四川省瀘縣第四中學2023-2024學年高三上學期開學考試文科數(shù)學Word版含解析.docx

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瀘縣四中高2021級高三上學期開學考試文科數(shù)學試卷第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知復數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用復數(shù)的四則運算化簡復數(shù)，根據(jù)共軛復數(shù)的定義可得出復數(shù).【詳解】由已知可得，因此，.故選：A.2.已知一組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示，則數(shù)據(jù)的中位數(shù)估計值為（）A.64B.65C.64.5D.66【答案】B【解析】【分析】首先判斷中位數(shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，依題意可得，解得即可.【詳解】解：因為，所以中位數(shù)位于之間，設(shè)中位數(shù)為，則，解得， 即中位數(shù)為.故選：B3.成立的充要條件是（）A.B.C.D.或【答案】D【解析】【分析】解分式不等式即可得解；【詳解】解：因為，，，即，解得或，即，故成立的充要條件是“或”.故選：【點睛】本題考查分式不等式解法及充要條件的理解，屬于基礎(chǔ)題.4.曲線在處的切線方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，運用點斜式方程即可得到所求切線的方程．【詳解】解：的導數(shù)為，可得在處的切線斜率為，切點為，即有在處的切線方程為，即為．故選：．【點睛】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查導數(shù)的幾何意義，正確求導和運用點斜式方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題． 5.函數(shù)的圖象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】確定函數(shù)為奇函數(shù)排除BD，計算，排除A，得到答案.【詳解】，函數(shù)定義域為，，函數(shù)為奇函數(shù)，排除BD；，，故，排除A.故選：C6.直線與圓相交，則點與圓的位置關(guān)系是（）A.在圓上B.在圓內(nèi)C.在圓外D.不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，得到圓心到直線的距離為，求得，結(jié)合點與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】因為直線與圓O：相交，可得圓心到直線的距離為，解得， 所以點在圓外.故選：C.7.很多關(guān)于整數(shù)規(guī)律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的數(shù)學家和數(shù)學愛好者，有些猜想已經(jīng)被數(shù)學家證明，如“費馬大定理”，但大多猜想還未被證明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的內(nèi)容是：對于每一個正整數(shù)，如果它是奇數(shù)，則將它乘以再加1；如果它是偶數(shù)，則將它除以；如此循環(huán)，最終都能夠得到.下圖為研究“角谷猜想”的一個程序框圖.若輸入的值為，則輸出i的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)程序框圖列舉出程序的每一步，即可得出輸出結(jié)果.【詳解】輸入，不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)不成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，；不成立，是偶數(shù)成立，則，； 不成立，是偶數(shù)成立，則，；成立，跳出循環(huán)，輸出i的值為.故選：B.【點睛】本題考查利用程序框圖計算輸出結(jié)果，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.8.設(shè)為正數(shù)，若，則的最小值為（）A.6B.9C.12D.15【答案】B【解析】【分析】直接利用基本不等式，結(jié)合已知代數(shù)式的形式進行求解即可.【詳解】，，則，當且僅當，即時取等號.故選：B9.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米地方測得信息素濃度y滿足函數(shù)（A，K為非零常數(shù)）．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為a，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）米．A.B.2C.D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得，再根據(jù)即可求出值.【詳解】由題知：當，時，，代入得：，當，時，，即， 而，解得：或（舍）故選：D.10.若，，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和比較，用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和比較，用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和比較，即可判斷大小關(guān)系.【詳解】因為,所以為減函數(shù)，所以，即因為,所以為增函數(shù)，所以，即.因為,所以為增函數(shù)，所以，即，所以．故選：D11.在三棱柱中，，側(cè)棱底面ABC，若該三棱柱的所有頂點都在同一個球O的表面上，且球O的表面積的最小值為，則該三棱柱的側(cè)面積為（）A.B.C.D.3【答案】B【解析】【詳解】如圖：設(shè)三棱柱上、下底面中心分別為、，則的中點為， 設(shè)球的半徑為，則，設(shè)，，則，，則在△中，，當且僅當時，等號成立，所以，所以，所以，所以該三棱柱的側(cè)面積為.故選：B.【點睛】本題考查利用不等式求解棱柱的外接球面積最小值與側(cè)面積問題，屬于中檔題12.若函數(shù)在區(qū)間上有零點，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)為函數(shù)的零點，則，轉(zhuǎn)化為在直線上，根據(jù)表示點到原點的距離的平方，得到，構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)， 設(shè)為函數(shù)在上的零點，則，即，即點在直線上，又表示點到原點的距離的平方，則，即，令，則，因為，所以，在單調(diào)遞增.所以最小值為.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：設(shè)零點有，換主元化為點在直線上，結(jié)合的幾何意義及點線距離公式得為關(guān)鍵.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，且滿足，則_______.【答案】4【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示求解.【詳解】由已知，又，所以，．故答案為：4.14.若實數(shù)、滿足，則目標函數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】 【分析】畫出約束條件的可行域，根據(jù)簡單線性規(guī)劃問題的解法，平移即可求解．【詳解】作出圖象，如圖所示陰影區(qū)域為可行域：作直線的平行線，因為，越往上移，越大，越往下移，越小，當目標函數(shù)經(jīng)過可行域的時，目標函數(shù)取得最大值2，目標函數(shù)經(jīng)過時，目標函數(shù)取得最小值．所以目標函數(shù)的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查簡單線性規(guī)劃問題的解法應(yīng)用，準確畫出可行域是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．15.將某個圓錐體沿著母線和底面圓周剪開后展開，所得的平面圖形是一個圓和扇形，已知該扇形的半徑為，圓心角為，則圓錐的體積是_________.【答案】【解析】【分析】求得圓錐的底面半徑和高，從而求得圓錐的體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則，，所以圓錐的體積為.故答案為：16.已知雙曲線的右焦點到的一條漸近線的距離為 ，則雙曲線的方程為___________________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件求出a，b，c即可.【詳解】∵漸近線的方程為，，又，由點到直線的距離公式知：，，∴雙曲線C的方程為：；故答案為：.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分.17.為慶祝神舟十四號載人飛船返回艙成功著陸，某學校開展了航天知識競賽活動，共有100人參加了這次競賽，已知所有參賽學生的成績均位于區(qū)間，將他們的成績（滿分100分）分成五組依次為，，，，，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）試估計這100人的競賽成績的平均數(shù)；（2）采用按比例分配的分層抽樣的方法，從競賽成績在內(nèi)的學生中隨機抽取6人作為航天知識宣講使者，再從第四組和第五組的使者中隨機抽取2人作為組長，求這2人來自同一組的概率.【答案】（1）73.5 （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率的性質(zhì)求a，再根據(jù)平均數(shù)運算求解；（2）先根據(jù)分層抽樣求每組抽取的人數(shù)，再結(jié)合古典概型運算求解.【小問1詳解】依題意可得：，解得：，根據(jù)頻率分布直方圖知：每組的頻率依次為，則平均數(shù)的估計值為，所以這100人的競賽成績的平均數(shù)的估計值為73.5.【小問2詳解】由題意可知：競賽成績在，兩個組的人數(shù)之比為，若采用分層抽樣從中抽取6人，所以每組各抽學生人數(shù)分別為，分別記中所抽取的5人編號依次為1，2，3，4，5，中所抽取的1人編號為A，所以從6人中隨機抽取2人的情況為：，，，，，，，，，，，，，，共15種結(jié)果，其中這2人來自同一組（記為事件）的有10種，則所以這2人來自不同組的概率為.18.某校積極開展社團活動，在一次社團活動過程中，一個數(shù)學興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計了一道數(shù)學探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長為4的正方形的三邊的中點，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段折起，連接就得到了一個“芻甍”（如圖2）. （1）若O是四邊形對角線的交點，求證：平面；（2）若，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）線段中點為，證明即可；（2）利用等體積法求三棱錐的體積.【小問1詳解】在圖2中取線段中點H，連接，如圖所示：由圖1可知，四邊形是矩形，且，∴O是線段與的中點，∴且，圖1中且，而且.所以在圖2中，且，∴且，∴四邊形是平行四邊形，則，由于平面，平面，∴平面.【小問2詳解】∵，面，，∴面，，所以， 即三棱錐的體積為.19.高二理科班有60名同學參加某次考試，從中隨機抽選出5名同學，他們的數(shù)學成績與物理成績?nèi)缦卤恚簲?shù)學成績140130120110100物理成績110901008070數(shù)據(jù)表明與之間有較強的線性關(guān)系.（Ⅰ）求關(guān)于的線性回歸方程，并估計該班某同學的數(shù)學成績?yōu)?0分時該同學的物理成績；（Ⅱ）本次考試中，規(guī)定數(shù)學成績達到125分為數(shù)學優(yōu)秀，物理成績達到100分為物理優(yōu)秀.若該班數(shù)學優(yōu)秀率與物理優(yōu)秀率分別為50%和60%，且所有同學中數(shù)學優(yōu)秀但物理不優(yōu)秀的同學共有6人，請你在答卷頁上填寫下面列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為數(shù)學優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)？物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀數(shù)學不優(yōu)秀合計參考公式及數(shù)據(jù)：回歸直線的系數(shù)，，，，.，.【答案】（Ⅰ），估計該班某同學的數(shù)學成績?yōu)?0分時該同學的物理成績?yōu)?3分；（Ⅱ）能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為數(shù)學優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)．【解析】【分析】（Ⅰ）由已知求得與的值，可得關(guān)于的線性回歸方程，取求得值即可；（Ⅱ）由題意填寫列聯(lián)表，求得的值，結(jié)合臨界值表得結(jié)論． 【詳解】解：（Ⅰ），．，．關(guān)于的線性回歸方程為，取，得．估計該班某同學的數(shù)學成績?yōu)?0分時該同學的物理成績?yōu)?3分；（Ⅱ）由題意填寫列聯(lián)表：物理優(yōu)秀物理不優(yōu)秀合計數(shù)學優(yōu)秀24630數(shù)學不優(yōu)秀121830合計362460，能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為數(shù)學優(yōu)秀與物理優(yōu)秀有關(guān)．【點睛】本題考查線性回歸方程的求法，考查獨立性檢驗，考查計算能力，屬于中檔題．20.已知（1）若的單調(diào)遞減區(qū)間是，求實數(shù)a的值（2）若，且對任意，都有，求實數(shù)a的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根據(jù)的單調(diào)遞減區(qū)間是得到在上的解集為，然后求即可；（2）根據(jù)得到是上的遞減函數(shù)，然后分和兩種情況求解即可.【小問1詳解】由題意得，則，因為的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以在上的解集為，所以，解得.【小問2詳解】設(shè)，，令，則是上的遞減函數(shù)，當時，，，函數(shù)是上的增函數(shù)，故，當時，，，函數(shù)是上增函數(shù)，故，所以實數(shù)的取值范圍是. 21.已知橢圓C：的離心率，短軸長為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知經(jīng)過定點的直線l與橢圓相交于A，B兩點，且與直線相交于點Q，如果，，那么是否為定值？若是，請求出具體數(shù)值；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由已知結(jié)合橢圓的性質(zhì)可求a，b，進而可求橢圓方程；（2）先對直線l的斜率是否存在分類討論，然后聯(lián)立直線l與已知橢圓方程，結(jié)合方程的根與系數(shù)關(guān)系及向量的線性坐標表示可求．【小問1詳解】由題意得，解得，，故橢圓C的方程為；【小問2詳解】當直線l斜率不存在時，，，，,則，，，，此時，，；當直線l的斜率存在時，設(shè)斜率為k，則直線l的方程為， 聯(lián)立可得，設(shè)，，聯(lián)立可得，則，，因為，，所以，，所以，【點睛】圓錐曲線中的范圍或最值以及定值問題，可根據(jù)題意構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，然后根據(jù)題目中給出的范圍或由判別式求解，解題中注意函數(shù)單調(diào)性和基本不等式的作用．另外在解析幾何中還要注意向量的應(yīng)用，如本題中根據(jù)向量的共線得到點的坐標之間的關(guān)系，進而為消去變量起到了重要的作用（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分．（選修4-4極坐標與參數(shù)方程）22.在平面直角坐標系xOy中，設(shè)曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程； （2）若曲線上恰有三個點到曲線的距離為，求實數(shù)a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)即可求出曲線的普通方程；（2）首先曲線的極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程，可以得到曲線是圓，要使曲線上恰有三個點到曲線的距離為，圓心到直線的距離，求解方程即可.【小問1詳解】由已知得代入，消去參數(shù)t得曲線的普通方程為．【小問2詳解】由曲線的極坐標方程得，又，，，所以，即，所以曲線是圓心為，半徑等于的圓．因為曲線上恰有三個點到曲線的距離為，所以圓心到直線的距離，即，解得．（選修4-5不等式選講）23.已知，． （1）解不等式；（2）若方程有一個解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）對分兩種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結(jié)果;（2）.作出函數(shù)的圖象，當直線與函數(shù)的圖象有一個公共點時，方程有一個解，由圖可得結(jié)果.【詳解】（1）不等式，即為.當時，即化為，得，此時不等式的解集為，當時，即化為，解得，此時不等式的解集為.綜上，不等式的解集為.（2）,即.作出函數(shù)的圖象如圖所示，當直線與函數(shù)的圖象有一個公共點時，方程有一個解，所以或.所以實數(shù)取值范圍是.