浙江名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)（B卷） Word版含解析

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浙江名校聯(lián)盟2022-2023學(xué)年度高二第二學(xué)期期中考試（B卷）數(shù)學(xué)試卷本試卷為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘注意事項(xiàng)：1．答卷前，請考生務(wù)必把自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2．作答時(shí)，務(wù)必將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效.3．考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題（共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上）1.若集合，則集合的子集個(gè)數(shù)為（）A.3B.4C.7D.8【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得集合，進(jìn)而求得集合的子集個(gè)數(shù)，得到答案.【詳解】由，可得，解得，所以集合，所以集合的子集個(gè)數(shù)為.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在象限是（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)z即可判斷作答.【詳解】因，則，則復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為，所以復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)所在象限是第一象限.故選：A3.把函數(shù)的圖象向左平移，可以得到的函數(shù)為（）

1A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變化可求得平移后的解析式,結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡即可得解.【詳解】把函數(shù)的圖象向左平移可得由誘導(dǎo)公式化簡可得故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖象平移變換,誘導(dǎo)公式的簡單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.已知，則等于（）A.B.C.eD.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式先求出，再求出即可.【詳解】∵，，又，∴.故選：C.5.已知向量，向量，則與的夾角大小為（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】D【解析】【分析】計(jì)算可得，利用數(shù)量積公式計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】向量，向量，，

2，且，的夾角為.故選：D.6.在展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（　?。〢.B.C.60D.240【答案】D【解析】【分析】根據(jù)通項(xiàng)公式求出，再代入通項(xiàng)公式可得結(jié)果.【詳解】二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，，令，得，所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故選：D7.在100張獎(jiǎng)券中，有4張中獎(jiǎng)，從中任取兩張，則兩張都中獎(jiǎng)的概率是A；B.；C.；D.【答案】C【解析】【詳解】所求事件的概率為.8.已知，為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值是（）A.6B.C.8D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求出曲線對應(yīng)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，代入切點(diǎn)坐標(biāo)，解方程可得n＝0，進(jìn)而得到2a+b＝1，再由乘1法和基本不等式，即可得到所求最小值．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為（m，n），

3y＝ln（x+b）的導(dǎo)數(shù)為，由題意可得=1，又n＝m﹣2a，n＝ln（m+b），解得n＝0，m＝2a，即有2a+b＝1，因?yàn)閍、b為正實(shí)數(shù)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值為8．故選：C．二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞增B.的極小值為2C.的極大值為－2D.有2個(gè)零點(diǎn)【答案】AD【解析】【分析】由導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性后對選項(xiàng)逐一判斷【詳解】由可得，由可得，由可得或，故在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有極小值，極大值，故A正確，B，C錯(cuò)誤．有兩解，，，則有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確．故選：AD10.為弘揚(yáng)我國古代“六藝”文化，某研學(xué)旅行夏令營主辦單位計(jì)劃在暑假開設(shè)“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗(yàn)課程，若甲乙丙三名同學(xué)各只能體驗(yàn)其中一門課程．則（）

4A.甲乙丙三人選擇課程方案有種方法B.恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中的概率為C.已知甲不選擇課程“御”的條件下，乙丙也不選擇“御”的概率為D.設(shè)三名同學(xué)選擇課程“禮”的人數(shù)為，則【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)考查了排列組合的內(nèi)容；B選項(xiàng)利用排列組合分別算出基本事件總數(shù)與滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，代入古典概型公式計(jì)算；C選項(xiàng)利用條件概率的公式代入求解；D選項(xiàng)利用二項(xiàng)分布的公式求解.【詳解】甲乙丙三名同學(xué)各只能體驗(yàn)其中一門課程，則選擇方法有種，故A錯(cuò)誤；恰有三門課程沒有被三名同學(xué)選中，表示三位同學(xué)每個(gè)人選擇了不重復(fù)的一門課程，所以概率為，故B正確；已知甲不選擇課程“御”的概率為，甲乙丙都不選擇“御”的概率為，所以條件概率為，故C正確；三名同學(xué)選擇課程“禮”的人數(shù)為，則服從二項(xiàng)分布，則，故D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）解排列組合問題要遵循兩個(gè)原則：一是按元素（或位置）的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步．具體地說，解排列組合問題常以元素（或位置）為主體，即先滿足特殊元素（或位置），再考慮其他元素（或位置）．（2）不同元素的分配問題，往往是先分組再分配．在分組時(shí)，通常有三種類型：①不均勻分組；②均勻分組；③部分均勻分組，注意各種分組類型中，不同分組方法的求法．11.函數(shù)的所有極值點(diǎn)從小到大排列成數(shù)列，設(shè)是的前項(xiàng)和，則下列結(jié)論中正確的是（）A.數(shù)列為等差數(shù)列B.C.D.

5【答案】BC【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定極值點(diǎn)，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】解：，令可得或，，易得函數(shù)的極值點(diǎn)為或，，從小到大為，，不是等差數(shù)列，錯(cuò)誤；，正確；，，則根據(jù)誘導(dǎo)公式得，正確；，錯(cuò)誤．故選：．12.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，拋物線C上存在n個(gè)點(diǎn)，，，（且）滿足，則下列結(jié)論中正確的是（）A.時(shí)，B.時(shí)，的最小值為9C.時(shí)，D.時(shí)，的最小值為8【答案】BC【解析】【分析】以為拋物線通徑，求得的值，判斷A;當(dāng)時(shí),寫出焦半徑的表達(dá)式，利用換元法，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值，可判斷B;當(dāng)時(shí),求出

6的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的知識(shí)，可判斷C,D.【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不妨取過焦點(diǎn)垂直于x軸，不妨取，則，故A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè)在拋物線上逆時(shí)針排列，設(shè),則，則，故，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，故，故當(dāng)，即時(shí)，取到最小值9，故B正確；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不妨設(shè)在拋物線上逆時(shí)針排列，設(shè),則，即，故，，

7所以，故C正確；由C分析可知：，當(dāng)時(shí)，取到最小值16，即最小值為16，故D錯(cuò)誤；故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的焦半徑公式的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，涉及到拋物線的焦半徑的應(yīng)用，以利用導(dǎo)數(shù)求最值，和三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，難度較大.三、填空題（共4小題，每小題5分，共計(jì)20分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)___________.【答案】12【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)列方程去求實(shí)數(shù)的值.【詳解】依題意知為奇函數(shù)，∴，即，∴.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.故答案為：1214.已知拋物線：恰好經(jīng)過圓：的圓心，則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為____________.【答案】##(0,0.125)【解析】【分析】將圓M的圓心代入拋物線的方程可求得，進(jìn)而可求焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題可得圓的圓心為，代入得，

8將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：.15.若雙曲線C的方程為，記雙曲線C的左、右頂點(diǎn)為A，B．弦PQ⊥x軸，記直線PA與直線QB交點(diǎn)為M，其軌跡為曲線T，則曲線T的離心率為________．【答案】【解析】【分析】設(shè)P（，）、M（x，y），根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程表示出直線PA、QB的方程，整理兩直線方程可得，結(jié)合點(diǎn)P（，）在雙曲線上可得，進(jìn)而得出曲線的方程，即可求出離心率.【詳解】設(shè)P（，），則Q（，-），設(shè)點(diǎn)M（x，y），又A（-2，0），B（2，0），所以直線PA的方程為①，直線QB的方程為②．由①得，由②得，上述兩個(gè)等式相乘可得，∵P（，）在雙曲線上，∴，可得，∴

9∴，化簡可得，即曲線的方程為，其離心率為，故答案為：.16.已知函數(shù)，若關(guān)于x方程有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為_______________．【答案】【解析】【分析】作出與的圖像，，令，則方程為，令，作出的圖像，結(jié)合圖形，即可得出答案．【詳解】令，，所以在上，，單調(diào)遞增，在上，，單調(diào)遞減，所以，又，所以作出與的圖像如下：

10，令，則方程為，則，令，作出的圖像：當(dāng)，即時(shí)，與沒有交點(diǎn)，所以方程無根，則無解，不合題意．當(dāng)，即時(shí)，與有1個(gè)交點(diǎn)，所以方程有1個(gè)根為，則有1個(gè)解，不合題意．當(dāng)，即時(shí)，與有2個(gè)交點(diǎn)，

11所以方程有2個(gè)根為，，若時(shí)，則有2個(gè)解，有1個(gè)解，所以有3個(gè)解，不合題意．若時(shí)，則有3個(gè)解，有1個(gè)解，所以有4個(gè)解，不合題意．若時(shí)，則有1個(gè)解，有1個(gè)解，所以有2個(gè)解，合題意．因?yàn)椋?，即，綜上所述，的取值范圍為．故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，共70分）17.從10名同學(xué)（其中6女4男）中隨機(jī)選出3人參加測驗(yàn)，每個(gè)女同學(xué)通過測驗(yàn)的概率均為，每個(gè)男同學(xué)通過測驗(yàn)的概率均為，求：（1）選出的3個(gè)同學(xué)中，至少有一個(gè)男同學(xué)的概率；（2）10個(gè)同學(xué)中女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時(shí)被選中且通過測驗(yàn)的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先計(jì)算對立事件沒有男同學(xué)的概率，再得出至少一個(gè)男同學(xué)的概率；（2）先計(jì)算甲、乙被選中的概率，再集合相互獨(dú)立事件計(jì)算選中且通過測驗(yàn)的概率.【小問1詳解】記選出的同學(xué)中至少有一個(gè)男同學(xué)為事件A，則；【小問2詳解】

12甲、乙被選中且通過測驗(yàn)的概率.18.如圖，在四邊形中，，，，，.（1）求；（2）求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）計(jì)算出、，利用兩角和的余弦公式可求得的值；（2）在中，利用正弦定理可求出的長，然后在中利用余弦定理可求得的長.【詳解】（1）因?yàn)?，，則、均為銳角，所以，，，，，則，因此，；（2）在中，由正弦定理可得，可得，

13在中，由余弦定理可得，因此，.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.19.已知正項(xiàng)數(shù)列，其前n項(xiàng)和滿足.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出的表達(dá)式；（2）數(shù)列中是否存在連續(xù)三項(xiàng)，，，使得，，構(gòu)成等差數(shù)列？請說明理由.【答案】（1）證明見解析，；（2）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定遞推公式，結(jié)合“當(dāng)時(shí)，”建立與的關(guān)系即可推理作答.（2）由（1）求出，利用反證法導(dǎo)出矛盾，推理作答.【小問1詳解】依題意，正項(xiàng)數(shù)列中，，即，當(dāng)時(shí)，，即，整理得，又，因此，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，則，因?yàn)槭钦?xiàng)數(shù)列，即，

14所以.【小問2詳解】不存在，當(dāng)時(shí)，，又，即，都有，則，假設(shè)存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng)，使得構(gòu)成等差數(shù)列，則，即，兩邊同時(shí)平方，得，即，整理得：，即，顯然不成立，因此假設(shè)是錯(cuò)誤的，所以數(shù)列中不存在滿足要求的連續(xù)三項(xiàng).20.已知橢圓的焦距為，經(jīng)過點(diǎn)．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足，直線分別交橢圓于A，B．，Q為垂足．是否存在定點(diǎn)R，使得為定值，說明理由．【答案】（1）；（2）存在；答案見解析．【解析】【分析】（1）利用，橢圓經(jīng)過點(diǎn)列出方程，解出a,b,c即可.（2）設(shè)出直線方程為，聯(lián)立橢圓方程解出點(diǎn)M，N的坐標(biāo)，題中可得l與m關(guān)系式，求出直線AB過定點(diǎn)，結(jié)合圖形特點(diǎn)得中點(diǎn)R滿足為定值，即可求出定值及點(diǎn)R坐標(biāo).【詳解】（1）由題意可知，又橢圓經(jīng)過點(diǎn)知解得，所以；

15（2）設(shè)直線方程,與橢圓C交于，得,直線，即因此M坐標(biāo)為，同理可知由知：化簡整理得則整理：若則直線，過點(diǎn)P不符合題意若則直線符合題意直線過點(diǎn)于是為定值且為直角三角形且為斜邊所以中點(diǎn)R滿足為定值此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】（1）注意題目條件的利用，解方程的準(zhǔn)確性;（2）根據(jù)直線AB的特點(diǎn)來確定PD為定值，以及PD的中點(diǎn)R滿足題目要求，要注意應(yīng)用圖形的幾何特征.21.已知函數(shù)．

16（1）當(dāng)時(shí)，求在處的切線方程；（2）若存在大于的零點(diǎn)，設(shè)的極值點(diǎn)為；①求的取值范圍；②證明：．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義可求得切線斜率，結(jié)合可得切線方程；（2）①求導(dǎo)后，當(dāng)時(shí)，可知單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時(shí)，根據(jù)存在極值點(diǎn)可確定，得到，并得到單調(diào)性；通過零點(diǎn)可確定，結(jié)合恒成立可確定只需有解即可；利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和值域，由此可得的范圍；②將問題轉(zhuǎn)化為證明，即證明；根據(jù)的形式，可構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可說明單調(diào)性，并得到，從而說明，由此可證得結(jié)論.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，，又，在處的切線方程為：，即.【小問2詳解】①由題意知：定義域?yàn)?，；令，則；當(dāng)時(shí)，恒成立，上單調(diào)遞減，不合題意；當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，

17存在極值點(diǎn)，，即；且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，存在大于的零點(diǎn)，；則需，又，，即，又，，令，則，；令，則，在上單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，恒成立；令，則，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，方程有解；實(shí)數(shù)的取值范圍為；②由①知：，，則，令，；，，，，在上單調(diào)遞減，，

18又，，，又，，，，在上單調(diào)遞減，，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)在求解函數(shù)中的應(yīng)用；本題證明不等式的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值大小關(guān)系的比較問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的知識(shí)可求得函數(shù)值的大小關(guān)系，從而得到結(jié)論.22.已知函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為．（1）若存在極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）設(shè)的最小值為，的最小值為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】(1)先求的導(dǎo)數(shù)，得到的解析式，再求的導(dǎo)數(shù)，由存在極值點(diǎn)，可知有實(shí)數(shù)根，把轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)和有交點(diǎn)的問題，通過求導(dǎo)討論單調(diào)性可知，只需即可有交點(diǎn)，得到不等式解出的取值范圍；(2)由(1)可得的單調(diào)性，由，可設(shè)的零點(diǎn)，從而得到的單調(diào)性，得出的最小值，再由，可設(shè)的零點(diǎn)，從而得到的單調(diào)性，得出的最小值，由把證明轉(zhuǎn)化為證明，通過作差，討論的單調(diào)性可得，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，即.

19則，存在極值點(diǎn)，即有實(shí)數(shù)根，即有實(shí)數(shù)根，即有實(shí)數(shù)根，令，則，所以上單調(diào)遞減.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以要使在上有實(shí)數(shù)根，只需，即即可，解得，所以的取值范圍為.【小問2詳解】由(1)知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以存在，?則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

20所以，即，.因?yàn)椋?，所以存在，?則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即令，要證，只需證.因?yàn)榱?，，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，所以，即，即.【點(diǎn)睛】

21難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)在于零點(diǎn)不能直接求出，對于題目中出現(xiàn)隱零點(diǎn)的一般思路是：先用零點(diǎn)存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性，其中難點(diǎn)是通過合理賦值，敏銳捕捉零點(diǎn)存在的區(qū)間，有時(shí)還需結(jié)合函數(shù)單調(diào)性明確零點(diǎn)；再虛設(shè)零點(diǎn)并確定取范圍，利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性及最值，其中可能需要構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo).

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