四川省興文第二中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試文科數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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宜賓興文二中高2021級高三上學(xué)期開學(xué)考試文科數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是()A.-1B.iC.-2D.-2i【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算并根據(jù)復(fù)數(shù)的基本概念即可求解．【詳解】，∴z的虛部為-2．故選：C．2.已知，則是的（）條件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合充分必要條件的判斷即可得解.【詳解】因?yàn)闉閱握{(diào)遞減函數(shù)，所以當(dāng)時，，即充分性成立；當(dāng)時，，即必要性成立；所以是的充要條件.故選：C．3.已知袋中有大小、形狀完全相同的4個紅色、3個白色的乒乓球，從中任取4個，則下列判斷錯誤的是（）A.事件“都是紅色球”是隨機(jī)事件B.事件“都是白色球”是不可能事件C.事件“至少有一個白色球”是必然事件 D.事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機(jī)事件【答案】C【解析】【分析】對事件分類，利用隨機(jī)事件的定義直接判斷即可．【詳解】因?yàn)榇杏写笮　⑿螤钔耆嗤?個紅色、3個白色的乒乓球，所以從中任取4個球共有：3白1紅，2白2紅，1白3紅，4紅四種情況.故事件“都是紅色球”是隨機(jī)事件，故A正確；事件“都是白色球”是不可能事件，故B正確；事件“至少有一個白色球”是隨機(jī)事件，故C錯誤；事件“有3個紅色球和1個白色球”是隨機(jī)事件，故D正確．故選：C4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖的步驟，運(yùn)行計(jì)算即可求解.【詳解】第一次執(zhí)行，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第二次執(zhí)行，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第三次執(zhí)行，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第四次執(zhí)行，由，則，又由，則進(jìn)入循環(huán)；第五次執(zhí)行，由，則，又由，則輸出, 故選：.5.若向量，滿足且，則（）A.4B.3C.2D.0【答案】D【解析】【分析】先證明，可得，利用數(shù)量積運(yùn)算法則求解即可.【詳解】向量滿足且，，，，故答案為0.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則以及向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.6.袋中共有10個除了顏色外完全相同球，其中有7個白球，3個紅球，從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出任取2球的基本事件的總數(shù)，以及事件“1個白球，1個紅球”含有的基本事件的個數(shù)，然后可計(jì)算出概率．【詳解】由題意從10個球中任取2個的方法數(shù)是，其中一紅一白的事件有，所以所求概率為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查古典概型，解題關(guān)鍵是求得基本事件的個數(shù)．7.一個體積為的正方體的頂點(diǎn)都在球面上，則球的表面積是A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：因?yàn)檎襟w的體積為，所以棱長為 ，因?yàn)檎襟w的定點(diǎn)都在球面上，所以正方體的體對角線應(yīng)該為球的直徑，所以球的直徑為所以球的半徑為，所以球的表面積為考點(diǎn)：本小題主要考查正方體與其外接球的關(guān)系和球的表面積的計(jì)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.點(diǎn)評：正方體外接于球，則正方體的體對角線為球的直徑；如果球內(nèi)切于正方體，則正方體的棱長等于球的直徑.8.某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】從所給的三視圖可以得到該幾何體為三棱錐，如圖所示，本題所求表面積應(yīng)為三棱錐四個面的面積之和,利用垂直關(guān)系和三角形面積公式，可得：，因此該幾何體表面積，故選B．【考點(diǎn)定位】本小題主要考查的是三棱錐的三視圖問題，一般都是求棱錐或棱柱的體積而這道題是求表面積，因此考查學(xué)生計(jì)算基本功以及空間想象的能力 9.已知，實(shí)數(shù)滿足對于任意的，都有，若，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.B.3C.D.【答案】D【解析】【分析】由題得是的一個極大值點(diǎn)，化簡即得解.【詳解】解：由題意及正弦函數(shù)的圖象可知，是的一個極大值點(diǎn)，由，得.故選：D.10.已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)y＝f(x)－k有三個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A.(－2，2)B.(－2，1)C.(0，2)D.(1，3)【答案】C【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合判斷當(dāng)函數(shù)與直線有三個交點(diǎn)時參數(shù)k的取值范圍.【詳解】當(dāng)x<0時，f(x)＝x3－3x，則f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝0，解得或1(舍去)，故f(x)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，在(－1，0)上單調(diào)遞減.又f(x)＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.則函數(shù)f(x)的圖象如圖所示， f(x)極大值＝f(－1)＝2，且f(0)＝0，數(shù)形結(jié)合知當(dāng)k∈(0，2)時，函數(shù)與直線有三個交點(diǎn)，即y＝f(x)－k有三個不同零點(diǎn).故選：C【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔題.11.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)P（2，0）的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，直線AF，BF分別于拋物線交于點(diǎn)C，D．設(shè)直線AB，CD的斜率分別為，則（）A.B.C.1D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)直線的方程和直線的方程，分別與拋物線方程聯(lián)立得到，，，然后求即可.【詳解】由題意得，設(shè)直線的方程為，，，，,聯(lián)立得，，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，同理可得，所以.故選：B. 12.已知關(guān)于的不等式在恒成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】將條件變形為，然后由的單調(diào)性可得，然后可得，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可.【詳解】由得即，構(gòu)造，即因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以所以，令，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，所以，即又，即所以的取值范圍是故選：B第Ⅱ卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某校1200名學(xué)生中，型血有450人，型血有350人，型血有250人，型血有150人，從中抽取容量為48的樣本，按照分層抽樣的方法抽取樣本，則要抽取的型血的人數(shù)為_________.【答案】10【解析】【分析】根據(jù)分層比可求型血的人數(shù).【詳解】因?yàn)橛梅謱映闃拥姆椒ǔ槿颖?，故要抽取的型血的人?shù)為. 故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，注意按分層比計(jì)算所取的人數(shù)，本題屬于容易題.14.實(shí)數(shù)滿足條件，則的最大值為_______________【答案】【解析】【分析】畫出可行域，向下平移基準(zhǔn)直線到可行域邊界位置，由此求得目標(biāo)函數(shù)的最大值.【詳解】畫出可行域如下圖所示，由圖可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線性規(guī)劃求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.15.圓：和圓：交于兩點(diǎn)，則直線的方程是____．【答案】【解析】【分析】直接用兩個圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程．【詳解】由 得故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了與圓與圓的位置關(guān)系相關(guān)的問題，考查了公共弦所在直線的求法，屬于基礎(chǔ)題．16.已知、兩所大學(xué)的專業(yè)設(shè)置都相同（專業(yè)數(shù)均不小于），數(shù)據(jù)顯示，大學(xué)的各專業(yè)的男女生比例均高于大學(xué)的相應(yīng)專業(yè)的男女生比例（男女比例是指男生人數(shù)與女生人數(shù)比）．據(jù)此，甲同學(xué)說：“大學(xué)的男女比例一定高于大學(xué)的男女生比例”；乙同學(xué)說：“大學(xué)的男女比例不一定高于大學(xué)的男女生比例”；丙同學(xué)說：“兩所大學(xué)的全體學(xué)生的男女比例一定高于大學(xué)的男女生比例”．其中，說法正確的同學(xué)是__________．【答案】乙【解析】【分析】結(jié)合特例可得說法正確的為乙.【詳解】設(shè)A大學(xué)有專業(yè)1，男女比例為，人數(shù)為人，有專業(yè)2，男女比例，人數(shù)為3人；設(shè)B大學(xué)有專業(yè)1，男女比例為，人數(shù)為人，有專業(yè)2，男女比例為，人數(shù)為人；則上述比例滿足題設(shè)要求，則大學(xué)的男女比例為，而大學(xué)的男女比例為，故答案為：乙三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分.17.在世界讀書日期間，某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進(jìn)行了調(diào)查，獲得了一個容量為200的樣本，其中城鎮(zhèn)居民140人，農(nóng)村居民60人.在這些居民中，經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人，農(nóng)村居民有30人.（1）填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān)？城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀 合計(jì)200（2）調(diào)查組從該樣本的城鎮(zhèn)居民中按分層抽樣抽取出7人，參加一次閱讀交流活動，若活動主辦方從這7位居民中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言，求被選中的2位居民都是經(jīng)常閱讀居民的概率.附：，其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）見解析，有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)得到列聯(lián)表，然后計(jì)算出，與臨界值表中的數(shù)據(jù)對照后可得結(jié)論；（2）由題意得概率為古典概型，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算可得所求.【詳解】（1）由題意可得：城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計(jì)經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計(jì)14060200則，所以有99%的把握認(rèn)為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關(guān).（2）在城鎮(zhèn)居民140人中，經(jīng)常閱讀的有100人，不經(jīng)常閱讀的有40人.采取分層抽樣抽取7人，則其中經(jīng)常閱讀的有5人，記為、、、、；不經(jīng)常閱讀的有2人，記為、.從這7人中隨機(jī)選取2人作交流發(fā)言，所有可能的情況為，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21種， 被選中的位居民都是經(jīng)常閱讀居民的情況有種，所求概率為.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，利用列舉法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力.對于古典概型，要求事件總數(shù)是可數(shù)的，滿足條件的事件個數(shù)可數(shù)，使得滿足條件的事件個數(shù)除以總的事件個數(shù)即可，屬于中檔題.18.設(shè)函數(shù)（）．（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對任意及任意，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)時，在上是減函數(shù)；當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)可得，因?yàn)椋?，討論與的大小，化情況討論的單調(diào)性即可；（2）任意，恒有成立，所以求出在區(qū)間上的最值，再求的取值范圍即可.【詳解】（1），當(dāng)，即時，在定義域上是減函數(shù)；當(dāng)，即時，令得或令得當(dāng)，即時，令得或令得 綜上，當(dāng)時，在上是減函數(shù)；當(dāng)時，和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在和單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，（2）由（1）知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，是最大值，是最小值；，，而，經(jīng)整理得，因?yàn)闀r，由對勾函數(shù)知單調(diào)遞減，所以時，單調(diào)遞增，故得，所以19.如圖所示，平面平面是等腰直角三角形，，四邊形是直角梯形，，，，分別為的中點(diǎn).（1）試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說明理由；（2）求四面體的體積.【答案】（1）平面，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件及三角形的中位線定理，再利用平行的傳遞性及平行四邊形的判定，再結(jié)合線面平行的判定即可求解；（2）根據(jù)已知條件得出點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而得到點(diǎn)到平面的距離，再求出面積，結(jié)合三棱錐的體積公式即可求解. 【小問1詳解】直線與平面平行，理由如下如圖所示，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以.又，，所以，所以，所以四邊形為平行四邊形.則.又平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因?yàn)槭堑妊苯侨切?，，為的中點(diǎn).所以,，，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，所以平面，平面，所以，，又，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn). 即點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)樗倪呅问侵苯翘菪?，，，，所以，所以四面體ODME的體積為.20.函數(shù)．（1）若函數(shù)有2個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若在上的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和最小值，由最小值小于即可解得結(jié)果；（2）根據(jù)得到，得到函數(shù)在上為減函數(shù)，進(jìn)而求出最小值和最大值，結(jié)合已知的值域列式可求出的值.【小問1詳解】的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時，取得最小值，為，因?yàn)楫?dāng)趨近于時，趨近于，當(dāng)趨近于正無窮時，也趨近于正無窮，所以若函數(shù)有2個零點(diǎn)，則，解得.【小問2詳解】 由（1）可知，函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，且的最小值，為，若在上的值域?yàn)?，則，即，所以，所以函數(shù)在上為減函數(shù)，所以，，解得符合題意；綜上所述：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問中，利用函數(shù)在上的最小值小于等于在上的最小值，求出的范圍，這樣避免分類討論是解題關(guān)鍵.21.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，左頂點(diǎn)為A，且滿足，橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若P是橢圓上的任意一點(diǎn)，求的取值范圍；（3）已知直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M，N(均不是長軸的端點(diǎn))，AH⊥MN，垂足為H且，求證：直線l恒過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列方程組，解得參數(shù)，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）把條件轉(zhuǎn)化成關(guān)于的橫坐標(biāo)的代數(shù)式，以拋物線在給定區(qū)間求值域的方法解之即可；（3）把條件轉(zhuǎn)化成，極大簡化了運(yùn)算量，是數(shù)形結(jié)合的的一個范例，得到參數(shù)關(guān)系后，即可求得直線l所過定點(diǎn).【小問1詳解】由已知，解得，，則， 故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】設(shè)，則，又，．∴．由于在橢圓上，∴．由在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知當(dāng)時，取最小值為0；當(dāng)時，取最大值為12．故的取值范圍是【小問3詳解】由消去得：．設(shè)，，則，，．由得．，即，可得，則，即化簡得．∴或，均適合．當(dāng)時，直線過，舍去； 當(dāng)時，直線過定點(diǎn)．故直線l恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率等問題．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．（選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線與曲線交于點(diǎn)A，B，且，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化，結(jié)合余弦二倍角公式即可求解，（2）聯(lián)立直線與曲線的方程，由直線參數(shù)方程的幾何意義即可求解.小問1詳解】由得，將代入可得，即【小問2詳解】 將曲線的參數(shù)方程帶入曲線得：，即設(shè)A，B兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為，，則，所以異號，∴（選修4-5不等式選講）23.已知函數(shù)，且不等式的解集為．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若正實(shí)數(shù)滿足，證明：．【答案】（1），（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，可得，然后列出方程求解，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，結(jié)合柯西不等式代入計(jì)算即可得到證明.【小問1詳解】，且，，解得．．．（i）當(dāng)時，由，解得（不合題意，舍去）；（ii）當(dāng)時，由，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意． 綜上所述，．【小問2詳解】由（1）得．．，