浙江省S9聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析

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2022學(xué)年高一年級(jí)第二學(xué)期杭州S9聯(lián)盟期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由交集和補(bǔ)集的定義即可得出答案.【詳解】解：由題意得，∴．故選：D.2.設(shè)i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則為（）A.B.1C.3D.【答案】B【解析】【分析】由已知化簡(jiǎn)可得，，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)求出，即可得出答案.【詳解】由已知可得，，所以，，所以，.故選：B.3.在中，已知，則的（）條件

1A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理、三角函數(shù)的性質(zhì)及充分條件和必要條件即可求解.【詳解】若，則成立；在中，,得及正弦定理，即，所以成立.所以“”是“”的充要條件,即的充要條件.故選：C.4.已知，，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)，以及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得出和的關(guān)系，即可得出答案.【詳解】因?yàn)椋?，，所以?故選：C.5.在中，D為BC的中點(diǎn)，E為AC邊上的點(diǎn)，且，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知可推得，.然后根據(jù)，即可得出答案.

2【詳解】因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)椋?，所?所以，.故選：A.6.在中，已知，且，則該三角形的形狀是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.鈍角三角形【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用余弦定理先求出A，再運(yùn)用余弦定理求出與的關(guān)系即可.【詳解】由條件知：，，由余弦定理得，，又，是等邊三角形；故選：C.7.已知圖中正六邊形的邊長為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓O的直徑，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D

3【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，求得內(nèi)切圓和外接圓的半徑，再化簡(jiǎn)得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】因?yàn)檎呅蔚倪呴L為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，所以正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑，又由，因?yàn)?，即，可得，所以的取值范圍?故選：D8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，且對(duì)恒成立．則以下結(jié)論：①為偶函數(shù);②;③；④其中正確的為（）A.①②④B.②③C.②③④D.①③④【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知可得關(guān)于、對(duì)稱，且周期為4的偶函數(shù)，利用奇偶對(duì)稱性、周期性求對(duì)應(yīng)函數(shù)值及關(guān)系判斷各項(xiàng)正誤.【詳解】由題設(shè)，則，又，所以，即，故，即，綜上，關(guān)于、對(duì)稱，且周期為4的偶函數(shù)，①對(duì)；，②對(duì)；由軸對(duì)稱知：，由中心對(duì)稱知：，所以，③錯(cuò)；

4，④對(duì).故正確的有①②④.故選：A二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知實(shí)數(shù)，則下列不等式正確的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】舉特例即可說明A項(xiàng)；根據(jù)不等式的性質(zhì)，即可得出B、C兩項(xiàng)；作差結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可得出D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，取，，，，則，，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由已知可得，，，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，所?又，所以，，所以，故D項(xiàng)正確.故選：BCD10.下列各式中正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】利用正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷AB選項(xiàng)的正誤，利用余弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷D選項(xiàng)的正誤.

5【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，因?yàn)檎泻瘮?shù)在上為增函數(shù)，且，所以，，即，A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)，由于正切函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，，，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)在為減函數(shù)，且，所以，，即，C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，由于正弦函數(shù)在上為增函數(shù)，且，所以，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.對(duì)于任意兩個(gè)向量和，下列命題中正確的是（）A.若滿足，且與同向，則B.C.若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的定義判斷選項(xiàng)A，向量減法的三角形法則選項(xiàng)B、D，用向量數(shù)量積公式判斷C.【詳解】對(duì)于A，向量不能比較大小，故A不正確；對(duì)于B，根據(jù)向量加法運(yùn)算公式可知，當(dāng)向量與不共線時(shí)，兩邊之和大于第三邊，即

6，當(dāng)與同向時(shí)，等號(hào)成立，故B正確；對(duì)于C，若，，不存在實(shí)數(shù)，使，故C不正確；對(duì)于D，當(dāng)向量與不共線時(shí)，根據(jù)向量減法法則可知，兩邊之差小于第三邊，即，故D不正確.故選：B.12.在中，角的對(duì)邊分別是，若，則下列結(jié)論正確的的是（）A.B.是銳角三角形C.的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的2倍D.若，則的面積為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦定理可得，則可得；根據(jù)余弦定理可判斷B、C；若，根據(jù)面積公式可求出面積.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由及正弦定理得，可設(shè)，，，所以，，，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，由為最大邊，為最小邊，根據(jù)余弦定理可得，所以最大角是銳角，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，又，，由，，，可得，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，若，則，，

7由，得，所以的面積，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分．13.已知扇形的面積為，該扇形圓心角的弧度數(shù)是2，則扇形的弧長為____________cm．【答案】【解析】【分析】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，由已知可得出，求解即可得出答案.【詳解】設(shè)扇形的弧長為，半徑為，由已知可得，圓心角，面積，所以有，即，解得.故答案為：.14.復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是A，B，則____________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)兩角和的正切公式即可算出.【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，如下圖所示：易知；則.

8故答案為：115.已知函數(shù)，當(dāng)函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為研究與有三個(gè)交點(diǎn)，先求出時(shí)，，然后分以及，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)的圖象，即可得出答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，所以與有三個(gè)交點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，作出的圖象，如圖1所示，由圖象可知，此時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，作出的圖象，如圖2所示，由圖象可知，當(dāng)，即時(shí)，與有三個(gè)交點(diǎn)，即當(dāng)函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)時(shí)，.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.

916.已知中，，，，為的外心，若，則的值為____________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，O為外接圓的圓心，過O作，已知等式兩邊同乘以，結(jié)合數(shù)量積定義得，同理得，從而兩式聯(lián)立即可求得的值．【詳解】由題意可知，為的外心，設(shè)半徑為r，在圓O中，過O作，垂足分別為,因?yàn)?，兩邊乘以，即，的夾角為，而，則，得①，同理兩邊乘，即，，則得②，①②聯(lián)立解得，，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是將兩邊分別乘以，結(jié)合數(shù)量積定義化簡(jiǎn)得到關(guān)于的方程，求得答案.四、解答題：本題共6小題.共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A.

10（1）若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若點(diǎn)A在第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念，得出方程組，求解即可得出答案；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，得出點(diǎn)坐標(biāo)，由已知列出不等式組，求解即可得出答案.【小問1詳解】由已知，.因?yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以有，解得.【小問2詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可知.因?yàn)辄c(diǎn)A在第二象限，所以，解得，或.18.在中，角的對(duì)邊分別是，，，如圖所示，點(diǎn)D在線段AC上，滿足.（1）求A的值；（2）若，求的值.【答案】（1）（2）【解析】

11【分析】（1）由正弦定理可得.然后在的兩邊同時(shí)，乘以，整理可得.根據(jù)角的范圍，即可得出答案；（2）設(shè)，，由已知可知為等邊三角形，所以.在中，根據(jù)余弦定理可推得，，進(jìn)而根據(jù)余弦定理得出.然后根據(jù)向量數(shù)量積的定義，即可得出答案.【小問1詳解】由正弦定理可得，.又，所以，即，所以，所以因?yàn)?，所以，所以，所?【小問2詳解】設(shè)，，則，，在中，有，，可知為等邊三角形，所以.在中，有，，，，由余弦定理可得，，即，整理可得，解得，所以，.

12由余弦定理可得，.所以，.19.已知函數(shù)，，的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為，是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）由已知可得出，.根據(jù)推得，結(jié)合的范圍得出，即可得出答案；（2）由得出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間，然后令，，，分別求出單調(diào)區(qū)間與定義域的交集，即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，，所以，.又，所以有，所以.因?yàn)?，所以，所以?【小問2詳解】

13由可得，，所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.綜上所述，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.20.如圖，A，B是某海城位于南北方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東，B點(diǎn)南偏東的C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)正西方向且與B點(diǎn)相距100海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為80海里/時(shí).（1）求B，C兩點(diǎn)間的距離；（2）該救援船前往營救漁船時(shí)應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）【答案】（1）60海里（2）方向是南偏東，需要的時(shí)間為小時(shí).【解析】【分析】（1）求得度數(shù)，根據(jù)正弦定理即可求得答案；（2）確定的度數(shù)，由余弦定理即可求得的長，即可求得救援時(shí)間，利用余弦定理求出的值，即可求得應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行.【小問1詳解】

14依題意得，，所以，在中，由正弦定理得,,故（海里），所以求兩點(diǎn)間的距離為60海里.【小問2詳解】依題意得，在中，由余弦定理得，所以（海里），所以救搜船到達(dá)C處需要的時(shí)間為小時(shí)，在中，由余弦定理得,因?yàn)?，所以，所以該救援船前往營救漁船時(shí)的方向是南偏東﹒21.平面直角坐標(biāo)系中，已知.（1）若，P為x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若，且與的夾角，求m的取值范圍．【答案】（1）

15（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合共線的坐標(biāo)表示即可求解，（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，利用得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)以及不等式即可求解.【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?，，，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，即與共線，所以，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【小問2詳解】，所以，，，因?yàn)榕c的夾角為，所以恒成立，所以，又因?yàn)?，所以，所以，即，因?yàn)椋院愠闪?，令，，，，所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，

16即的最小值為5，所以，則的取值范圍是．22.已知函數(shù)（1）證明：函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）討論關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)．【答案】（1）證明見解析（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)單調(diào)性的定義分析證明；（2）原題意等價(jià)于函數(shù)與常函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，作出函數(shù)的圖像，數(shù)形結(jié)合處理問題.【小問1詳解】任取，則，令，且，則，，所以，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】關(guān)于x的方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，等價(jià)于函數(shù)與常函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由（1）可得：，令，且，則，，

17所以，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，結(jié)合（1）可得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，令，且，整理得，解得或，故函數(shù)的圖像如圖所示：可得函數(shù)的圖像如圖所示：對(duì)于函數(shù)與常函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，則有：當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)；當(dāng)或時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè)；當(dāng)時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè)．

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