浙江省湖州市2020-2021學年高二下學期期末考試數(shù)學Word版含解析

《浙江省湖州市2020-2021學年高二下學期期末考試數(shù)學Word版含解析》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關內容在教育資源-天天文庫。

2020-2021學年浙江省湖州市高二（下）期末數(shù)學試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）.1．設全集為實數(shù)集R，集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≥2}，則A∩（?RB）＝（　　）A．{2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}2．已知函數(shù)，則f[f（2）]＝（　?。〢．B．2C．D．263．已知實數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜1，則ab，aa，ba的大小關系是（　?。〢．ab＜aa＜baB．aa＜ab＜baC．ba＜aa＜abD．ba＜ab＜aa4．已知，則＝（　?。〢．B．C．﹣3D．35．函數(shù)的最小正周期是π，若將該函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)圖象關于點對稱，則函數(shù)f（x）的解析式是（　　）A．B．C．D．6．設變量x，y滿足約束條件，則z＝|x﹣2y|的最大值與最小值的和是（　?。〢．3B．5C．6D．77．已知數(shù)列{an}滿足，，則a2021＝（　　）A．B．C．D．8．甲箱子里裝有3個白球和2個紅球，乙箱子里裝有3個白球和3個紅球，從這兩個箱子里分別隨機摸出一個球，設摸出白球的個數(shù)X的均值和方差分別為E（X），D（X），摸出紅球個數(shù)Y的均值和方差分別為E（Y），D（Y），則（　?。?/p>

1A．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y）B．E（X）＜E（Y），D（X）＞D（Y）C．E（X）＞E（Y），D（X）＝D（Y）D．E（X）＜E（Y），D（X）＜D（Y）9．某校三位同學報名參加數(shù)理化生四科學科競賽，每人限報且必須報兩門，由于數(shù)學是該校優(yōu)勢科目，必須至少有兩人參賽，若要求每門學科都有人報名，則不同的參賽方案有（　?。〢．51種B．45種C．48種D．42種10．若存在正實數(shù)x，y使得不等式成立，則x+y＝（　?。〢．B．C．D．二、填空題（本題共有7小題，其中多空題每空3分，單空題每空4分，共36分）11．在復平面內，復數(shù)z＝i（1+2i）（i是虛數(shù)單位）的虛部是　　，復數(shù)z的模等于　?。?2．一個暗箱內有標號是1，2，3，4，5的五個小球，現(xiàn)從箱中一次摸出兩個球，記下號碼后放回，如果兩個球的號碼和是5的倍數(shù)，則獲獎．若有5人參與摸獎，則恰有3人獲獎的概率是　　，獲獎人數(shù)的均值是　　．13．若數(shù)列{an}滿足a1＝3，，則an＝　　，數(shù)列{an?an+1}的前10項和是　?。?4．已知a∈R，函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|x﹣a|．若f（x）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)，則a＝　??；若f（x）≤3對一切實數(shù)x都成立，則a的取值范圍是　　．15．在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則角A的余弦值是　?。?6．已知O，A，B為平面上三點，若，，動點P和實數(shù)λ，μ滿足，1≤λ≤2，2≤μ≤4，則動點P軌跡的測度是　　.（注：當動點的軌跡是曲線時，其測度指其長度；當動點的軌跡是平面區(qū)域時，其測度指該區(qū)域面積．）17．若函數(shù)f（x）＝ex+1﹣ax+b﹣a（a，b為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）在x＝﹣1處取得極值﹣1，且當x＞﹣2時，f（x）+2＞k（x+2）恒成立，則整數(shù)k的最大值是　?。?、解答題（本大題共5小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+2bx+1，其圖象上點P（1，﹣4）處的切線的斜率是﹣5．（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[﹣1，3]上的最大與最小值．19．已知二項式的展開式中，前三項系數(shù)的和是．（Ⅰ）求n的值和展開式中所有項的系數(shù)和S；

2（Ⅱ）求展開式中含x的整數(shù)次冪的所有項．20．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的菱形，且AA1＝4，∠BAD＝120°，．（Ⅰ）求證：AC⊥BD1；（Ⅱ）求AB1與平面ACD1所成角的正弦值．21．如圖，點P是拋物線x2＝4y在第一象限內的動點，過點P作圓M：x2+（y﹣2）2＝4的兩條切線，分別交拋物線的準線l于點A，B．（Ⅰ）當∠APB＝90°時，求點P的坐標；（Ⅱ）當點P的橫坐標大于4時，求△PAB面積S的最小值．22．已知a＞0，f（x）＝ln（ax+b）．（Ⅰ）當直線y＝x與函數(shù)y＝f的圖象相切時，求實數(shù)b關于a的關系式b＝g（a）；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x恒成立，求ab的最大值；（Ⅲ）當a＝2，b＝1時，若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

3參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）.1．設全集為實數(shù)集R，集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≥2}，則A∩（?RB）＝（　?。〢．{2，3}B．{﹣2，﹣1，0，1}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0}D．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}解：因為集合A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≥2}，所以?RB＝{x|x＜2}，則A∩（?RB）＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1}．故選：D．2．已知函數(shù)，則f[f（2）]＝（　?。〢．B．2C．D．26解：∵，∴f[f（2）]＝f（22+1）＝f（5）＝5+＝，故選：C．3．已知實數(shù)a，b滿足0＜a＜b＜1，則ab，aa，ba的大小關系是（　?。〢．ab＜aa＜baB．aa＜ab＜baC．ba＜aa＜abD．ba＜ab＜aa解：∵0＜a＜b＜1，y＝ax在R上是減函數(shù)，∴ab＜aa，又∵y＝xa在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴aa＜ba，故選：A．4．已知，則＝（　?。〢．B．C．﹣3D．3解：已知，故cosα＝2sinα，所以tanα＝；

4故＝．故選：B．5．函數(shù)的最小正周期是π，若將該函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)圖象關于點對稱，則函數(shù)f（x）的解析式是（　　）A．B．C．D．解：∵最小正周期T＝＝π，∴ω＝2，∴f（x）＝sin（2x+φ），將其向左平移個單位長度后得到y(tǒng)＝sin[2（x+）+φ]＝sin（2x++φ），∵該函數(shù)的圖象關于點對稱，∴sin[2?（﹣）++φ]＝sin（﹣+φ）＝0，∴﹣+φ＝kπ，k∈Z，即φ＝+kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．故選：A．6．設變量x，y滿足約束條件，則z＝|x﹣2y|的最大值與最小值的和是（　?。〢．3B．5C．6D．7解：由約束條件作出可行域如圖，

5聯(lián)立，解得A（3，4），聯(lián)立，解得B（，﹣）．作出直線x﹣2y＝0，由圖可知，平移直線至A時，x﹣2y有最小值﹣5，至B時，x﹣2y有最大值3．∴z＝|x﹣2y|的最大值為5，最小值為0，和為5．故選：B．7．已知數(shù)列{an}滿足，，則a2021＝（　　）A．B．C．D．解：因為，則，又，則，所以數(shù)列是首項為2，公差為1的等差數(shù)列，則，所以，則a2021＝．故選：D．8．甲箱子里裝有3個白球和2個紅球，乙箱子里裝有3個白球和3個紅球，從這兩個箱子里分別隨機摸出一個球，設摸出白球的個數(shù)X的均值和方差分別為E（X），D（X），摸出紅球個數(shù)Y的均值和方差分別為E（Y），D（Y），則（　　）

6A．E（X）＞E（Y），D（X）＞D（Y）B．E（X）＜E（Y），D（X）＞D（Y）C．E（X）＞E（Y），D（X）＝D（Y）D．E（X）＜E（Y），D（X）＜D（Y）解：由題意，甲箱中摸到白球的概率為，紅球的概率為，乙箱中摸到白球的概率為＝，紅球的概率為＝，由題意可知X的可能取值為0，1，2，所以P（X＝0）＝×＝，P（X＝1）＝×+×＝，P（X＝2）＝×＝，所以E（X）＝0×+1×+2×＝，D（X）＝（﹣0）2+×（﹣1）2+×（﹣2）2＝；由題意可知Y的可能取值為0，1，2，所以P（Y＝0）＝×＝，P（Y＝1）＝×+×＝，P（Y＝2）＝×＝，所以E（Y）＝0×+1×+2×＝，D（Y）＝×（﹣0）2+×（﹣1）2+×（﹣2）2＝；所以E（X）＞E（Y），D（X）＝D（Y）．故選：C．9．某校三位同學報名參加數(shù)理化生四科學科競賽，每人限報且必須報兩門，由于數(shù)學是該校優(yōu)勢科目，必須至少有兩人參賽，若要求每門學科都有人報名，則不同的參賽方案有（　?。〢．51種B．45種C．48種D．42種解：若三人有兩人報名數(shù)學競賽，并且兩人選報的學科都相同，則共有種情況，若這兩個人選報的另外的學科不同，則共有種情況，若三個人全部都報名數(shù)學競賽，則共有種情況，所以不同的參賽方案有：種情況，故選：A．10．若存在正實數(shù)x，y使得不等式成立，則x+y＝（　?。〢．B．C．D．解：記，

7當時，f′（x）＞0；當時，f′（x）＜0，所以f（x）在上單調遞增，在上單調遞減，．記，當時，g′（x）＜0；當時，g′（x）＞0，所以g（x）在上單調遞減，在上單調遞增，所以．由題意，又因為，所以，故．另解：正實數(shù)x，y，，令，當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，1）上單調遞減，（1，+∞）上單調遞增，所以f（x）max＝f（1）＝0，于是1+lnx﹣x?0?1+lnx?x，于是，當且僅當時不等式取等號，又，當且僅當時不等式取等號，，所以且，解得，所以．故選：D．二、填空題（本題共有7小題，其中多空題每空3分，單空題每空4分，共36分）11．在復平面內，復數(shù)z＝i（1+2i）（i是虛數(shù)單位）的虛部是　1　，復數(shù)z的模等于　　．解：∵z＝i（1+2i）＝i+2i2＝﹣2+i，

8∴復數(shù)z的虛部是1，∴．故答案為：1，．12．一個暗箱內有標號是1，2，3，4，5的五個小球，現(xiàn)從箱中一次摸出兩個球，記下號碼后放回，如果兩個球的號碼和是5的倍數(shù)，則獲獎．若有5人參與摸獎，則恰有3人獲獎的概率是　　，獲獎人數(shù)的均值是　1?。猓阂粋€暗箱內有標號是1，2，3，4，5的五個小球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼后放回，基本事件總數(shù)n＝＝10，兩個球的號碼和是5的倍數(shù)包含的基本事件有：（1，4），（2，3），共2個，則獲獎的概率為P＝，有5人參與摸獎，則獲獎人數(shù)X～B（5，），∴恰有3人獲獎的概率是P（X＝3）＝＝，獲獎人數(shù)的均值是E（X）＝＝1．故答案為：，1．13．若數(shù)列{an}滿足a1＝3，，則an＝　　，數(shù)列{an?an+1}的前10項和是　?。窘獯稹拷?；由，得＝，所以＝（n≥2），則an＝××…××a1＝3××××…×＝．令bn＝an?an+1，則bn＝?＝12（﹣），則數(shù)列{bn}的前10項和為b1+b2+…+b9+b10＝12（﹣+﹣+…+﹣）＝12（﹣）＝．故答案為：；．14．已知a∈R，函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|x﹣a|．若f（x）是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)，則a＝　1?。蝗鬴（x）≤3對一切實數(shù)x都成立，則a的取值范圍是　[﹣4，2]?。?/p>

9解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）＝|x+1|﹣|x﹣a|，其定義域為R，若f（x）是奇函數(shù)，則f（0）＝1﹣|a|＝0，可得a＝±1，若a＝1，f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|，是奇函數(shù)不是偶函數(shù)，符合題意，若a＝﹣1，f（x）＝|x+1|﹣|x+1|＝0，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，不符合題意，則a＝1；若f（x）≤3對一切實數(shù)x都成立，即|x+1|﹣|x﹣a|≤3，又由|x+1|﹣|x﹣a|≤|a+1|，必有|a+1|≤3，解可得：﹣4≤a≤2，即a的取值范圍為[﹣4，2]，故答案為：1，[﹣4，2]．15．在△ABC中，A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，則角A的余弦值是　?。猓骸?，所以＝，即＝，所以＝，所以sinAcosB﹣sinBcosA＝sinAcosB+sinBcosA﹣sinB，可得sinB＝2sinBcosA，因為sinB≠0，所以cosA＝．故答案為：．16．已知O，A，B為平面上三點，若，，動點P和實數(shù)λ，μ滿足，1≤λ≤2，2≤μ≤4，則動點P軌跡的測度是　4　.（注：當動點的軌跡是曲線時，其測度指其長度；當動點的軌跡是平面區(qū)域時，其測度指該區(qū)域面積．）解：由，，可得cos＜，＞＝＝，所以可得＜，＞＝，設A（2，0），B（1，），＝（x，y），所以，所以，

10可得，又因為1≤λ≤2，2≤μ≤4，所以可得做出可行域如圖所示的四邊形ABCD內，所以SABCD＝（4﹣2）（4﹣2）＝4，故答案為：4．17．若函數(shù)f（x）＝ex+1﹣ax+b﹣a（a，b為實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)）在x＝﹣1處取得極值﹣1，且當x＞﹣2時，f（x）+2＞k（x+2）恒成立，則整數(shù)k的最大值是　0?。猓阂驗閒（x）＝ex+1﹣ax+b﹣a，則f'（x）＝ex+1﹣a，又f（x）在x＝﹣1處取得極值﹣1，則有，解得a＝1，b＝﹣2，所以f（x）＝ex+1﹣x﹣3，經檢驗，f（x）符合題意，當x＞﹣2時，f（x）+2＞k（x+2）恒成立，即ex+1﹣x﹣1＞k（x+2）對x＞﹣2恒成立，令t＝x+1，則不等式等價于et﹣t＞k（t+1）對t＞﹣1恒成立，則對t＞﹣1恒成立，令h（t）＝，則有k＜h（t）min，

11因為，令m（t）＝tet﹣1，則m'（t）＝et+tet＝（t+1）et，所以m（t）在（1，+∞）上單調遞增因為m（）＝，m（1）＝e﹣1＞0，所以存在使得，即，又在（﹣1，t0）上，m'（t）＜0，則h'（t）＜0，則h（t）單調遞減，在（t0，+∞）上，m'（t）＞0，則h'（t）＞0，則h（t）單調遞增，所以h（t）min＝h（t0）＝＞0，又h（0）＝1，所以h（t）min∈（0，1），故k的最大正數(shù)為0．故答案為：0．三、解答題（本大題共5小題，共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）18．已知函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+2bx+1，其圖象上點P（1，﹣4）處的切線的斜率是﹣5．（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[﹣1，3]上的最大與最小值．解：（Ⅰ）f'（x）＝3x2﹣2ax+2b，由函數(shù)f（x）＝x3﹣ax2+2bx+1，其圖象上點P（1，﹣4）處的切線的斜率是﹣5．可知，解得a＝2，b＝﹣2．（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）＝x3﹣2x2﹣4x+1，f'（x）＝3x2﹣4x﹣4，由f'（x）＞0，f'（x）＜0及x∈[﹣1，3]得f（x）在上遞增，在上遞減，在[2，3]上遞增，所以；fmin（x）＝min{f（﹣1），f（2）}＝min{2，﹣7}＝﹣7．19．已知二項式的展開式中，前三項系數(shù)的和是．（Ⅰ）求n的值和展開式中所有項的系數(shù)和S；（Ⅱ）求展開式中含x的整數(shù)次冪的所有項．

12解：（Ⅰ）二項式的展開式的通項為，r＝0，1，2，…，n，故由已知得，在中，令x＝1，可得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，r＝0，1，2，…，6，令r＝0，2，4，6，得展開式中含x的整數(shù)次冪的所有項為，，，．20．已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是邊長為2的菱形，且AA1＝4，∠BAD＝120°，．（Ⅰ）求證：AC⊥BD1；（Ⅱ）求AB1與平面ACD1所成角的正弦值．解：（Ⅰ）證明：連BD，設BD∩AC＝O，連D1O．由ABCD為菱形知AC⊥BD，又D1A＝D1C，所以AC⊥D1O，又D1O∩DB＝O，D1O，DB?平面D1DB，所以AC⊥平面D1DB，又BD1?平面D1DB，所以AC⊥BD1；（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知可如圖建系（其中Oz軸在平面D1DB內），則A（0，1，0），C（0，﹣1，0），，

13并設D1（a，0，b），由，D1D＝4，得a2+1+b2＝12，，解得，，即，所以，，，設，為平面ACD1的法向量，則由，，得，﹣2y＝0，令，則，又，所以AB1與平面ACD1所成角θ的正弦值．法二：B1到平面ACD1的距離為D到平面ACD1的距離的兩倍，作DP⊥D1O于P，則由（Ⅰ）知DP⊥平面ACD1，所以DP為D到平面ACD1的距離，由條件可得，所以，所以，故由△D1DO的面積得，又，所以，所以，所以AB1與平面ACD1所成角θ的正弦值．21．如圖，點P是拋物線x2＝4y在第一象限內的動點，過點P作圓M：x2+（y﹣2）2

14＝4的兩條切線，分別交拋物線的準線l于點A，B．（Ⅰ）當∠APB＝90°時，求點P的坐標；（Ⅱ）當點P的橫坐標大于4時，求△PAB面積S的最小值．解：（Ⅰ）當∠APB＝90°時，由圓及圓的切線的性質知P到圓心M（0，2）的距離是，設P（2t，t2）（t＞0），則4t2+（t2﹣2）2＝8?t2＝2，所以，即．（Ⅱ）設P（2t，t2）（t＞2），切線方程為y﹣t2＝k（x﹣2t），即kx﹣y+t2﹣2kt＝0，則由，記PA，PB的斜率分別為k1，k2，則，．由，則xA＝+2t，同理得xB＝+2t，所以，所以＝，

15將，代入，得，令t2﹣4＝m＞0，則，當且僅當m＝5即t＝3時取等號（即點P（6，9），所以△PAB的面積的最小值是40．22．已知a＞0，f（x）＝ln（ax+b）．（Ⅰ）當直線y＝x與函數(shù)y＝f的圖象相切時，求實數(shù)b關于a的關系式b＝g（a）；（Ⅱ）若不等式f（x）≤x恒成立，求ab的最大值；（Ⅲ）當a＝2，b＝1時，若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：（Ⅰ）設切點（x0，ln（ax0+b）），則由得切線方程為，即，所以，，所以a＝alna+b，即b＝g（a）＝a（1﹣lna），（Ⅱ）由（Ⅰ）知ab≤a2（1﹣lna）．令h（a）＝a2（1﹣lna）（a＞0），則h'（a）＝2a（1﹣lna）﹣a＝a（1﹣2lna），故得h（a）在上遞增，在上遞減，所以，即ab的最大值為；

16（Ⅲ）當a＝2，b＝1時，f（x）＝ln（2x+1），而等價于，等價于，等價于．令，則首先應有F（0）＝﹣4m+4≤0?m≥1，此時由F（t）＝ln（2t+1）+2m（t﹣2et）+4及易證得t﹣2et＜0可知F（t）≤ln（2t+1）+2（t﹣2et）+4，又易得ln（2t+1）≤2t，et≥t+1，所以F（t）≤ln（2t+1）+2（t﹣2et）+4≤2t+2t﹣4（t+1）+4＝0成立，所以m的取值范圍是m≥1，即[1，+∞）．