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《關(guān)于循環(huán)矩陣的討論》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在行業(yè)資料-天天文庫。
1、晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2008屆本科生畢業(yè)論文關(guān)于循環(huán)矩陣的討論 學(xué)生姓名：趙志梅（0405班）指導(dǎo)教師：張東艷摘要：本文給出了一種特殊的矩陣——循環(huán)矩陣，主要利用多項式生成矩陣的思想，初步研究了循環(huán)矩陣的性質(zhì)以及它在各個方面的應(yīng)用．關(guān)鍵詞：循環(huán)矩陣；行列式；逆矩陣；對角化晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2008屆本科生畢業(yè)論文DiscussiononCyclicalMatrixStudent:ZhaoZhimeiInstructor:ZhangDongyanAbstract：Thisessaygivesaspecialmatrixwhichiscalledcyclicalma
2、trix,andprimarilystudiesthecharactersofcyclicalmatrixanditsapplicationsindifferentaspectsaccordingtotheideaofformingmatrixthroughmultinomial．Keywords：cyclicalmatrix；determint；inversematrix；diagonalization晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2008屆本科生畢業(yè)論文目錄1.預(yù)備知識……………………………………………………………12.循環(huán)矩陣的性質(zhì)……………………………………………
3、………12.1性質(zhì)1………………………………………………………………12.2性質(zhì)2………………………………………………………………12.3性質(zhì)3………………………………………………………………23.循環(huán)矩陣的應(yīng)用……………………………………………………33.1循環(huán)矩陣的行列式的計算…………………………………………43.2循環(huán)矩陣的逆矩陣…………………………………………………63.3循環(huán)矩陣對角化……………………………………………………8參考文獻………………………………………………………………11致謝…………………………………………………………………12晉中學(xué)
4、院數(shù)學(xué)學(xué)院2008屆本科生畢業(yè)論文1.預(yù)備知識定義1 復(fù)數(shù)域上的階矩陣稱為階循環(huán)矩陣．定義2 設(shè)次多項式，為階矩陣，則稱為多項式關(guān)于矩陣的生成矩陣，為矩陣的次生成多項式．命題 令易知,都是階循環(huán)矩陣，稱為基本循環(huán)矩陣,且．是階單位矩陣，并記.任意一個階循環(huán)矩陣都可用線性表示；反之，如果可用線性表示，那么也一定是階循環(huán)矩陣．事實上,此處，.2.循環(huán)矩陣的性質(zhì)2.1 性質(zhì)1 若，都是階循環(huán)矩陣，那么也是階循環(huán)矩陣，且．證明設(shè);又因為（為非負(fù)整數(shù)）因而有這里是一個不高于次的多項式．得證．2.2 性質(zhì)2 若是階循環(huán)矩陣，且可逆，那么的逆矩陣也是階循環(huán)矩陣．證明由性質(zhì)
5、1，只要能找到階循環(huán)矩陣（為待定常數(shù)，）使得即可，其中為可逆循環(huán)矩陣．12晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2008屆本科生畢業(yè)論文 要使，就要且只要上述方程組是以為未知數(shù)，的轉(zhuǎn)置矩陣為系數(shù)矩陣的線性方程組，由于可逆，故．從而方程組有唯一的，而就是的逆矩陣，且是循環(huán)矩陣.推論設(shè)為階循環(huán)矩陣，且可逆，則的伴隨矩陣也是循環(huán)矩陣.證明，由性質(zhì)2，是循環(huán)矩陣，因此，，（且是常數(shù)）也是循環(huán)矩陣.2.3性質(zhì)3 任何一個階循環(huán)矩陣在復(fù)數(shù)域上都可以對角化，更進一步，必然存在一個復(fù)階可逆矩陣，它使所有階循環(huán)矩陣同時對角化.證明基本循環(huán)矩陣的特征多項式為，特征根為次單位根，.由于（），所
6、以可以對角化.的特征根為的特征向量依次為12晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2008屆本科生畢業(yè)論文故作矩陣 令 則由于為范德蒙行列式，當(dāng)時．從而可逆，得又是任意的，從而證明了性質(zhì)3的全部理論．由性質(zhì)3的證明可知，的全部特征根是，且 ?。普摗‰A循環(huán)矩陣可逆的充分必要條件為 12晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2008屆本科生畢業(yè)論文證明 若可逆，則即．反之亦成立．如果記的個列向量為，則，那么是所有的階循環(huán)矩陣共同的個線性無關(guān)的特征向量．3.循環(huán)矩陣的應(yīng)用3.1循環(huán)矩陣行列式的計算由循環(huán)矩陣的性質(zhì)3我們可知，基本循環(huán)矩陣右乘循環(huán)矩陣得即?。钟捎跒榉?/p>
7、得蒙行列式，故下面我們用另一種方法來證明對于任意一循環(huán)矩陣的行列式為．引理 設(shè)階方陣的特征根為，為任意多項式，則的特征根為證明根據(jù)題設(shè)有設(shè) 12晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2008屆本科生畢業(yè)論文則 現(xiàn)在把看作自由變量，在上式中用來代替則 即的特征根為那么對于循環(huán)矩陣 取基本矩陣，，其中所以的特征值為的根，設(shè)為令 則 由引理得，的特征根為 ?。畯亩 ?12晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院2008屆本科生畢業(yè)論文例已知循環(huán)矩陣，求解＝對于次單位根 分別為，，3.2 循環(huán)矩陣的逆矩陣設(shè)為一個階循環(huán)矩陣，將其列依次循環(huán)可得一系列循環(huán)矩陣，用，分別表示上述主對
8、角線上元素為的階循環(huán)矩陣.設(shè) ，12晉中學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)
