遼寧省遼南部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)含答案

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2022-2023學(xué)年度高二上學(xué)期期末考試試題數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和是16，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為（）A.16B.32C.1D.【答案】A【詳解】解：因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)的和是16，所以，解得，所以，令得展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為．故選：A2.設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則實(shí)數(shù)（）A.3B.4C.1D.2【答案】D【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，所以由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，，.故選：D.3.隨機(jī)變量的分布列如下表所示：12340.10.3則（）A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4【答案】C【詳解】解：由分布列的性質(zhì)可得，，可得，所以．故選：C．4.“楊輝三角”是中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261

1年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，歐洲數(shù)學(xué)家帕斯卡在1654年才發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要晚近四百年.在由二項(xiàng)式系數(shù)所構(gòu)成的“楊輝三角”中(如下圖)，記第2行的第3個(gè)數(shù)字為a1?第3行的第3個(gè)數(shù)字為a2，……，第n()行的第3個(gè)數(shù)字為，則（）A.220B.186C.120D.96【答案】A【詳解】解：.故選:A.5.已知過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切，且與直線平行，則（）A.2B.1C.D.【答案】C【詳解】因?yàn)榍芯€與直線平行，所以切線方程可設(shè)為因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P(2，2)，所以因?yàn)榕c圓相切，所以故選：C6.某班準(zhǔn)備從甲、乙等5人中選派3人發(fā)言，要求甲乙兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有（）A.18種B.36種C.54種D.60種【答案】C【詳解】若只有甲乙其中一人參加,有種情況；

2若甲乙兩人都參加,有種情況，則不同的發(fā)言順序種數(shù)36+18=54種，故選：C.7.設(shè)A，B為兩個(gè)事件，已知，，，則（）A.0.24B.0.375C.0.4D.0.5【答案】B【詳解】由，，得，所以.故選：B8.某企業(yè)為了研究某種產(chǎn)品的銷售價(jià)格（元）與銷售量（千件）之間的關(guān)系，通過(guò)大量市場(chǎng)調(diào)研收集得到以下數(shù)據(jù)：16128424a3864其中某一項(xiàng)數(shù)據(jù)※丟失，只記得這組數(shù)據(jù)擬合出的線性回歸方程為：，則缺失的數(shù)據(jù)a是（）A.33B.35C.34D.34.8【答案】C【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)一定在回歸方程上，所以將，代入解得.故選：C.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有錯(cuò)誤答案得0分）9.已知樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是，方差為，則樣本數(shù)據(jù)的（）A.平均數(shù)是B.平均數(shù)是C.方差是D.方差是

3【答案】AC【詳解】由題意知：，，，，即的平均數(shù)為；，，即方差為.故選：AC.10.在一次對(duì)高三年級(jí)學(xué)生兩次模擬考試數(shù)學(xué)成績(jī)統(tǒng)計(jì)調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，兩次成績(jī)均得優(yōu)的學(xué)生占，僅第一次得優(yōu)的占，僅第二次得優(yōu)的占，則（）A.已知某學(xué)生第一次得優(yōu)，則第二次也得優(yōu)的概率為B.已知某學(xué)生第一次得優(yōu)，則第二次也得優(yōu)的概率為C.某同學(xué)兩次均未得優(yōu)的概率為D.某同學(xué)兩次均未得優(yōu)的概率為【答案】AC【詳解】設(shè)表示“第一次數(shù)學(xué)成績(jī)得優(yōu)”，表示“第二次數(shù)學(xué)成績(jī)得優(yōu)”，則，，，所以，，，A對(duì)B錯(cuò)，，C對(duì)D錯(cuò).故選：AC.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為，斜率為的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則（）A.拋物線的準(zhǔn)線方程為B.線段的中點(diǎn)在直線上C.若，則的面積為D.以線段為直徑的圓一定與軸相切【答案】BCD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，拋物線的準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)；

4對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，兩式作差得，可得，所以，，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，，解得，由韋達(dá)定理可得，，，解得，點(diǎn)到直線的距離為，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，由拋物線的定義可得，即等于點(diǎn)到軸距離的兩倍，所以，以線段為直徑的圓一定與軸相切，D對(duì).故選：BCD12.一個(gè)盒子內(nèi)裝有大小形狀完全相同的6個(gè)紅球，4個(gè)白球，則（）A.若從盒中隨機(jī)有放回任取2個(gè)球，顏色相同的概率為B.若從盒中隨機(jī)不放回任取2個(gè)球，顏色不相同的概率為C.若從盒中隨機(jī)有放回任取4個(gè)球，其中有白球的概率為D.若從盒中隨機(jī)不放回任取2個(gè)球，其中一個(gè)球是白球，另一個(gè)也是白球的概率為【答案】ABD【詳解】從盒中隨機(jī)有放回任取2個(gè)球,則取到白球、紅球的概率分別為，取到的球顏色相同的概率為，所以A正確；從盒中隨機(jī)不放回任取2個(gè)球，則有種取法，取到的球顏色不同有

5種，所以，顏色不相同的概率為，所以B正確；從盒中隨機(jī)有放回任取4個(gè)球，取到白球、紅球的概率分別為：，所以其中有白球的概率為，所以C不正確；從盒中隨機(jī)不放回任取2個(gè)球，其中一個(gè)球是白球?yàn)槭录?，另一個(gè)也是白球?yàn)槭录?，則，所以D正確.故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.的展開式中x2的系數(shù)為_______．【答案】84【詳解】（1+3x）6（1﹣x）3＝[1+3x+（3x）2++（3x）6]（1﹣3x+3x2﹣x3），故它的展開式中x2的系數(shù)為1×3+6×3×（﹣3）+×9＝84，故答案為：84．14.2020年是脫貧攻堅(jiān)決戰(zhàn)決勝之年，某市為早日實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，現(xiàn)將甲?乙?丙?丁4名干部派遣到三個(gè)貧困縣扶貧，要求每個(gè)貧困縣至少分到一人，則甲?乙2名干部不被分到同一個(gè)貧困縣的概率為___________.【答案】【詳解】每個(gè)貧困縣至少分到一人，4名干部分到三個(gè)縣有種方案，其中甲?乙2名干部被分到同一個(gè)貧困縣的方案有種所以甲?乙2名干部不被分到同一個(gè)貧困縣的概率為故答案為：15.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)為雙曲線右支上一點(diǎn)，線段交左支于點(diǎn)．若，且，則該雙曲線的離心率為___________．

6【答案】【詳解】因?yàn)椋O(shè)，則，（）由雙曲線的定義可得：，，則，因?yàn)?，所以，即，整理可得，解得：，所以，，，，在中，，在中，由余弦定理可得：即所以，所以?/p>

7故答案為：16.游樂場(chǎng)某游戲設(shè)備是一個(gè)圓盤，圓盤被分成紅色和綠色兩個(gè)區(qū)域，圓盤上有一個(gè)可以繞中心旋轉(zhuǎn)的指針，且指針受電子程序控制，前后兩次停在相同區(qū)域的概率為，停在不同區(qū)域的概率為，某游客連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)指針三次，記指針停在綠色區(qū)域的次數(shù)為，若開始時(shí)指針停在紅色區(qū)域，則______.【答案】【詳解】解：該游客轉(zhuǎn)動(dòng)指針三次的結(jié)果的樹形圖如下：則的分布列如下：0123故.故答案為：四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的軌跡方程（2）求點(diǎn)到直線的距離的最大值和最小值．

8【答案】（1）.（2）最大值為5，最小值為3.【小問1詳解】解：設(shè)點(diǎn)，，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，則，，即，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則有，所以點(diǎn)的軌跡方程為；【小問2詳解】解：由（1）知點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，點(diǎn)到直線的距離，故點(diǎn)到直線的距離的最大值為，最小值為．18.高三（1）班班主任李老師為了了解本班學(xué)生喜愛中國(guó)古典文學(xué)是否與性別有關(guān)，對(duì)全班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：喜歡中國(guó)古典文學(xué)不喜歡中國(guó)古典文學(xué)合計(jì)女生5男生10合計(jì)50已知從全班50人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡中國(guó)古典文學(xué)的學(xué)生的概率為．（1）請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整；（2）是否有的把握認(rèn)為喜歡中國(guó)古典文學(xué)與性別有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明理由；

9參考公式及數(shù)據(jù)：，其中．【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2）有的把握認(rèn)為喜歡中國(guó)古典文學(xué)與性別有關(guān)，理由見解析.【詳解】（1）依題意從全班50人中隨機(jī)抽取1人，抽到喜歡中國(guó)古典文學(xué)的學(xué)生的概率為，所以中國(guó)古典文學(xué)的學(xué)生有人，不喜歡中國(guó)古典文學(xué)有人，由此填寫列聯(lián)表如圖所示：喜歡中國(guó)古典文學(xué)不喜歡中國(guó)古典文學(xué)合計(jì)女生20525男生101525合計(jì)302050（2），故有的把握認(rèn)為喜歡中國(guó)古典文學(xué)與性別有關(guān).19.在如圖所示的五面體中，面是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面，，且，為的中點(diǎn),M為CD中點(diǎn)，（1）求證：平面；

10（2）求二面角余弦值；（3）求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【小問1詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)槠矫媸沁呴L(zhǎng)為2的正方形，，且，為的中點(diǎn)，所以，，，，，，，所以，因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄靠梢詾?，所以，即，又平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)?，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以，因?yàn)槠矫妫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以平面的法向量可以為?/p>

11設(shè)二面角為，由圖可知二面角為鈍角，則，所以二面角的余弦值為；【小問3詳解】由（2）知平面的法向量為，又，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離；20.中國(guó)是世界上沙漠化最嚴(yán)重的國(guó)家之一，沙漠化造成生態(tài)系統(tǒng)失衡，可耕地面積不斷縮小，給中國(guó)工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人民生活帶來(lái)嚴(yán)重影響隨著綜合國(guó)力逐步增強(qiáng)，西北某地區(qū)大力興建防風(fēng)林帶，引水拉沙，引洪淤地，開展了改造沙漠的巨大工程．該地區(qū)于2017年投入沙漠治理經(jīng)費(fèi)2億元，從2018年到2020年連續(xù)3年每年增加沙漠治理經(jīng)費(fèi)1億元，近4年投入的沙漠治理經(jīng)費(fèi)（億元）和沙漠治理面積（萬(wàn)畝）的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表所示：年份2017201820192020234524374752（1）通過(guò)散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（結(jié)果保留3位小數(shù)）（2）求關(guān)于的回歸方程；（3）若保持以往沙漠治理經(jīng)費(fèi)的增加幅度，請(qǐng)預(yù)測(cè)到哪一年沙漠治理面積可突破80萬(wàn)畝．參考數(shù)據(jù)：．參考公式：相關(guān)系數(shù)，，．【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）到2023年沙漠治理面積可突破80萬(wàn)畝.【詳解】解：（1）因?yàn)?，?/p>

12所以，，，所以．因?yàn)榕c的相關(guān)系數(shù)非常接近1，說(shuō)明與的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2），所以關(guān)于的回歸方程為．（3）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以到2023年沙漠治理面積可突破80萬(wàn)畝．21.一家醫(yī)藥研究所，從中草藥中提取并合成了甲、乙兩種抗“病毒”的藥物，經(jīng)試驗(yàn)，服用甲、乙兩種藥物痊愈的概率分別為.現(xiàn)已進(jìn)入藥物臨床試用階段，每個(gè)試用組由4位該病毒的感染者組成，其中2人試用甲種抗病毒藥物，2人試用乙種抗病毒藥物，如果試用組中，甲種抗病毒藥物治愈人數(shù)超過(guò)乙種抗病毒藥物的治愈人數(shù)，則稱該組為“甲類組”.（1）求一個(gè)試用組為“甲類組”的概率；（2）觀察3個(gè)試用組，用表示這3個(gè)試用組中“甲類組”的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）依據(jù)題設(shè)條件運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理求解；（2）求出隨機(jī)變量的分布列，再運(yùn)用隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望公式求解：試題解析：

13解：（1）設(shè)表示事件“一個(gè)試用組中，服用甲種抗病毒藥物有效的有人”，；表示事件“一個(gè)試用組中，服用乙種抗病毒藥物有效的有人”，.依題意有，，，，所求的概率為.（2）的可能值為0,1,2,3，其分布列為∵，∴數(shù)學(xué)期望.22.已知橢圓E：（）的離心率為，且點(diǎn)在橢圓E上.（1）求橢圓E的方程；（2）過(guò)橢圓E的右焦點(diǎn)F作不與兩坐標(biāo)軸重合的直線l，與E交于不同的兩點(diǎn)Ｍ，N，線段的中垂線與y軸相交于點(diǎn)T，求（O為原點(diǎn)）的最小值，并求此時(shí)直線l的方程.【答案】（1）；（2）24，或.【小問1詳解】橢圓E：的離心率e，則，即，又，解得，所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】

14由（1）知，，設(shè)直線l的方程為，，由消去x并整理得：，則，，，線段MN的中點(diǎn)，則線段的中垂線方程為：，令，得，即點(diǎn)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值24，此時(shí)直線l的方程為或.