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《關(guān)于矩陣相似的若干討論》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在學術(shù)論文-天天文庫。
1、陜西理工學院畢業(yè)論文關(guān)于矩陣相似的若干討論(陜西理工學院數(shù)學與計算機科學學院數(shù)教專業(yè)11級1班,陜西漢中)指導教師:[摘要]本文首先歸納總結(jié)了矩陣相似的簡單性質(zhì),其次討論了矩陣相似的條件及矩陣可對角化的條件,最后討論了矩陣相似的相關(guān)應用.[關(guān)鍵詞]矩陣;相似;特征向量;特征值1引言線性變換是線性空間到自身的特殊映射,當所考慮的線性空間是有限維時,線性變換與矩陣之間有一一對應的關(guān)系,而線性變換的矩陣是研究線性變換的重要基礎(chǔ).同一線性變換在不同基下的矩陣有相似關(guān)系,且矩陣相似對于線性變換的化簡有著重要作用.同時,在整個
2、代數(shù)學中,矩陣的相似占有著非常重要的地位,因此深入的掌握矩陣相似的相關(guān)內(nèi)容,體會矩陣相似在數(shù)學中的應用,對整個數(shù)學的學習和研究,將會產(chǎn)生非常重要的作用.本文是在文獻[1-6]的基礎(chǔ)上,歸納總結(jié)了矩陣相似的簡單性質(zhì),討論了矩陣相似的條件及矩陣可對角化的條件,最后討論了矩陣相似的相關(guān)應用.2預備知識定義2.1[1]由個數(shù)排成的行列的數(shù)表稱為矩陣,簡記為=.定義2.2[2]主對角線上的元素全是1，其余元素全是0的矩陣稱為n級單位矩陣,記為或者在不致引起含混的時候簡單寫為.定義2.3[1]設(shè)，=,如果都成立，則稱與相等，記
3、作.第11頁共11頁陜西理工學院畢業(yè)論文定義2.4[1]設(shè)，==,則矩陣==稱為與的和,記為.矩陣的加法運算滿足以下規(guī)律：結(jié)合律：交換律：定義2.5[2]設(shè),,那么矩陣,其中,稱為與的乘積,記為.矩陣的乘法適合結(jié)合律，但不適合交換律.定義2.6[2]矩陣稱為矩陣與數(shù)的數(shù)量乘積,記為,即用數(shù)乘矩陣就是把矩陣的每個元素都乘上.定義2.7[3]設(shè),稱為的轉(zhuǎn)置,記作，即.顯然矩陣的轉(zhuǎn)置是矩陣.定理2.1[3]設(shè)是數(shù)域上的矩陣,那么第11頁共11頁陜西理工學院畢業(yè)論文，即矩陣乘積的行列式等于它的因子的行列式的乘積.定義2.8
4、[4]設(shè)為任一階矩陣,稱中不等于零的子式的最高階數(shù)為該矩陣的秩.零矩陣的秩為零.定義2.9[1]級方陣稱為可逆的,如果有級方陣,使得,稱為的逆矩陣.定義2.10[4]設(shè)是矩陣中元素的代數(shù)余子式,矩陣=稱為的伴隨矩陣.定理2.2[5]設(shè)為矩陣,為可逆矩陣,為可逆矩陣,則秩（）=秩（）=秩（）定義2.11[5]由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.引理2.3[6]對一個矩陣作一初等行變換就相當于在的左邊乘上相應的初等矩陣;對作一初等列變換就相當于在的右邊乘上相應的的初等矩陣.初等矩陣都是可逆的,它們的逆矩陣
5、還是初等矩陣.定義2.12[1]矩陣與稱為等價的,如果可以由經(jīng)過一系列初等變換得到.定理2.4[4]任意一個矩陣都與一形式為的矩陣等價,它稱為矩陣的標準形,主對角線上1的個數(shù)等于的秩（1的個數(shù)可以是零）.定理2.5[1]級矩陣為可逆的充分必要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積,即推論2.6[6]矩陣,等價的充分必要條件為存在可逆的級矩陣與可逆的級矩陣使.推論2.7[1]可逆矩陣總可以經(jīng)過一系列初等行變換化成單位矩陣.3矩陣相似的概念及其性質(zhì)定義3.1[2]設(shè)是數(shù)域上維線性空間的一組基,是第11頁共11頁陜西理工學院畢
6、業(yè)論文中的一個線性變換.基向量的像可以被基線性表出:用矩陣來表示就是（=（其中=,矩陣稱為在基下的矩陣.定理3.1[2]設(shè)是數(shù)域上維線性空間的一組基,在這組基下,每個線性變換按定義3.1[2]對應一個矩陣,這個對應具有以下性質(zhì):(1)線性變換的和對應于矩陣的和;(2)線性變換的乘積對應于矩陣的乘積;(3)線性變換的數(shù)量乘積對應于矩陣的數(shù)量乘積;(4)可逆的線性變換與可逆矩陣對應，且逆變換對應于逆矩陣.定理3.2[7]設(shè)線性變換在基，下的矩陣是,向量在基下的坐標是,則在基下的坐標可以按以下公式計算定義3.2[7]設(shè),
7、為數(shù)域上兩個級矩陣,如果可以找到數(shù)域上的級可逆矩陣,使得就說相似于,記作∽.相似是矩陣之間的一種關(guān)系,這種關(guān)系具有下面三個性質(zhì):(1)反身性:∽.(2)對稱性:如果∽,那么∽.如果∽,那么有使.令，就有所以.(3)傳遞性:如果∽,∽,那么∽.已知有,使,.令,就有,故∽.第11頁共11頁陜西理工學院畢業(yè)論文定理3.3[8]設(shè)線性空間中線性變換在兩組基（1）（2）下的矩陣分別為和，從基（1）到（2）的過渡矩陣是,于是,即于相似.定理3.4[8]線性變換在不同基下所對應的矩陣相似;反過來,如果兩個矩陣相似,那么它們可以
8、看作同一個線性變換在兩組基下所對應的矩陣.定義3.3[9]設(shè)是數(shù)域上線性空間上的一個線性變換,如果對于數(shù)域中一數(shù),存在一個非零向量,使得,那么稱為的一個特征值,而稱為的屬于特征值的一個特征向量.定義3.4[10]設(shè)是數(shù)域上一級矩陣,是一個文字.矩陣的行列式稱為的特征多項式,這是數(shù)域上的一個次多項式.確定一個線性變換的特征值與特征向量的方法可以分成以下幾步:（
