對一些常見角度的三角函數(shù)值得觀察，自主思考探究，進(jìn)而得出同角三角函數(shù)值之間的關(guān)系，并且要求它們嘗試用自己的方法去證明，鍛煉他們的發(fā)散性思維，然后還要再次強(qiáng)調(diào)使用時的注意事項(xiàng)，那么整個過程下來，學(xué)生可以在對這個基本關(guān)系式的探究當(dāng)中，進(jìn)一步地強(qiáng)化他們求參數(shù)取值范圍和分類討論的思想． 三、應(yīng)用舉例例1：已知，且角的終邊在第二象限，求和的值.分析：直接利用和代入求解即可.解：∵角的終邊在第二象限∴想一想：為什么題目特意強(qiáng)調(diào)角的終邊在第二象限？如果沒有這句話，答案會變嗎？y答案：因?yàn)橹衅椒降拇嬖?，角處于第幾象限需要結(jié)合具體的三角函數(shù)值和題目所給條件才能確定.xO如圖所示，2條過原點(diǎn)的紅色直線是關(guān)于軸對稱的，它們可以表示成4個終邊不同的角，但是不難發(fā)現(xiàn)，它們的和是相等的，這就是為什么例1中特意強(qiáng)調(diào)角所在的象限，就是為了確定的正負(fù)，從而得出正確的的值，如果沒有這個條件，那么就需要進(jìn)行分類討論了.例2：已知，求和的值.分析：注意，和例1有所不同，這里并沒有說明所在象限，故需要分類討論. 解：因?yàn)?，故角的終邊在第二或第三象限當(dāng)在第二象限時，，當(dāng)在第三象限時，，例3：已知，求和.分析：已知的情況下，需要列方程組求解，本題未說明所在象限，故需分類討論.解：根據(jù)題意，可得方程組由②式得將③代入②，可得解得因?yàn)?，故的終邊不在坐標(biāo)軸上所以 四、課堂練習(xí)1.（1）已知，且為第一象限角，求和的值.（2）已知，且為第三象限角，求和的值.（3）已知，且為第二象限角，求和的值.2.已知，求和的值.3.已知，求和.參考答案：1.（1）解：∵角的終邊在第一象限∴（2）解：∵角的終邊在第三象限∴（3）解：因?yàn)榻堑慕K邊在第二象限，故 根據(jù)題意可得：解得2.解：因?yàn)?，故是第三、第四象限角?dāng)在第三象限時，，當(dāng)在第四象限時，，3.解：因?yàn)椋士隙ㄓ幸饬x所以五、課堂小結(jié)1.三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，.使用時要注意是否為同角以及等式的成立條件. 2.已知一個角的其中一個三角函數(shù)值，我們就可以使用以上關(guān)系式求出其余的三角函數(shù)值，但是一定要注意根據(jù)題意確定角所在的象限，進(jìn)而確定三角函數(shù)值的正負(fù)，如果不能確定，則需要分類討論.六、布置作業(yè)教材第142頁習(xí)題4-1A組第1，2題．