四川省成都市樹德中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試文科數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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樹德中學(xué)高2021級(jí)高三上期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（文）時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】因，，所以.故選：D.2.若為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即可得答案.【詳解】，其虛部為．故選：D．3.已知向量，，且，則（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根據(jù)求得m，再利用向量的模公式求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，所以，又因?yàn)椋?，解得，所以，故選：C4.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)，分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義，如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一種分形，具體作法是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)連線.將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后，對(duì)其余3個(gè)小三角形重復(fù)上述過(guò)程逐次得到各個(gè)圖形，若記圖①三角形的面積為，則第n個(gè)圖中陰影部分的面積為A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】每一個(gè)圖形的面積是前一個(gè)圖形面積的，根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：每一個(gè)圖形的面積是前一個(gè)圖形面積的，即面積為首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列， 故第n個(gè)圖中陰影部分的面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.5.已知矩形ABCD中，，現(xiàn)向矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)投擲質(zhì)點(diǎn)P，則滿足為銳角的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，如圖所示，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)P落在圓外時(shí)，為銳角，分別求出矩形ABCD和半圓的面積，由幾何概型概率計(jì)算公式即可求得答案.【詳解】解：如圖所示，設(shè)，當(dāng)點(diǎn)P落在以O(shè)為圓心，以AB為直徑的圓上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)P落在圓外時(shí)，為銳角，矩形ABCD面積為，半圓的面積為，由幾何概型概率計(jì)算公式知滿足為銳角的概率是，故選：A.6.在如圖所示的程序框圖中，程序運(yùn)行的結(jié)果為3840，那么判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，即可得出判斷框中應(yīng)填入的判斷條件.【詳解】模擬程序的運(yùn)行過(guò)程，如下：程序進(jìn)行第一次循環(huán)：，此時(shí)，繼續(xù)運(yùn)行.程序進(jìn)行第二次循環(huán)：，此時(shí)，繼續(xù)運(yùn)行.程序進(jìn)行第三次循環(huán)：，此時(shí)，繼續(xù)運(yùn)行.程序進(jìn)行第四次循環(huán)：，此時(shí)，結(jié)束運(yùn)行.所以時(shí)，程序退出循環(huán)，而時(shí)，程序運(yùn)行不退出循環(huán).結(jié)合選項(xiàng)分析可得：選項(xiàng)C滿足.故選：C7.若命題，；命題，，則下列命題為真命題的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用基本不等式與二次函數(shù)的性質(zhì)判斷得命題的真假，從而結(jié)合“且或非”命題的真假性即可判斷.【詳解】對(duì)于命題， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，，故命題為真命題；對(duì)于命題，令，則開口向上，，所以恒成立，即恒成立，故命題為假命題；所以為真，為假，為假，為假.故選：A.8.已知、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由知點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓，根據(jù)點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，可得，再根據(jù)橢圓的性質(zhì)能夠推導(dǎo)出橢圓離心率的取值范圍．【詳解】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸長(zhǎng)、半短軸長(zhǎng)、半焦距分別為，，點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半焦距為半徑的圓，又點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部，該圓內(nèi)含于橢圓，即，，，．故選：A． 9.（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系將切化弦，再根據(jù)二倍角公式以及兩角和差的正余弦公式，化簡(jiǎn)求值，即得答案.【詳解】，故選：B10.已知四面體滿足，，，且該四面體的外接球的表面積是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】將將四面體放入長(zhǎng)方體中，求出長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，進(jìn)而得到外接球半徑，得到表面積. 【詳解】將四面體放入長(zhǎng)方體中，如圖，則四面體的外接球，即為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)長(zhǎng)方體中，則，三式相加得，故，所以四面體的外接球半徑為，故四面體的外接球表面積為.故選：B11.已知函數(shù)．若對(duì)任意，存在，使成立，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】把恒成立及存在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值間關(guān)系，先根據(jù)三角函數(shù)值域求，再求二次函數(shù)最值求出m的取值范圍即可.【詳解】因?yàn)閷?duì)任意，存在，使成立， 所以,,,,,存在，成立,.故選：D.12.對(duì)于函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù),使得，則稱點(diǎn)與點(diǎn)是函數(shù)的一對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”．若時(shí)，函數(shù)的圖象上恰有2對(duì)“隱對(duì)稱點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，再次轉(zhuǎn)化為與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，然后畫出圖象，根據(jù)圖象可求得答案.【詳解】由題意可得，函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)根，即， 令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，的圖象恒過(guò)點(diǎn)，的圖象也過(guò)點(diǎn)，因?yàn)?，所以在處的切線方程為，由圖可知當(dāng)或時(shí)，與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)根，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的新定義，解題有關(guān)鍵是對(duì)新定義的正確理解，從而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有2個(gè)根，然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)圖象求解，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．答案填在答題卷相應(yīng)橫線上．13.設(shè)滿足約束條件，則的最大值為__．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)可行域結(jié)合幾何意義求最值.【詳解】作出可行域如下， 由可得，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，最小，則最大，此時(shí).故答案為:4.14.在中，角所對(duì)的邊分別為，則的面積為__________.【答案】【解析】【分析】利用余弦定理求出，再由面積公式計(jì)算可得.【詳解】，，，由余弦定理得，，或（舍去），面積.故答案為：15.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為4，E是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面圖形的周長(zhǎng)是______． 【答案】【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作的平行線即可延展平面，則可得到截面，再求周長(zhǎng)即可.【詳解】取中點(diǎn)，連接，,∵中點(diǎn)為，E是側(cè)棱的中點(diǎn)，∴,,又在直角三角形中,∴,∵正方體中，∴四邊形為平行四邊形,∴∴,四點(diǎn)共面，即為正方體截面.在直角三角形中,同理,則截面周長(zhǎng)為.故答案為:.16.已知A、B是橢圓與雙曲線的公共頂點(diǎn)，P是雙曲線上一點(diǎn)，PA，PB交橢圓于M，N．若MN過(guò)橢圓的焦點(diǎn)F，且，則雙曲線的離心率為______． 【答案】##【解析】【詳解】由題意可知：如圖，設(shè)，可得直線的斜率分別為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，則，整理得，所以，設(shè)點(diǎn)，可得直線的斜率，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，整理得，所以，即，可得，所以直線與關(guān)于軸對(duì)稱，又因?yàn)闄E圓也關(guān)于軸對(duì)稱，且過(guò)焦點(diǎn)，則軸，令，則，因?yàn)?，，則 ，解得，所以雙曲線的離心率.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的三種方法：定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得得值，根據(jù)離心率的定義求解離心率；齊次式法：由已知條件得出關(guān)于的二元齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程求解；特殊值法：通過(guò)取特殊值或特殊位置，求出離心率.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題，共60分．17.某新能源汽車制造公司，為鼓勵(lì)消費(fèi)者購(gòu)買其生產(chǎn)的汽車，約定從今年元月開始，凡購(gòu)買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購(gòu)車補(bǔ)貼．某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)已購(gòu)買該品牌汽車的消費(fèi)者，就購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示．（1）估計(jì)已購(gòu)買該品牌汽車的消費(fèi)群體對(duì)購(gòu)車補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)；（2）統(tǒng)計(jì)今年以來(lái)元月~5月該品牌汽車的市場(chǎng)銷售量，得其頻數(shù)分布表如下：月份元月2月3月4月5月銷售量（萬(wàn)輛）0.50.61.01.41.7預(yù)測(cè)該品牌汽車在今年6月份的銷售量約為多少萬(wàn)輛？ 附：對(duì)于一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)值分別為，．【答案】（1）萬(wàn)元（2）2萬(wàn)輛【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算即可；（2）由所給數(shù)據(jù)求出線性回歸方程，代入，即可得出預(yù)測(cè)值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹狈綀D的組距為1，則各組數(shù)據(jù)的頻率即為相應(yīng)小矩形的高，所以平均數(shù)的估計(jì)值為萬(wàn)元．【小問(wèn)2詳解】記，，，，，，由散點(diǎn)圖可知，5組樣本數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系．因?yàn)?，，，，則，，所以回歸直線方程是．當(dāng)時(shí)，，預(yù)計(jì)該品牌汽車在今天6月份的銷售量約為2萬(wàn)輛．18.如圖，梯形中，，為中點(diǎn)，且，，將沿翻折到，使得．連接． （1）求證：；（2）為線段上一點(diǎn)，若，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，證得平面，從而得到平面平面，取中點(diǎn)，連接，證得平面，從而證得平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，即可證得．（2）由，得到，結(jié)合棱錐的體積公式，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)?，所以且，又因?yàn)?，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?所以平面平面，在梯形中，，所以，所以在四棱錐中，，又因?yàn)?，所以為正三角形，取中點(diǎn)，連接，可得，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，且，可得平面，又因?yàn)椋?，，所以四邊形OBCE為正方形，所以，因?yàn)榍移矫?，所以平? 又因?yàn)槠矫?，所以．【小?wèn)2詳解】解：由題意得，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，且，即，所以，又由（1）知平面，所以為三棱錐的高，由為正三角形，且，可得，所以．19.在數(shù)列中，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求出，然后當(dāng)時(shí)，由已知式子可得，和已知式子相減化簡(jiǎn)可求得，再驗(yàn)證，即可求得通項(xiàng)公式，（2）由（1）得，然后利用錯(cuò)位相減法可求得【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，則，得，兩式相減得，，所以，因?yàn)闈M足上式，所以【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以所以，所以，所以20.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）P為橢圓C在第一象限內(nèi)部分上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，分別交y軸與D，E兩點(diǎn)，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）【解析】 【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）設(shè)出的坐標(biāo)，根據(jù)切線求得，由求得點(diǎn)的坐標(biāo).【小問(wèn)1詳解】由題知解得，，故橢圓C的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)，，，則直線PD的方程為，即，因?yàn)閳A心到直線PD的距離為1，即，即，即，同理．由此可知，m，n為方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，．．因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，則，則，則，則，因?yàn)?，則，，即，故存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件． 【點(diǎn)睛】求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵點(diǎn)在于求得或，由于是兩個(gè)未知數(shù)，所以需要兩個(gè)已知條件才能求解，如本題中，橢圓的離心率和橢圓上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，有的題目還需要結(jié)合橢圓中的“隱藏條件”來(lái)進(jìn)行求解.21.已知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．（3）若存在實(shí)數(shù)、，使得恒成立，求的最小值．【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）求得，分、兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；（2）由已知得，在時(shí)顯然成立，在、兩種情況下，結(jié)合參變量分離法可求得實(shí)數(shù)的取值范圍，綜合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）分析可知當(dāng)時(shí)，不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，可得出；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，可知存在，使得，結(jié)合極值點(diǎn)的定義可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，綜合可得出的最小值.【小問(wèn)1詳解】 解：因?yàn)?，其中，則，若，則恒成立，此時(shí)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；若，由，得，由，得，此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．【小問(wèn)2詳解】解：由得，當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，可得，令，則，則在上遞減，故，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，可得，令得，由，可得，由，可得．此時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，在處取得最小值，即，此時(shí)．綜上，的取值范圍是．【小問(wèn)3詳解】解：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不可能恒成立；當(dāng)時(shí)，，要使恒成立，只需，所以， 當(dāng)時(shí)，由題意，，因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以存在唯一的，使得，由可得，由可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，因?yàn)楹愠闪ⅲ?，故①，又，所以，代入不等式①可得，整理得：，設(shè)，則，所以，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而，所以，當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，綜上所述，的最小值為．（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，動(dòng)圓C：.（1）求動(dòng)圓圓心C的軌跡；（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線M的極坐標(biāo)方程為：，過(guò)點(diǎn)P的直線l與曲線M交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率.【答案】（1）圓心C的軌跡為線段； （2）.【解析】【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)即可得圓心C的軌跡；（2）將曲線M的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，設(shè)直線的傾斜角為，得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線M的直角坐標(biāo)方程，設(shè)，可得，根據(jù)韋達(dá)定理可求的值，結(jié)合即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓心，因?yàn)?，所?所以圓心C的軌跡方程為，即圓心C的軌跡為線段.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，即曲線的直角坐標(biāo)方程為.設(shè)直線的傾斜角為，由點(diǎn)在直線上，得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線的方程得：，設(shè)，由于點(diǎn)在曲線的內(nèi)部，所以，化簡(jiǎn)得：，解得.由于，所以，或， 所以，即直線的斜率為.23.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小值；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）寫出分段函數(shù)形式，分析、的性質(zhì)及最值，即可確定最小值；（2）利用分析法，將問(wèn)題化為證明，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為證即可.【小問(wèn)1詳解】由題設(shè)，而在、、上均能取到最小值，對(duì)于在上遞減，上為常數(shù)，上遞增，且連續(xù)，所以的最小值在上取得，即時(shí)，最小值為.【小問(wèn)2詳解】由，僅當(dāng)取等號(hào)，要證，即證，則，需證，而，即，所以恒成立，故得證.