浙江省溫州市浙南名校聯(lián)盟2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析

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2021學(xué)年高二年級(jí)第二學(xué)期溫州浙南名校聯(lián)盟期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)是虛數(shù)單位，，則實(shí)數(shù)（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】，故.故選：D.2.已知全集，集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用補(bǔ)集的定義可得正確的選項(xiàng)．【詳解】由補(bǔ)集定義可知：或，即，故選：D．3.若圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，半徑為1的扇形，則這個(gè)圓錐表面積與側(cè)面積的比為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用圓的性質(zhì)可以列弧長(zhǎng)與圓心角的等式，即可求出底面圓半徑，再分別算出圓錐表面積與側(cè)面積即可得到比值【詳解】由題，，，，故

1故選：C4.若正數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為（）A.6B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由，可得，則，化簡(jiǎn)后利用基本不等式可求得其最小值【詳解】因?yàn)檎龜?shù)滿(mǎn)足，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故選：C5.已知直線(xiàn)與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.

2【答案】B【解析】【分析】由直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系列出不等式求解即可得答案.【詳解】解：因?yàn)橹本€(xiàn)與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以圓心到直線(xiàn)的距離，即，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B.6.已知，求的值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式與同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡(jiǎn)求解【詳解】故選：A7.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的第項(xiàng)系數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，則，分析求解即可.【詳解】由的展開(kāi)式中只有第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大可知，則的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，

3則展開(kāi)式中的第項(xiàng)為，系數(shù)為，故選：B．8.已知函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)（其中），則（）A.1B.4C.16D.64【答案】C【解析】【分析】令，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，得到有一解，即.有兩解且，即.把轉(zhuǎn)化為，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入即可求解.【詳解】令，則.所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以.由題意必有兩個(gè)根，且.由根與系數(shù)的關(guān)系有：，.由圖可知，有一解，即.有兩解且，即.所以

4=16.故選：C二?多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.由這組數(shù)據(jù)得到新數(shù)據(jù)，其中，則（）A.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是B.新數(shù)據(jù)的方差是C.新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是D.新數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差是【答案】AD【解析】【分析】由平均數(shù)與方差的計(jì)算公式判斷【詳解】由題意得，由平均數(shù)與方差公式得的平均數(shù)是，方差是，標(biāo)準(zhǔn)差是，故AD正確，BC錯(cuò)誤故選：AD10.已知向量，，則下列命題不正確的是（）A.若，則B.若在上投影向量為，則向量與夾角為C.與共線(xiàn)的單位向量只有一個(gè)為D.存在，使得【答案】BCD【解析】【分析】利用平面垂直的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；利用投影向量的定義求出與夾角，可判斷B

5選項(xiàng)；利用與共線(xiàn)的單位向量為，可判斷C選項(xiàng)；由可知、方向相反，結(jié)合共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若，則，因?yàn)?，若，則，不合乎題意.所以，，所以，，即，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，由已知可得，，在上的投影向量為，則，因?yàn)椋瑒t，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，與共線(xiàn)的單位向量為，故與共線(xiàn)的單位向量為和，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，若存在存在，使得，則、方向相反，則，這與矛盾，D錯(cuò).故選：BCD.11.在等腰梯形中，，且，以下選項(xiàng)正確的為（）A.B.等腰梯形外接圓的面積為C.若雙曲線(xiàn)以為左右焦點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)，則其離心率為D.若橢圓以為左右焦點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)，則其離心率為【答案】ACD【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)、，即可求出線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而求出，利用勾股定理逆定理可得，即可得到等腰梯形外接圓的直徑即為，即可判斷B，根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律判斷A，根據(jù)橢圓、雙曲線(xiàn)的定義判斷C、D；

6【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)、，因?yàn)?，，，所以，所以，則，，所以，所以，即，同理可得，所以等腰梯形外接圓的直徑即為，所以外接圓的面積為，故B錯(cuò)誤；所以，故A正確；對(duì)于C：若雙曲線(xiàn)以為左右焦點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)，所以，所以，所以離心率，故C正確；對(duì)于D：若橢圓以為左右焦點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)，所以，所以，所以離心率，故D正確；故選：BCD12.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），下列四個(gè)結(jié)論中，正確的有（）

7A.存在點(diǎn)，使得平面B.存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為C.存在點(diǎn)，使得三棱錐的體積為D.不存在點(diǎn)，使得，其中為二面角的大小，為直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角【答案】ACD【解析】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項(xiàng)正誤.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、，設(shè)，即點(diǎn)，其中.

8對(duì)于A選項(xiàng)，假設(shè)存在點(diǎn)，使得平面，，，，則，解得，故當(dāng)點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，平面，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，由已知可得，則，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，易知平面的一個(gè)法向量為，由圖可得，，，，

9因?yàn)?，，則，、，且余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，D對(duì).故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間角的常用方法：（1）定義法：由異面直線(xiàn)所成角、線(xiàn)面角、二面角的定義，結(jié)合圖形，作出所求空間角，再結(jié)合題中條件，解對(duì)應(yīng)的三角形，即可求出結(jié)果；（2）向量法：建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算向量的夾角（兩直線(xiàn)的方向向量、直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量、兩平面的法向量）的余弦值，即可求得結(jié)果.三?填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則___________.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式，即可解得實(shí)數(shù)的值.【詳解】對(duì)任意的，，故函數(shù)的定義域?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，解得.故答案為：.14.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為是拋物線(xiàn)上過(guò)焦點(diǎn)的一條直線(xiàn)，且傾斜角為.求線(xiàn)段的值是___________.【答案】16【解析】【分析】首先求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，消元、列出韋達(dá)定理，再根據(jù)焦半徑公式計(jì)算可得；

10【詳解】解：拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)橹本€(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為，所以直線(xiàn)的方程為，設(shè)、，由，消去整理得，所以，所以；故答案為：15.設(shè)函數(shù)，其中，若存在唯一整數(shù)，使得，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】令，h（x）＝ax，求出后畫(huà)出、的圖象，數(shù)形結(jié)合建立不等式組，即可得解.【詳解】存在唯一整數(shù)，使得，即存在唯一整數(shù)，使得令，，則，∴當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；而；當(dāng)時(shí)，，所以且當(dāng)時(shí)，因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)x0使得．當(dāng)直線(xiàn)與相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，則切線(xiàn)的斜率為，又直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，所以此時(shí)由切點(diǎn)再切線(xiàn)上，可得，解得

11所以所以當(dāng)直線(xiàn)與相切時(shí)，因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，所以，則，此時(shí)不滿(mǎn)足條件.所以結(jié)合圖形知：當(dāng)時(shí)，有無(wú)數(shù)多個(gè)整數(shù)x0使得，故不滿(mǎn)足題意.又，由圖可知當(dāng)直線(xiàn)在與之間時(shí)，滿(mǎn)足條件的整數(shù)x0只有，所以滿(mǎn)足條件的的范圍是：故答案為：16.在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，組成一個(gè)新的數(shù)列，這樣的操作叫做這個(gè)數(shù)列的一次“拓展”.先將數(shù)列1，2進(jìn)行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到數(shù)列；第次拓展得到數(shù)列.設(shè)，其中___________，___________.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造方法先寫(xiě)出前面幾次數(shù)列的結(jié)果，尋找規(guī)律，再進(jìn)行推理運(yùn)算即可．【詳解】解：由題意可知，第1次得到數(shù)列1，3，2，此時(shí)，第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，此時(shí)，

12第3次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時(shí)，第4次得到數(shù)列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時(shí)，第次得到數(shù)列1，，，，，，2，此時(shí)，由上述列出的數(shù)列可得：，所以，所以，故答案為：；；四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿(mǎn)足（1）記，寫(xiě)出，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前2022項(xiàng)和.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的定義求得，求出，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得結(jié)論；（2）由得，，然后用并項(xiàng)求和法結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算．【小問(wèn)1詳解】，又【小問(wèn)2詳解】，則

1318.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月在北京市和張家口市聯(lián)合舉行.甲?乙是單板滑雪坡面障礙技巧項(xiàng)目參賽選手，二人在練習(xí)賽中均需要挑戰(zhàn)3次某高難度動(dòng)作，每次挑戰(zhàn)的結(jié)果只有成功和失敗兩種.（1）甲在每次挑戰(zhàn)中，成功的概率都為.設(shè)為甲在3次挑戰(zhàn)中成功的次數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）乙在第一次挑戰(zhàn)時(shí)，成功的概率為，受心理因素影響，從第二次開(kāi)始，每次成功的概率會(huì)發(fā)生改變，其規(guī)律為：若前一次成功，則該次成功的概率比前一次成功的概率增加；若前一次失敗，則該次成功的概率比前一次成功的概率減少0.1.求乙在3次挑戰(zhàn)中有且只有2次成功的條件下，第三次成功的概率.【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：（2）【解析】【分析】（1）由二項(xiàng)分布概率公式求解（2）由條件概率公式求解【小問(wèn)1詳解】由題意得，則，，，則的分布列為：0123【小問(wèn)2詳解】設(shè)“乙3次挑戰(zhàn)中有且只有2次成功”，“乙在3次挑戰(zhàn)中第三次成功”

1419.請(qǐng)從下面三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面橫線(xiàn)上，并作答.①；②；③.已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且___________.（1）求角；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，試判斷的形狀.注：如果選擇多個(gè)條件，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）等邊三角形【解析】【分析】（1）選①，利用正弦定理角化邊，再結(jié)合余弦定理即可求，即可求角；選②③，利用正弦定理邊化角，再進(jìn)一步利用三角函數(shù)和公式，，化簡(jiǎn)等式即可求，即可求角；（2）法一，構(gòu)建圓內(nèi)接，證明中線(xiàn)剛好過(guò)圓心，從而可判斷的形狀；法二，由余弦定理，列出關(guān)于的方程，再結(jié)合，可解出，又由，即可解出，即可判斷的形狀；【小問(wèn)1詳解】選①，，由正弦定理得，結(jié)合余弦定理，，又，；選②，，由正弦定理得，，，，又，，，；選③，，

15，，，，，，；【小問(wèn)2詳解】法一，如下圖，圓O內(nèi)接正及，，易得，由圓的性質(zhì)易得，又，故只有當(dāng)C與E重合時(shí)，，故為正三角形法二，由題意可知，.在中，，即.在中，，即.因?yàn)?，所以，所以，所以，得，所以為等邊三角?20.如圖，三棱錐中，平面平面，，點(diǎn)

16分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是的重心.（1）證明：平面；（2）若為正三角形，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由面面平行的性質(zhì)定理證明（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量求解【小問(wèn)1詳解】連接，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，從而點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，又平面平面，平面平面.又平面，平面平面，又平面平面.【小問(wèn)2詳解】連接是的中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面平面.

17連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，連接，則平面.為正三角形同理可得面，則如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè).，則.，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可取，又平面的一個(gè)法向量為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.在一張紙上有一圓，定點(diǎn)，折疊紙片上的某一點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，這樣每次折疊都會(huì)留下一條直線(xiàn)折痕，設(shè)折痕與直線(xiàn)的交點(diǎn).

18（1）證明：為定值，并求出點(diǎn)的軌跡的軌跡方程；（2）若曲線(xiàn)上一點(diǎn)，點(diǎn)分別為在第一象限上的點(diǎn)與在第四象限上的點(diǎn)，若，求面積的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)關(guān)系得到，利用雙曲線(xiàn)定義得到點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線(xiàn)，求出軌跡方程；（2）設(shè)出，利用得到，代入雙曲線(xiàn)方程中得到從而得到，表達(dá)出，利用對(duì)勾函數(shù)求出面積關(guān)于的單調(diào)性，求出最大值和最小值，得到面積的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，由點(diǎn)與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，且由雙曲線(xiàn)定義知，點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線(xiàn)，設(shè)雙曲線(xiàn)方程為：

19所以雙曲線(xiàn)方程為【小問(wèn)2詳解】由題意知，分別為雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)設(shè)，由，設(shè).，由于點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上又，同理，設(shè)的傾斜角為，則.由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；【點(diǎn)睛】圓錐曲線(xiàn)求解面積的取值范圍，要用一個(gè)變量表達(dá)出面積，然后利用基本不等式或求導(dǎo)，二次函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)等性質(zhì)求解面積的取值范圍

2022.已知（1）討論的單調(diào)性；（2）若在定義域上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分和兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）依題意參變分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可得到恒成立，即可得到恒成立，從而求出的取值范圍；【小問(wèn)1詳解】解：的定義域?yàn)?，所以，?dāng)，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，由解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】解：令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

21所以的取值范圍為；

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