四川省瀘縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理） Word版含解析.docx

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瀘縣一中高2021級高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理工類）試卷本試卷共4頁.考試結(jié)束后，只將答題卡交回第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算法則求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，從而得到，再由復(fù)數(shù)的乘法運算法則即可求出．【詳解】因為，所以，故選：B.2.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的解法化簡集合，求解函數(shù)定義域求出集合，再利用集合的補集和交集運算即可得出結(jié)論．【詳解】由，即，解得，所以，又，，，故選：C． 3.若x，y滿足約束條件，則最小值為（）A1B.7C.9D.10【答案】A【解析】【分析】作出可行域，作直線，平移該直線可得最優(yōu)解．【詳解】作出可行域，如圖，作直線，直線中是直線的縱截距，代入得，即．平移直線，當(dāng)直線過點時取得最小值1．故選：A．4.已知命題，命題，則下列命題是真命題的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分別判斷命題與命題的真假，從而結(jié)合“且或非”的真假性即可得解.【詳解】對于命題，將代入，得，滿足要求，故為真命題，為假命題； 對于命題，取，則，不滿足要求，故為假命題，為真命題；所以為假命題，為假命題，為真命題，為假命題.故選：C.5.近期，我國多地紛紛進入“甲流”高發(fā)期，某地、兩所醫(yī)院因發(fā)熱就診的患者中分別有、被確診為“甲流”感染，且到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)是到醫(yī)院的四倍.現(xiàn)從到這兩所醫(yī)院就診的發(fā)熱患者中任選一人，則此人未感染“甲流”的概率是（）A.0.785B.0.666C.0.592D.0.235【答案】B【解析】【分析】設(shè)到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，利用古典概型的概率公式計算可得.【詳解】設(shè)到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，到醫(yī)院就診的發(fā)熱患者人數(shù)為人，因為、兩所醫(yī)院因發(fā)熱就診的患者中分別有、被確診為“甲流”感染，所以從到這兩所醫(yī)院就診的發(fā)熱患者中任選一人，則此人未感染“甲流”的概率.故選：B6.南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》中，研究了二階等差數(shù)列．若是公差不為零的等差數(shù)列，則稱數(shù)列為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有一個“三角垛”，共有40層，各層小球個數(shù)構(gòu)成一個二階等差數(shù)列，第一層放1個小球，第二層放3個小球，第三層放6個小球，第四層放10個小球，，則第40層放小球的個數(shù)為（）A.1640B.1560C.820D.780【答案】C【解析】【分析】首先由二階等差數(shù)列的定義，得到，再求和得到數(shù)列的通項公式，即可求.【詳解】設(shè)第層放小球的個數(shù)為，由題意，，……，數(shù)列是首項為 2，公差為1的等差數(shù)列，所以．故，故．故選：C．7.已知定義在R上的函數(shù)在上單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，則不等式的解集為（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件，可得對稱軸為，且在上單調(diào)遞減.根據(jù)函數(shù)的對稱性與單調(diào)性，可得只需即可，解出不等式即可.【詳解】由題意可得，對稱軸為，且在上單調(diào)遞減.則由，可得出，即，即，解得或所以，不等式的解集為.故選：B.8.“ChatGPT”以其極高的智能化引起世界關(guān)注.深度學(xué)習(xí)是人工智能的一種具有代表性的實現(xiàn)方法，它是以神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)為出發(fā)點的.在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化中，指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學(xué)習(xí)率，表示初始學(xué)習(xí)率，表示衰減系數(shù)，表示訓(xùn)練迭代輪數(shù)，表示衰減速度.已知某個指數(shù)衰減的學(xué)習(xí)率模型的初始學(xué)習(xí)率為，衰減速度為，且當(dāng)訓(xùn)練迭代輪數(shù)為時，學(xué)習(xí)率為，則學(xué)習(xí)率衰減到以下（不含）所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為（參考數(shù)據(jù)：）（） A.75B.74C.73D.72【答案】C【解析】【分析】由已知可得，再由，結(jié)合指對數(shù)關(guān)系及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】由題設(shè)可得，則，所以，即，所以所需的訓(xùn)練迭代輪數(shù)至少為次．故選：C．9.已知銳角滿足，則（）A.B.C.D.1【答案】D【解析】分析】先根據(jù)求出，再利用二倍角得正切公式求出，再根據(jù)兩角和得正切公式即可得解.【詳解】由，得，即，解得，又為銳角，所以，又，即，解得（舍去），所以，所以.故選：D. 10.已知分別是橢圓的左、右焦點，是上一點且與軸垂直，直線與的另一個交點為，若，則的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出的坐標(biāo)，根據(jù)得出的坐標(biāo)，根據(jù)在橢圓上列方程求解即可.【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由題意，的橫坐標(biāo)為，令，解得，即.設(shè)，又，，，由可得：，解得，又在橢圓上，即，整理得，解得.故選：A11.已知函數(shù)的兩個極值點分別為，若過點和的直線在軸上的截距為，則實數(shù)的值為（）A.2B.C.或D.或2 【答案】B【解析】【分析】由題意有兩個不同的零點，則求參數(shù)a范圍，再根據(jù)代入、確定已知點所在直線，進而求截距并列方程求參數(shù)值.【詳解】由題意有兩個不同零點，則，所以，即或，由，即，而，同理有，所以、均在上，令，則，得，綜上，（舍）故選：B12.若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，由，可得，再由，再作商法，得，從而得解.【詳解】令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，因為，所以，又，，所以，所以，故，因為，又因為，故，從而有，綜上所述：.故選：B.第II卷非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.的展開式中的系數(shù)是__________（用數(shù)字作答）．【答案】【解析】【分析】利用二項式展開式的通項公式求解即可.【詳解】的通項為，令，得的展開式中的系數(shù)是．故答案為：14.若曲線與曲線有兩條公切線，則的值為________．【答案】【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，分別寫出兩曲線的切線方程，讓兩切線方程的系數(shù)相等，得到方程組，消去一個變量后，問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其性質(zhì)，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可．【詳解】令，，則，，設(shè)，則曲線在處切線為， 設(shè)，則曲線在處切線為，由題意，消去得，由題意，方程有兩個不同的實數(shù)根，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，取極大值；當(dāng)時，取極小值，又當(dāng)時，根據(jù)以上信息作出的大致圖象，由圖可知當(dāng)，即時，直線與的圖象有兩個交點，從而方程有兩個不同的實數(shù)根，所以，曲線與曲線有兩條公切線時，的值為．故答案為：．15.在中，，D為BC邊上一點，且，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】將用表示，再平方可求得，再由結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解. 【詳解】由，得，則，所以，則，當(dāng)時，取等號，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：將用表示，再平方是解決本題的關(guān)鍵.16.已知，給出以下命題：①當(dāng)時，存在，有兩個不同的零點②當(dāng)時，存在，有三個不同的零點③當(dāng)時，對任意的，的圖象關(guān)于直線對稱④當(dāng)時，對任意的，有且只有兩個零點其中所有正確的命題序號是______.【答案】①②③【解析】【分析】當(dāng)，時，利用導(dǎo)數(shù)可求得在時的單調(diào)性，確定，利用導(dǎo)數(shù)可求得，可確定時在上有唯一零點；代回 時驗證，結(jié)合零點存在定理可確定在定義域內(nèi)共有兩個不同零點，知①正確；當(dāng)，時，易知為在上的唯一零點；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性，取，結(jié)合零點存在定理可說明在定義域內(nèi)共有三個不同零點，知②正確；根據(jù)解析式驗證知，知③正確；當(dāng)時，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可知時，有且僅有兩個零點；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，通過反例時，有三個不同零點可知④錯誤.【詳解】對于①，當(dāng)時，，則定義域為；當(dāng)時，，，當(dāng)時，令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；，即當(dāng)時，，則在上有唯一零點；當(dāng)，時，，，在上單調(diào)遞減，，，，使得，在有唯一零點；則當(dāng)，時，有兩個不同的零點，①正確；對于②，當(dāng)時，，則定義域為； 當(dāng)時，，；當(dāng)時，，，，在上單調(diào)遞減；又，在上有唯一零點；當(dāng)時，，；令，解得：，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；；令，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；不妨取，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；又，，，，使得，即在上存在兩個不同零點和；則當(dāng)，時，有三個不同的零點，②正確；對于③，當(dāng)時，，，對于任意的，的圖象關(guān)于直線對稱，③正確； 對于④，當(dāng)時，，則定義域為；當(dāng)時，若，，；則恒成立，在上單調(diào)遞增，又，在上有唯一零點；若，，；則恒成立，在上單調(diào)遞減，又，在上有唯一零點；當(dāng)時，有且僅有兩個零點；當(dāng)時，若，，；令，解得：（舍）或，當(dāng)時，；當(dāng)時，；不妨取，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，；又，，使得，又，恒成立，當(dāng)時，有三個不同的零點，④錯誤.故答案為：①②③.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題重點考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點個數(shù)的問題；解題關(guān)鍵是能夠通過分類討論的方式，結(jié)合變量的范圍討論函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)，從而得到結(jié)論.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． （一）必考題：共60分.17.如圖，平面四邊形中，對角線與相交于點，，，，.（1）求的面積；（2）求的值及的長度.【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)勾股定理可得，結(jié)合再根據(jù)面積公式求解即可；（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)可得，再用同角三角函數(shù)的關(guān)系與二倍角公式可得，然后根據(jù)，利用兩角和的正弦公式求解，由正弦定理求解即可.【小問1詳解】∵，，，，;【小問2詳解】，，，則.，，，， 又，在中，，由正弦定理可知，，.18.2018年12月8日，我國在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長征三號乙運載火箭成功發(fā)射嫦娥四號探測器，開啟了月球探測的新旅程.為了解廣大市民是否實時關(guān)注了這一事件，隨機選取了部分年齡在20歲到70歲之間的市民作為一個樣本，將此樣本按年齡，，，，分為5組，并得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中實數(shù)的值，并估計樣本數(shù)據(jù)中市民年齡的眾數(shù)；（2）為進一步調(diào)查市民在日常生活中是否關(guān)注國家航天技術(shù)發(fā)展的情況，現(xiàn)按照分層抽樣的方法從，，三組中抽取了6人.從這6人中任意抽取3人了解情況.記這3人中年齡在的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1），眾數(shù)為（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)概率之和等于即可求得，由頻率分布直方圖即可得出眾數(shù)；（2）先根據(jù)分層抽樣求出各區(qū)間的人數(shù)，再寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應(yīng)概率，即可得分布列，再根據(jù)期望公式求期望即可. 【小問1詳解】由，解得，眾數(shù)為；【小問2詳解】的人數(shù)為，的人數(shù)為，的人數(shù)為，則可取，，，，，所以分布列為（人）.19.圖1是直角梯形，，，，，，四邊形為平行四邊形，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2．（1）求證：平面平面； （2）在線段上存在點使得與平面的正弦值為，求平面與所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，交于，可證，平面，所以，平面平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)條件求出的位置，再用空間向量求平面與所成角的余弦值．【小問1詳解】證明：在圖1中，連接，交于，，所以，所以，四邊形是菱形，所以，且．在圖2中，滿足，所以，所以，，又平面，所以，平面，又平面，所以，平面平面；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系， 則，所以，設(shè)平面的法向量為，則即，取，得，設(shè)，在線段上存在點使得與平面的正弦值為，所以解得或（舍），所以，設(shè)平面的法向量為，則即，取，得，設(shè)平面與平面的平面角為， 所以，平面與所成角的余弦值為20.在平面直角坐標(biāo)系中，已知分別是橢圓的左焦點和右焦點.（1）設(shè)是橢圓上的任意一點，求取值范圍；（2）設(shè)，直線與橢圓交于兩點，若是以為直角頂點的等腰直角三角形，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）易知，設(shè)，有，再利用平面向量的數(shù)量積運算求解；（2）①當(dāng)直線垂直于軸時，由對稱性知，點關(guān)于軸對稱，不妨令點在軸右側(cè)，由是以為直角頂點的等腰直角三角形，得到直線方程為：，與橢圓方程聯(lián)立求解；（2）當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)是以為直角頂點的等腰直角三角形，得到，則，結(jié)合韋達定理線求得，再由BD的中垂線，由斜率關(guān)系得到求解.【小問1詳解】在橢圓中，，設(shè)，則有，即，于是，顯然，所以的取值范圍是.【小問2詳解】 ①顯然直線不垂直于軸，當(dāng)直線垂直于軸時，由對稱性知，點關(guān)于軸對稱，不妨令點在軸右側(cè)，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，則直線方程為：，由消去得：，于是得，點，直線的方程為，（2）當(dāng)直線與坐標(biāo)軸不垂直時，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由消去得：，則，即，，可得因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，有，而，于是，即，整理得，從而，化為，解得，又線段的中垂線過點及點，因此，即， 解得，而當(dāng)時，成立，即，因此直線的方程為.21.設(shè)函數(shù).（1）從下面兩個條件中選擇一個，求實數(shù)的取值范圍；①當(dāng)時，；②在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時，證明：函數(shù)有兩個極值點，且隨著的增大而增大.【答案】（1）選①；選②（2）證明見解析【解析】【分析】（1）若選①，可得在上單調(diào)遞增，然后討論當(dāng)時，不符合要求，即可得到結(jié)果；若選②，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后分與討論，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，先證得函數(shù)有兩個極值點，然后構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性即可得到證明.【小問1詳解】令，則，所以，則，令，則，選①：當(dāng)時，因為時，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，，說明在上單調(diào)遞增，所以，符合題意；當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，說明在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，此時不符合題意； 綜上，實數(shù)的取值范圍.選②：在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，當(dāng)時，，所以在上遞增，又，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，從而，由在上恒成立，得，令，說明在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，故.綜上，實數(shù)的取值范圍.【小問2詳解】當(dāng)時，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，又，當(dāng)時，，說明在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，說明在上單調(diào)遞減，所以為極大值點.由（1）有，則，所以當(dāng)時，有，所以當(dāng)時，，所以使得.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以為極小值點，綜上，函數(shù)有兩個極值點； 其中滿足，所以，設(shè)，則，由（1）知，所以單調(diào)遞增，所以隨著的增大而增大，又，所以，故隨著的增大而增大.【點睛】方法點睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題，注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點，不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性，極（最）值問題處理.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分．（選修4-4極坐標(biāo)與參數(shù)方程）22.在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，以極點為原點，極軸所在直線為軸，取同樣的單位長度建立平面直角坐標(biāo)系xoy，已知曲線的普通方程為.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點，且曲線與曲線交于點兩點，求的值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化即可求解；（2）設(shè)出曲線的參數(shù)方程，與曲線的直角坐標(biāo)方程聯(lián)立，利用參數(shù)的幾何意義即可求解.【小問1詳解】因為曲線的極坐標(biāo)方程為可化為， 即，將代入可得，的直角坐標(biāo)方程為.又因為曲線的普通方程為可化為，將代入可得，的極坐標(biāo)方程，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程.【小問2詳解】直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），將（為參數(shù)）代入得：.顯然，設(shè)點在直線上對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，與的夾角為，.（選修4-5不等式選講）23.已知函數(shù)（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)的最小值為m，且正數(shù)a，b，c滿足，求證：． 【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）去絕對值后，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式可得答案；（2）利用絕對值三角不等式求出，再根據(jù)基本不等式可證不等式成立.【小問1詳解】由題意得：，∴，即，∴，∴不等式的解集為．【小問2詳解】∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，∴函數(shù)最小值為1，即．∴，因為，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）.∴不等式得證．