四川省成都市樹德中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)考試理科數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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樹德中學(xué)高2021級高三上期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（理）時間：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)題意分別求解集合A、B，再求交集即可.【詳解】集合，集合，所以故選：D.2.復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義表示出，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則計算可得.【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，則，所以.故選：C．3.已知向量，，且，則（）A.B.C.D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)求得m，再利用向量的模公式求解.【詳解】解：因為向量，，所以，又因為，所以，解得，所以，故選：C4.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個數(shù)學(xué)意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)，分形幾何學(xué)不僅讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的科學(xué)方法論意義，如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基三角形就屬于一種分形，具體作法是取一個實心三角形，沿三角形的三邊中點連線.將它分成4個小三角形，去掉中間的那一個小三角形后，對其余3個小三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個圖形，若記圖①三角形的面積為，則第n個圖中陰影部分的面積為A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】每一個圖形的面積是前一個圖形面積的，根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.【詳解】根據(jù)題意：每一個圖形的面積是前一個圖形面積的，即面積為首項為，公比為 的等比數(shù)列，故第n個圖中陰影部分的面積為.故選：D.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.5.已知矩形ABCD中，，現(xiàn)向矩形ABCD內(nèi)隨機投擲質(zhì)點P，則滿足為銳角的概率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意作圖，如圖所示，設(shè)，當(dāng)點P落在圓外時，為銳角，分別求出矩形ABCD和半圓的面積，由幾何概型概率計算公式即可求得答案.【詳解】解：如圖所示，設(shè)，當(dāng)點P落在以O(shè)為圓心，以AB為直徑的圓上時，，當(dāng)點P落在圓外時，為銳角，矩形ABCD的面積為，半圓的面積為，由幾何概型概率計算公式知滿足為銳角的概率是，故選：A.6.在如圖所示的程序框圖中，程序運行的結(jié)果為3840，那么判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是（） AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】模擬程序的運行過程，即可得出判斷框中應(yīng)填入的判斷條件.【詳解】模擬程序的運行過程，如下：程序進行第一次循環(huán)：，此時，繼續(xù)運行.程序進行第二次循環(huán)：，此時，繼續(xù)運行.程序進行第三次循環(huán)：，此時，繼續(xù)運行.程序進行第四次循環(huán)：，此時，結(jié)束運行.所以時，程序退出循環(huán)，而時，程序運行不退出循環(huán).結(jié)合選項分析可得：選項C滿足.故選：C7.為了加強新型冠狀病毒疫情防控，某社區(qū)派遣甲?乙?丙?丁?戊五名志愿者參加，，三個小區(qū)的防疫工作，每人只去1個小區(qū)，每個小區(qū)至少去1人，且甲?乙兩人約定去同一個小區(qū)，則不同的派遣方案共有（）A.24種B.36種C.48種D.64種【答案】B【解析】【分析】分3：1：1與2：2：1分配進行選派，結(jié)合排列組合知識簡單計算即可.【詳解】若按照3：1：1進行分配，則有種不同的方案， 若按照2：2：1進行分配，則有種不同的方案，故共有36種派遣方案.故選：B8.已知、是橢圓的兩個焦點，滿足的點總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】設(shè)橢圓的半長軸、半短軸、半焦距分別為．因為所以點M的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓．與因為點M在橢圓的內(nèi)部，所以，所以，所以，所以，故選C．【點睛】求離心率的值或范圍就是找的值或關(guān)系．由想到點M的軌跡為以原點為圓心，半徑為的圓．再由點M在橢圓的內(nèi)部，可得，因為．所以由得，由關(guān)系求離心率的范圍．9.（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】利用同角的三角函數(shù)關(guān)系將切化弦，再根據(jù)二倍角公式以及兩角和差的正余弦公式，化簡求值，即得答案.【詳解】 ，故選：B10.已知四面體ABCD滿足，，，且該四面體ABCD的外接球的球半徑為，四面體的內(nèi)切球的球半徑為，則的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】將四面體補全為長方體，根據(jù)它們外接球相同求出外接球半徑，利用等體積法求內(nèi)切球半徑，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，可將四面體補全為如下長方體，長寬高分別為，所以，四面體外接球即為長方體外接球，則半徑，由題意，四面體的四個側(cè)面均為全等三角形，，為三角形內(nèi)角，所以，則，又，且，所以，即，綜上，.故選：A 11.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．若對任意，存在，使成立，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三角函數(shù)恒等變換公式化簡函數(shù)式，然后由對稱性求得，再求得時的的最大值，從而化簡題設(shè)不等式，由分離參數(shù)法求得的范圍．【詳解】,的圖象關(guān)于直線對稱，則，所以，，所以，此時滿足對稱性．時，，，由題意存在，使得成立，即成立，，所以．故選：C．【點睛】結(jié)論點睛：不等式恒成立問題的結(jié)論：（1），恒成立；（2），使得成立；（3），使得成立. 12.已知函數(shù)，之間的關(guān)系非常密切，號稱函數(shù)中的雙子座，以下說法正確的個數(shù)為（）①函數(shù)在處的切線與函數(shù)在處的切線平行；②方程有兩個實數(shù)根；③若直線與函數(shù)交于點，，與函數(shù)交于點，，則．④若，則的最小值為．A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】對于①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷，對于②先利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，再根據(jù)，當(dāng)時即可判斷，對于③利用分析即可判斷，對于④結(jié)合已知條件可得，構(gòu)造函數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可.【詳解】①由題意可知，，，，因為，，所以函數(shù)在處的切線為，函數(shù)在處的切線為，兩切線平行，①說法正確；②令解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，令解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減， 當(dāng)，即時，顯然有，令，則，令，則，令解得，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以，即恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，所以當(dāng)時，，即，又因為，所以結(jié)合單調(diào)性可知方程僅有一個根，②說法錯誤；③由②可知，因為，所以或，令，則，令解得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，則無解，所以舍去，同理可得，所以（即）或（與 矛盾舍去），所以，又由即可得，所以，③說法正確；④的定義域為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以時得，，又，所以，，令，則，由解得，則當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即的最小值為，④說法正確；綜上①③④正確，故選：C【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，綜合性強，難度較大，涉及利用導(dǎo)數(shù)求解零點和判定函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，解決零點、交點、根的個數(shù)問題常根據(jù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合零點存在定理解決.本題難點在于根據(jù)解析式找到和的關(guān)系，即，并由此進一步分析求解.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．答案填在答題卷相應(yīng)橫線上．13.設(shè)滿足約束條件，則的最大值為__．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)可行域結(jié)合幾何意義求最值.【詳解】作出可行域如下， 由可得，當(dāng)直線過點時，最小，則最大，此時.故答案為:4.14.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域是______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式列出其需滿足的條件，即可求得答案.【詳解】由題意知函數(shù)需滿足，即，解得且，即，故函數(shù)的定義域是，故答案為：15.已知拋物線的焦點為F，直線與拋物線C交于A，B兩點，M是線段AB的中點，過M作y軸的垂線交拋物線C于點N，若，則點F的坐標為______．【答案】【解析】【分析】設(shè)，，直線方程代入拋物線方程化簡后應(yīng)用韋達定理得，，代入可求得值得焦點坐標． 【詳解】設(shè)，，由得，則，∴，，由已知，設(shè)，其中，即，，，把，，，，代入化簡得，解得或（舍去），，∴，故答案為：．16.已知面積為的銳角其內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，則邊c的最小值為______．【答案】2【解析】【分析】利用正余弦定理化簡可得，再由面積公式化簡得 ，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可.【詳解】，,由正余弦定理可得：，化簡得，由余弦定理可得，即，又，故，所以，其中，令，，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，、所以，所以，即，當(dāng)時，等號成立.故答案為：2三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答；第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題，共60分．17.某新能源汽車制造公司，為鼓勵消費者購買其生產(chǎn)的汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛?cè)旰?，公司將給予適當(dāng)金額的購車補貼．某調(diào)研機構(gòu)對已購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的心理預(yù)期值進行了抽樣調(diào)查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示． （1）估計已購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預(yù)期值的平均數(shù)；（2）統(tǒng)計今年以來元月~5月該品牌汽車的市場銷售量，得其頻數(shù)分布表如下：月份元月2月3月4月5月銷售量（萬輛）0.50.61.01.41.7預(yù)測該品牌汽車在今年6月份的銷售量約為多少萬輛？附：對于一組樣本數(shù)據(jù)，，，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計值分別為，．【答案】（1）萬元（2）2萬輛【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計算即可；（2）由所給數(shù)據(jù)求出線性回歸方程，代入，即可得出預(yù)測值.【小問1詳解】因為直方圖組距為1，則各組數(shù)據(jù)的頻率即為相應(yīng)小矩形的高，所以平均數(shù)的估計值為萬元．【小問2詳解】記，，，，，，由散點圖可知，5組樣本數(shù)據(jù)呈線性相關(guān)關(guān)系．因為，，，，則 ，，所以回歸直線方程是．當(dāng)時，，預(yù)計該品牌汽車在今天6月份的銷售量約為2萬輛．18.如圖，梯形ABCD中，，E為AD中點，且，，將沿CE翻折到，使得．連接PA，PB．（1）求證：；（2）Q為線段PA上一點，若，若二面角Q-BC-A的平面角的余弦值為時，求實數(shù)的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理進行證明即可；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量夾角公式進行求解即可.【小問1詳解】因為．所以．．又，PE，平面PAE．所以平面PAE．平面ABCE．所以平面平面PAE．在梯形ABCD中，，所以．所以在四棱錐P-ABCE中，．因．所以為正三角形． 取AE中點O．連接PO，OB，OC．易得，．由面面垂直的性質(zhì)可得平面ABCE．又，，，所以四邊形OBCE為正方形，所以．又．OC、平面POC，所以平面POC．又平面POC，所以；【小問2詳解】由（1）知OA、OB、OP兩兩垂直．以O(shè)為坐標原點．以O(shè)A，OB，OP所在直線建立如圖所示的坐標系，則：，，，，由得．則，．設(shè)平面QBC的法向量，故，，，即．易知平面ABC的一個法向量為所以．解得或（舍）．所以．19.在數(shù)列中，，，是公差為1的等差數(shù)列.（1）求的通項公式；（2）設(shè)______，為數(shù)列的前項和，證明：.從下面三個條件中任選一個補充在題中橫線處，并解答問題. ①；②；③.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由等差數(shù)列的定義可得，由累乘法即可求解通項，（2）根據(jù)裂項求和即可結(jié)合選項逐一求證.【小問1詳解】由，可知.由題設(shè)條件可知，所以，當(dāng)時，，所以.當(dāng)時，滿足，故的通項公式為.【小問2詳解】選擇①，由（1）可知，所以.選擇②，由（1）可知， 所以.選擇③，由（1）可知，所以.20.已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．P為橢圓C在第一象限內(nèi)部分上的一點．（1）若，，求面積的最大值；（2）是否存在點P，使得過點P作圓的兩條切線，分別交y軸于D，E兩點，且．若存在，點求出P的坐標；若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）存在點滿足題設(shè)條件【解析】【分析】（1）列方程組求得，得兩點坐標，求得線段長，再用三角換元法設(shè)出點坐標，求出點到直線的距離，結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)得最大值，從而得三角形面積最大值；（2）設(shè)點，，，寫出直線方程，由圓心到直線的距離等于圓半徑得出的關(guān)系式，整理為關(guān)于的方程，同理得關(guān)于的方程，比較得出是一個一元二次方程的解，由韋達定理得，代入結(jié)合點是橢圓上的點求得得點坐標．【小問1詳解】 由題知解得，，故橢圓C的方程為．所以點，，．設(shè)點，則所以．【小問2詳解】設(shè)點，，，則直線PD的方程為，即，因為圓心到直線PD的距離為1，即，即，即，同理．由此可知，m，n為方程的兩個實根，所以，．．因為點在橢圓C上，則，則，則，則，因為，則，，即，故存在點滿足題設(shè)條件． 【點睛】方法點睛：橢圓中的存在點滿足某些條件的問題，一般設(shè)出該點坐標，用坐標表示題中條件，如本題中同時設(shè)出點的坐標，得切線方程，由切線方程滿足的條件得出關(guān)系（用韋達定理表示為的關(guān)系），從而條件就可用所設(shè)坐標表示，求得該點坐標．21.已知，是的導(dǎo)函數(shù)，其中．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，與x軸負半軸的交點為點P，在點P處的切線方程為．①求證：對于任意的實數(shù)x，都有；②若關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，且，證明：．【答案】（1）答案見解析（2）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）求出的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合解不等式可得答案；（2）①，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得的表達式，由此構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求其最小值即可證明結(jié)論；②設(shè)的根為，求得其表達式，并利用函數(shù)單調(diào)性推出，設(shè)曲線在點處的切線方程為，設(shè)的根為，推出，從而，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意得，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，得，，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】 ①證明：由（1）可知，令，有或，故曲線與x軸負半軸的唯一交點P為．曲線在點處的切線方程為，則，令，則，所以，．當(dāng)時，若，，若，令，則，故在時單調(diào)遞增，．故，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，由知在時單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，所以，即成立．②證明：，設(shè)根為，則，又單調(diào)遞減，且，所以，設(shè)曲線在點處的切線方程為，有，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，令，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又， 所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故．又，所以．【點睛】難點點睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及單調(diào)性、最值以及不等式的證明，難點在（2）中第二小問不等式的證明，解答時要注意利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，進而結(jié)合同構(gòu)函數(shù)，判斷函數(shù)單調(diào)性解決問題.（二）選考題：共10分．請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分．22.直角坐標系xOy中，點，動圓C：.（1）求動圓圓心C的軌跡；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線M的極坐標方程為：，過點P的直線l與曲線M交于A，B兩點，且，求直線l的斜率.【答案】（1）圓心C的軌跡為線段；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)即可得圓心C的軌跡；（2）將曲線M的極坐標方程化為直角坐標方程，設(shè)直線的傾斜角為，得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線M的直角坐標方程，設(shè)，可得 ，根據(jù)韋達定理可求的值，結(jié)合即可求解.【小問1詳解】設(shè)圓心，因為，所以.所以圓心C的軌跡方程為，即圓心C的軌跡為線段.【小問2詳解】因為，所以，因為，所以，即曲線的直角坐標方程為.設(shè)直線的傾斜角為，由點在直線上，得直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入曲線的方程得：，設(shè)，由于點在曲線的內(nèi)部，所以，化簡得：，解得.由于，所以，或，所以，即直線的斜率為.23.已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的最小值；（2）設(shè)，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】 【分析】（1）寫出分段函數(shù)形式，分析、的性質(zhì)及最值，即可確定最小值；（2）利用分析法，將問題化為證明，進一步轉(zhuǎn)化為證即可.【小問1詳解】由題設(shè)，而在、、上均能取到最小值，對于在上遞減，上為常數(shù)，上遞增，且連續(xù)，所以的最小值在上取得，即時，最小值為.【小問2詳解】由，僅當(dāng)取等號，要證，即證，則，需證，而，即，