四川省瀘縣第四中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試文科數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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瀘縣四中高2021級(jí)高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試文科數(shù)學(xué)試卷第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義可得出復(fù)數(shù).【詳解】由已知可得，因此，.故選：A.2.已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計(jì)值為（）A.64B.65C.64.5D.66【答案】B【解析】【分析】首先判斷中位數(shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，依題意可得，解得即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以中位?shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得， 即中位數(shù)為.故選：B3.成立的充要條件是（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】解分式不等式即可得解；【詳解】解：因?yàn)?，，，即，解得或，即，故成立的充要條件是“或”.故選：【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式解法及充要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.4.曲線在處的切線方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程即可得到所求切線的方程．【詳解】解：的導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線斜率為，切點(diǎn)為，即有在處的切線方程為，即為．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題． 5.函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)排除BD，計(jì)算，排除A，得到答案.【詳解】，函數(shù)定義域?yàn)?，，函?shù)為奇函數(shù)，排除BD；，，故，排除A.故選：C6.直線與圓相交，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）A.在圓上B.在圓內(nèi)C.在圓外D.不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到圓心到直線的距離為，求得，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與圓O：相交，可得圓心到直線的距離為，解得， 所以點(diǎn)在圓外.故選：C.7.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學(xué)家證明，如“費(fèi)馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則將它乘以再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個(gè)程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入，不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)不成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，； 不成立，是偶數(shù)成立，則，；成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用程序框圖計(jì)算輸出結(jié)果，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)為正數(shù)，若，則的最小值為（）A.6B.9C.12D.15【答案】B【解析】【分析】直接利用基本不等式，結(jié)合已知代數(shù)式的形式進(jìn)行求解即可.【詳解】，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B9.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米地方測(cè)得信息素濃度y滿足函數(shù)（A，K為非零常數(shù)）．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測(cè)得信息素濃度為a，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）米．A.B.2C.D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得，再根據(jù)即可求出值.【詳解】由題知：當(dāng)，時(shí)，，代入得：，當(dāng)，時(shí)，，即， 而，解得：或（舍）故選：D.10.若，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和比較，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和比較，用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和比較，即可判斷大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?所以為減函數(shù)，所以，即因?yàn)?所以為增函數(shù)，所以，即.因?yàn)?所以為增函數(shù)，所以，即，所以．故選：D11.在三棱柱中，，側(cè)棱底面ABC，若該三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上，且球O的表面積的最小值為，則該三棱柱的側(cè)面積為（）A.B.C.D.3【答案】B【解析】【詳解】如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為、，則的中點(diǎn)為， 設(shè)球的半徑為，則，設(shè)，，則，，則在△中，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，所以，所以，所以該三棱柱的側(cè)面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用不等式求解棱柱的外接球面積最小值與側(cè)面積問(wèn)題，屬于中檔題12.若函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則，轉(zhuǎn)化為在直線上，根據(jù)表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，得到，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)， 設(shè)為函數(shù)在上的零點(diǎn)，則，即，即點(diǎn)在直線上，又表示點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，則，即，令，則，因?yàn)?，所以，在單調(diào)遞增.所以最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)零點(diǎn)有，換主元化為點(diǎn)在直線上，結(jié)合的幾何意義及點(diǎn)線距離公式得為關(guān)鍵.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，且滿足，則_______.【答案】4【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示求解.【詳解】由已知，又，所以，．故答案為：4.14.若實(shí)數(shù)、滿足，則目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】 【分析】畫出約束條件的可行域，根據(jù)簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的解法，平移即可求解．【詳解】作出圖象，如圖所示陰影區(qū)域?yàn)榭尚杏颍鹤髦本€的平行線，因?yàn)椋酵弦?，越大，越往下移，越小，?dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)可行域的時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值2，目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值．所以目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的解法應(yīng)用，準(zhǔn)確畫出可行域是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15.將某個(gè)圓錐體沿著母線和底面圓周剪開(kāi)后展開(kāi)，所得的平面圖形是一個(gè)圓和扇形，已知該扇形的半徑為，圓心角為，則圓錐的體積是_________.【答案】【解析】【分析】求得圓錐的底面半徑和高，從而求得圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，，所以圓錐的體積為.故答案為：16.已知雙曲線的右焦點(diǎn)到的一條漸近線的距離為 ，則雙曲線的方程為_(kāi)__________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件求出a，b，c即可.【詳解】∵漸近線的方程為，，又，由點(diǎn)到直線的距離公式知：，，∴雙曲線C的方程為：；故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分.17.為慶祝神舟十四號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開(kāi)展了航天知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，共有100人參加了這次競(jìng)賽，已知所有參賽學(xué)生的成績(jī)均位于區(qū)間，將他們的成績(jī)（滿分100分）分成五組依次為，，，，，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試估計(jì)這100人的競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取6人作為航天知識(shí)宣講使者，再?gòu)牡谒慕M和第五組的使者中隨機(jī)抽取2人作為組長(zhǎng)，求這2人來(lái)自同一組的概率.【答案】（1）73.5 （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率的性質(zhì)求a，再根據(jù)平均數(shù)運(yùn)算求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求每組抽取的人數(shù)，再結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【小問(wèn)1詳解】依題意可得：，解得：，根據(jù)頻率分布直方圖知：每組的頻率依次為，則平均數(shù)的估計(jì)值為，所以這100人的競(jìng)賽成績(jī)的平均數(shù)的估計(jì)值為73.5.【小問(wèn)2詳解】由題意可知：競(jìng)賽成績(jī)?cè)冢瑑蓚€(gè)組的人數(shù)之比為，若采用分層抽樣從中抽取6人，所以每組各抽學(xué)生人數(shù)分別為，分別記中所抽取的5人編號(hào)依次為1，2，3，4，5，中所抽取的1人編號(hào)為A，所以從6人中隨機(jī)抽取2人的情況為：，，，，，，，，，，，，，，共15種結(jié)果，其中這2人來(lái)自同一組（記為事件）的有10種，則所以這2人來(lái)自不同組的概率為.18.某校積極開(kāi)展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個(gè)“芻甍”（如圖2）. （1）若O是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）線段中點(diǎn)為，證明即可；（2）利用等體積法求三棱錐的體積.【小問(wèn)1詳解】在圖2中取線段中點(diǎn)H，連接，如圖所示：由圖1可知，四邊形是矩形，且，∴O是線段與的中點(diǎn)，∴且，圖1中且，而且.所以在圖2中，且，∴且，∴四邊形是平行四邊形，則，由于平面，平面，∴平面.【小問(wèn)2詳解】∵，面，，∴面，，所以， 即三棱錐的體積為.19.高二理科班有60名同學(xué)參加某次考試，從中隨機(jī)抽選出5名同學(xué)，他們的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī)?nèi)缦卤恚簲?shù)學(xué)成績(jī)140130120110100物理成績(jī)110901008070數(shù)據(jù)表明與之間有較強(qiáng)的線性關(guān)系.（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并估計(jì)該班某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分時(shí)該同學(xué)的物理成績(jī)；（Ⅱ）本次考試中，規(guī)定數(shù)學(xué)成績(jī)達(dá)到125分為數(shù)學(xué)優(yōu)秀，物理成績(jī)達(dá)到100分為物理優(yōu)秀.若該班數(shù)學(xué)優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為50%和60%，且所有同學(xué)中數(shù)學(xué)優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學(xué)共有6人，請(qǐng)你在答卷頁(yè)上填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)？物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀數(shù)學(xué)不優(yōu)秀合計(jì)參考公式及數(shù)據(jù)：回歸直線的系數(shù)，，，，.，.【答案】（Ⅰ），估計(jì)該班某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分時(shí)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?3分；（Ⅱ）能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)．【解析】【分析】（Ⅰ）由已知求得與的值，可得關(guān)于的線性回歸方程，取求得值即可；（Ⅱ）由題意填寫列聯(lián)表，求得的值，結(jié)合臨界值表得結(jié)論． 【詳解】解：（Ⅰ），．，．關(guān)于的線性回歸方程為，取，得．估計(jì)該班某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?0分時(shí)該同學(xué)的物理成績(jī)?yōu)?3分；（Ⅱ）由題意填寫列聯(lián)表：物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)優(yōu)秀24630數(shù)學(xué)不優(yōu)秀121830合計(jì)362460，能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為數(shù)學(xué)優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．20.已知（1）若的單調(diào)遞減區(qū)間是，求實(shí)數(shù)a的值（2）若，且對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根據(jù)的單調(diào)遞減區(qū)間是得到在上的解集為，然后求即可；（2）根據(jù)得到是上的遞減函數(shù)，然后分和兩種情況求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，則，因?yàn)榈膯握{(diào)遞減區(qū)間是，所以在上的解集為，所以，解得.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，，令，則是上的遞減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)是上的增函數(shù)，故，當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)是上增函數(shù)，故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是. 21.已知橢圓C：的離心率，短軸長(zhǎng)為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)Q，如果，，那么是否為定值？若是，請(qǐng)求出具體數(shù)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合橢圓的性質(zhì)可求a，b，進(jìn)而可求橢圓方程；（2）先對(duì)直線l的斜率是否存在分類討論，然后聯(lián)立直線l與已知橢圓方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及向量的線性坐標(biāo)表示可求．【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得，，故橢圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，，，，,則，，，，此時(shí)，，；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為， 聯(lián)立可得，設(shè)，，聯(lián)立可得，則，，因?yàn)?，，所以，，所以，【點(diǎn)睛】圓錐曲線中的范圍或最值以及定值問(wèn)題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的共線得到點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而為消去變量起到了重要的作用（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．（選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線的普通方程； （2）若曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線的距離為，求實(shí)數(shù)a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)即可求出曲線的普通方程；（2）首先曲線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，可以得到曲線是圓，要使曲線上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線的距離為，圓心到直線的距離，求解方程即可.【小問(wèn)1詳解】由已知得代入，消去參數(shù)t得曲線的普通方程為．【小問(wèn)2詳解】由曲線的極坐標(biāo)方程得，又，，，所以，即，所以曲線是圓心為，半徑等于的圓．因?yàn)榍€上恰有三個(gè)點(diǎn)到曲線的距離為，所以圓心到直線的距離，即，解得．（選修4-5不等式選講）23.已知，． （1）解不等式；（2）若方程有一個(gè)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）對(duì)分兩種情況討論，分別去掉絕對(duì)值符號(hào)，然后求解不等式組，再求并集即可得結(jié)果;（2）.作出函數(shù)的圖象，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，方程有一個(gè)解，由圖可得結(jié)果.【詳解】（1）不等式，即為.當(dāng)時(shí)，即化為，得，此時(shí)不等式的解集為，當(dāng)時(shí)，即化為，解得，此時(shí)不等式的解集為.綜上，不等式的解集為.（2）,即.作出函數(shù)的圖象如圖所示，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，方程有一個(gè)解，所以或.所以實(shí)數(shù)取值范圍是.