浙江省杭州市源清中學2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學Word版含解析

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2022學年源清中學高一第二學期期中考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解出不等式，然后根據(jù)交集的定義可得答案.【詳解】因為，所以.故選：D2.已知，，，則a，b，c的大小關系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調性跟比較即可判斷.【詳解】因為，，，所以.故選：B3.下列各式中，值為的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用和差角公式、二倍角公式化簡各選項，計算判斷作答.【詳解】對于A，，A不符合；

1對于B，，B不符合；對于C，，C符合；對于D，，D不符合.故選：C4.已知是邊長為正三角形，為線段上一點（包含端點），則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以中點為坐標原點建立平面直角坐標系，設，利用平面向量坐標運算可得，利用二次函數(shù)值域的求法可求得結果.【詳解】以中點為坐標原點，正方向為軸可建立如圖所示平面直角坐標系，則，，，設，，，，則當時，；當時，；

2的取值范圍為.故選：A.5.衡量鉆石價值的4C標準之一是切工．理想切工是一種高雅且杰出的切工，它使鉆石幾乎反射了所有進入鉆石的光線．現(xiàn)有一理想切工的鉆石，其橫截面如圖所示，其中為等腰直角三角形，四邊形BCDE為等腰梯形，且，，，則（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】如圖，延長CD和BE交于點F，證明四邊形ABFC為正方形，再利用平面向量的線性運算求解.【詳解】解：如圖，延長CD和BE交于點F，由題得,所以四邊形ABFC為矩形，又,所以四邊形ABFC為正方形，又，所以分別是中點，所以．故選：C

36.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性質可知函數(shù)為偶函數(shù)，再結合時函數(shù)的符號即可得答案.【詳解】解：由題知函數(shù)的定義域為，關于原點對稱，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關于軸對稱，故排除B，D，當時，，故排除C，得A為正確選項.故選：A7.已知函數(shù)滿足，若在區(qū)間上恒成立，則實數(shù)

4的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調性，依題意恒成立，再根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質得到不等式組，解得即可.【詳解】解：因為且，又單調遞減，在定義域上單調遞增，所以在定義域上單調遞減，因為在區(qū)間上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故選：C8.函數(shù)在上單調遞減，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)三角恒等變換化簡的解析式，再結合單調區(qū)間即可求出的取值范圍.【詳解】由題意可得，因為，所以，令，由此可得，

5因為在上單調遞減，所以由此解得.故選：C.【點睛】已知三角函數(shù)的單調區(qū)間求參數(shù)，一般先求出函數(shù)的單調區(qū)間，然后利用集合間的關系求解.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.若向量滿足，則（）A.B.與的夾角為C.D.在上的投影向量為【答案】BC【解析】【分析】由模與數(shù)量積的關系求得，再根據(jù)數(shù)量積的性質確定與的夾角，判斷向量垂直，求解投影向量即可得結論.【詳解】因為，所以，則，故A不正確；又，，所以，即與的夾角為，故B正確；又，所以，故C正確；又在上的投影向量為，故D不正確.故選：BC.10.已知函數(shù)（，，，）的部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是（）

6A.的圖像關于點對稱B.的圖像關于直線對稱C.在上為增函數(shù)D.把的圖像向右平移個單位長度，得到一個奇函數(shù)的圖像【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖像求出函數(shù)解析式，然后利用三角函數(shù)的性質逐一判斷即可.【詳解】由已知，，，，，，又，，，對于A，，故A正確；對于B，令，，得，，時，，故B正確；對于C，時，令，在上遞增，故C正確；對于D，把的圖像向右平移個單位長度，得函數(shù)表達式為，它是偶函數(shù)，故D錯誤.

7故選：ABC.11.設，，且，則（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式可判斷A選項；求出的取值范圍，可得出的取值范圍，可判斷B選項；利用二次函數(shù)的最值可判斷C選項；求得，將與相乘，展開后利用基本不等式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由基本不等式可得，可得，當且僅當時，等號成立，A對；對于B選項，由可得，解得，所以，，B錯；對于C選項，由可得，則，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，C對；對于D選項，，因為，當且僅當時，等號成立，故的最小值為，D對.故選：ACD.12.已知函數(shù)的定義域為為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當時，，則下列結論正確的是（）A.為周期函數(shù)且最小正周期為8

8B.C.在上為增函數(shù)D.方程有且僅有7個實數(shù)解【答案】ABD【解析】【分析】由條件得函數(shù)的對稱性，進而得到函數(shù)的周期性，然后利用數(shù)形結合結合條件逐項分析即得.【詳解】因為為奇函數(shù)，所以，即關于點對稱；因為為偶函數(shù)，所以，即關于直線對稱；則，所以，故的周期為，結合條件可得函數(shù)的大致圖象，進而可得A正確；，B正確；由于在上單調遞減，且關于點對稱，故在上單調遞減，又的周期為8，則在上也為減函數(shù)，C錯誤；作出函數(shù)的圖象和函數(shù)的大致圖象，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有7個交點，故D正確.故選：ABD.【點睛】通過函數(shù)圖象具有中心對稱性和軸對稱性，推斷函數(shù)的周期性，由上的解析式，可得函數(shù)的大致圖象進而可得其他區(qū)間上函數(shù)的性質.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．

913.________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)運算和對數(shù)運算的性質即可求解.【詳解】.故答案為：14.如果光線每通過一塊玻璃其強度要減少10%，那么至少需要將______塊這樣玻璃重疊起來，才能使通過它們的光線強度低于原來的0.1倍，（參考數(shù)據(jù)：）【答案】【解析】【分析】由題意，建立不等式，利用對數(shù)運算，可得答案.【詳解】設光線的強度為，至少重疊玻璃的快數(shù)為，則，整理可得.故答案為：.15.若，，且，，則的值是________.【答案】【解析】【分析】依題意,可求得，進一步可知，于是可求得與的值，再利用兩角和的余弦公式及角的范圍即可求得答案.【詳解】因為，所以，因為，所以，即所以

10.因為，，所以，因為，所以.所以.因為，，所以，所以.故答案為：.16.已知的外接圓圓心為O，為的重心且則_________【答案】【解析】【分析】由三角形重心及外心的性質即可得出結果.【詳解】如圖所示，取中點，過作，則是的中點.∵為的重心，∴，,同理，故

11故答案為：【點睛】結論點睛：（1）三角形的重心是三角形三條中線的交點，且是中線的三等分點（靠中點近），即；（2）三角形的外心是三角形三條中垂線的交點，即有：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知向量，．（1）若，求的值；（2）若，向量與的夾角為鈍角，求的取值范圍．【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）首先求出，的坐標，依題意，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可；（2）依題意可得且與不反向，根據(jù)向量共線及數(shù)量積的坐標表示得到求出的取值范圍；【小問1詳解】解：因為，，所以，，

12因為，所以，解得；【小問2詳解】解：因為，且與的夾角為鈍角，所以且與不反向，由，解得，當即時與反向，故，綜上可得且18.在①；②；③，這三個條件中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.（1）求角C的大?。唬?）若，求周長的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選擇①，利用正弦定理，化角為邊后，結合余弦定理求角；若選擇②，利用正弦定理，化邊為角，結合三角恒等變換，求角；如選擇③，利用正弦定理，將邊化角，利用誘導公式，和二倍角公式，即可求角；（2）利用余弦定理，結合基本不等式，即可求三角形周長的取值范圍.【小問1詳解】選擇條件①：由及正弦定理，得：，即，由余弦定理，得，因為，所以；選擇條件②：由及正弦定理，

13得：，即.即.在中，，所以，即，因為，所以，所以，因為，所以；選擇條件③：由及正弦定理，得：，因為，，所以.在中，，則，故.因為，所以，則，故；小問2詳解】在中應用余弦定理得：，所以，因為，所以.因為，所以，解得：，又因為，所以，當且僅當時取等號.所以周長的取值范圍是：19.已知指數(shù)函數(shù)過點，函數(shù).

14（1）求，的值；（2）判斷函數(shù)在上的奇偶性，并給出證明；（3）已知在上是單調函數(shù)，由此判斷函數(shù)，的單調性（不需證明），并解不等式.【答案】（1）；（2）為偶函數(shù)，證明見解析；（3）增區(qū)間為，減區(qū)間為；不等式解集為.【解析】【分析】（1）由指數(shù)函數(shù)過點求參數(shù)a，即可得的解析式，進而求，的值；（2）利用奇偶性定義判斷奇偶性；（3）由題設及（1）（2）結論即可判斷的單調性，再根據(jù)單調性、奇偶性求不等式的解集.【小問1詳解】由題設，，則，所以，.【小問2詳解】，，定義域關于原點對稱.又，故為偶函數(shù)；【小問3詳解】由且，在上單調，所以為單調增區(qū)間，而為偶函數(shù)，則單調減區(qū)間為

15由可得：，即，解得.20.設平面向量，，函數(shù)．（1）求的單調增區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的值域；（3）若銳角滿足，求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）化簡得到，取，解得答案.（2），則，得到值域.（3）代入數(shù)據(jù)得到，化簡得到，計算得到答案.【小問1詳解】，取，，解得，，故的單調增區(qū)間為，【小問2詳解】

16，則，故【小問3詳解】，.21.在梯形中，分別為線段，上的動點.（1）求；（2）若，求；（3）若，求的最小值；【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，所以，求解計算即可；（2）根據(jù)題意得，所以；（3）根據(jù)題意得，且，再分析單調性求解即可.【小問1詳解】因為，所以，所以，所以.小問2詳解】

17由（1）知，，因為，所以，所以，所以.【小問3詳解】因為，，則，因為，解得，設，，根據(jù)對勾函數(shù)的單調性可知，在單調遞增，所以當時，取得最小值：.22.設函數(shù).（1）當時，若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若為常數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）見解析【解析】【分析】（1）當時，不等式恒成立，當，由條件可得在，上恒成立，進一步得到，求出的范圍即可；（2）函數(shù)在，上存在零點，即方程在，

18上有解，設，然后分和兩種情況求出的范圍．【詳解】（1）當時，若不等式在，上恒成立；當時，不等式恒成立，則；當，則在，上恒成立，即在，上恒成立，因為在，上單調增，，，則，解得，；則實數(shù)的取值范圍為，；（2）函數(shù)在，上存在零點，即方程在，上有解；設當時，則，，，且在，上單調遞增，所以，（2），則當時，原方程有解，則；當時，，則在，上單調增，在上單調減，在，上單調增；①當，即時，（2），，則當時，原方程有解，則；②當，即時，，，則當時，原方程有解，則；③當時，，，當，即時，，則當時，原方程有解，則；

19當，即時，，則當時，原方程有解，則；綜上，當時，實數(shù)的取值范圍為，；當時，實數(shù)的取值范圍為；當時，實數(shù)的取值范圍為，．【點睛】本題考查了函數(shù)恒成立問題和函數(shù)零點的判定定理，考查了函數(shù)最值的求法，考查了分類討論思想和函數(shù)思想，屬難題．

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