重慶市第八中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開(kāi)學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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重慶八中2023—2024學(xué)年度（上）高二年級(jí)開(kāi)學(xué)適應(yīng)性訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小通5分，共計(jì)40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)；【詳解】解：，，故選：B．2.已知點(diǎn)P在圓上，則點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為（）A.2B.3C.D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)圓的一般方程求出圓心半徑，再結(jié)合問(wèn)題計(jì)算即可.【詳解】圓,即圓圓心為，半徑，得點(diǎn)P到x軸的距離的最大值為.故選：B.3.已知向量，，，則實(shí)數(shù)m的值為（）．A.B.C.D.1【答案】D【解析】【分析】先求得的坐標(biāo)，再由求解.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，，所以?又因?yàn)?，所以，解得，故選：D4.如圖，圓錐的底面直徑和高均是4，過(guò)的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，則剩下幾何體的表面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】通過(guò)圓錐的底面半徑和高，可求出圓柱的高和底面半徑，再結(jié)合圓錐的表面積與圓柱的側(cè)面積可求得剩下幾何體的表面積.【詳解】設(shè)圓柱的高為，底面半徑為，可知，則圓錐的母線長(zhǎng)為，所以剩下幾何體的表面積為.故選：B.5.在三棱錐A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，則AC與BD所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】取，，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G連接，，，由中位線定理可得AC與BD所成角為，由幾何關(guān)系求出三邊，結(jié)合余弦定理即可求解. 【詳解】如圖，取，，的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G連接，，．∵，，∴（或其補(bǔ)角）即為與所成的角．∵平面，∴，∴，則，∵，，．取的中點(diǎn)，連接，，∴，∴平面，∴，又，∴，∴．∴與所成角的余弦值為．故選：C6.如圖所示，中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則，則的最小值（）A.1B.3C.5D.8【答案】D【解析】【分析】利用平面向量共線定理與線性運(yùn)算即可得，且，再結(jié)合基本不等式“1”的代換即可求得最值. 【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以，又是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則可設(shè)，且所以則，所以，則，且所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.7.武靈叢臺(tái)位于邯鄲市叢臺(tái)公園中心處，為園內(nèi)的主體建筑，是邯鄲古城的象征.某校數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量其高度，在地面上共線的三點(diǎn)，，處分別測(cè)得點(diǎn)的仰角為，，，且，則武靈叢臺(tái)的高度約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.22mB.27mC.30mD.33m【答案】B【解析】【分析】設(shè)，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，兩者相等即可解出答案.【詳解】由題知，設(shè)， 則，，，又，所以中，，①在中，，②聯(lián)立①②，解得.故選：B8.在中，，，，為中點(diǎn)，若將沿著直線翻折至，使得四面體的外接球半徑為，則直線與平面所成角的正弦值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由直角三角形性質(zhì)和翻折關(guān)系可確定為等邊三角形，利用正弦定理可確定外接圓半徑，由此可知外接圓圓心即為四面體外接球球心，由球的性質(zhì)可知平面，利用可求得點(diǎn)到平面的距離，由此可求得線面角的正弦值.【詳解】，，，，又為中點(diǎn)，，則，即為等邊三角形，設(shè)的外接圓圓心為，的外接圓圓心為，取中點(diǎn)，連接， ，，，即外接圓半徑為，又四面體的外接球半徑為，為四面體外接球的球心，由球的性質(zhì)可知：平面，又平面，，，，；設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得：，又與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛；本題考查幾何體的外接球、線面角問(wèn)題的求解；本題求解線面角的關(guān)鍵是能夠確定外接球球心的位置，結(jié)合球的性質(zhì)，利用體積橋的方式構(gòu)造方程求得點(diǎn)到面的距離，進(jìn)而得到線面角的正弦值.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.設(shè)，是空間中不同的直線，，，是不同的平面，則下列說(shuō)法正確的有（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，，則D.若，，，則【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】在選項(xiàng)A中，，，，由線面平行判定定理得，，故A項(xiàng)正確；在選項(xiàng)B中，，，，則與平行或異面，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；在選項(xiàng)C中，，，，，則與相交或平行，故C項(xiàng)錯(cuò)誤； 在選項(xiàng)D中，由面面平行的性質(zhì)定理得D項(xiàng)正確.故選：AD10.下列結(jié)論正確的是（）A.兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量，則C.若，則點(diǎn)在平面內(nèi)D.若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平面向量的法向量垂直判斷A，根據(jù)直線與平面的關(guān)系判斷B，根據(jù)空間中共面基本定理判斷C，由空間向量基本定理判斷D.【詳解】因?yàn)椋?，故A正確；因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量，不能確定直線是否在平面內(nèi)，故B不正確；因?yàn)椋?，，共面，即點(diǎn)在平面內(nèi)，故C正確；若是空間的一組基底，則對(duì)空間任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組，使得，于，所以也是空間一組基底，故D正確.故選：ACD.11.已知直線：，：，設(shè)兩直線分別過(guò)定點(diǎn)，，直線和直線的交點(diǎn)為，則下列結(jié)論正確的有（）A.直線過(guò)定點(diǎn)，直線過(guò)定點(diǎn) B.C.面積的最大值為5D.若，，則點(diǎn)恒滿足【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)、向量數(shù)量積、三角形的面積公式、軌跡方程、基本不等式等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】對(duì)于A，可化作，可發(fā)現(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，同理，過(guò)定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B，∵，可得恒成立，因此是以為直徑的圓上的點(diǎn)，根據(jù)定義，，B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，線段的中點(diǎn)為，，所以以為直徑的圓的方程為，由可知在圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，若，則，化簡(jiǎn)可得，與的方程相同，故D正確.故選：ABD12.半正多面體亦稱“阿基米德體多面體”，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體.某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成.在如圖所示的半正多面體中，若其棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（） A.該半正多面體的表面積為B.該半正多面體的體積為C.該半正多面體外接球的的表面積為D.若點(diǎn)分別在線段上，則的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定的多面體，利用正四面體的性質(zhì)，球的截面圓的性質(zhì)，以及多面體的側(cè)面展開(kāi)圖，結(jié)合棱錐的表面積與體積公式，以及球的表面積公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由題意，某半正多面體由4個(gè)正三角形和4個(gè)正六邊形構(gòu)成，其可由正四面體切割而成，其棱長(zhǎng)為1，A中，該半正多面體的表面積為，所以A錯(cuò)誤.B中，如圖所示，該半正多面體所在的正四面體中，可得正四面體的棱長(zhǎng)為，取正四面體的下底面的中心為，連接，則底面，在直角中，因?yàn)?，，所以，即該半正多面體所在的正四面體的高為，體積為，該半正多面體的體積為，所以B正確；C中，該半正多面體外接球的球心即其所在正四面體的外接球的球心， 記球心為，半徑為，的中心為，連接，由等邊的邊長(zhǎng)為，可得，又由底面正六邊形的邊長(zhǎng)為，可得，在正四面體中，可得，所以，設(shè)，因?yàn)?，可得，即，解得，即，所以，故該半正多面體外接球的表面積為，所以C正確.D中，該半正多面體的展開(kāi)圖，如圖所示，則，所以D正確.故選：BCD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.如圖所示是利用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出的水平放置的的直觀圖，已知軸，軸且，則的周長(zhǎng)為_(kāi)__________. 【答案】或【解析】【分析】由斜二測(cè)畫(huà)法還原原圖即可求解【詳解】由題意得，，且，則，則的周長(zhǎng)為.故答案為：.14.直線的傾斜角的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】先求得直線的斜率的取值范圍，進(jìn)而求得傾斜角的取值范圍.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€的斜率，即，所以.故答案為：. 15.已知三角形中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由數(shù)量積定義、余弦定理結(jié)合已知式可得，由基本不等式求解即可.【詳解】，由余弦定理可得：，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以的取值范圍?故答案為：16.德國(guó)機(jī)械學(xué)家萊洛設(shè)計(jì)的菜洛三角形在工業(yè)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛．如圖，分別以等邊三角形的頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形．若該等邊三角形的邊長(zhǎng)為，為弧上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則為單位圓上一點(diǎn)，利用任意角的三角函數(shù)定義，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可. 【詳解】由已知，弧是以為圓心，為半徑的圓的一部分，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)與直線垂直的直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則由已知，，，由任意角的三角函數(shù)的定義，設(shè)，，則，，，∴，∴令，，則，當(dāng)時(shí)，，，，∴存在，使，即，∴當(dāng)時(shí)，的最小值為. 故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，.（1）求過(guò)點(diǎn)A且平行于的直線方程；（2）求過(guò)點(diǎn)B且與A、C距離相等的直線方程.【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）根據(jù)平行得斜率相等，即可由點(diǎn)斜式求解，（2）根據(jù)距離相等，分直線與平行和過(guò)中點(diǎn)直線，即可求解.【小問(wèn)1詳解】由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得，因?yàn)榇笾本€與直線平行，故其斜率為由點(diǎn)斜式方程可得目標(biāo)直線方程為整理得.【小問(wèn)2詳解】由A、C點(diǎn)的坐標(biāo)可知，AC的中點(diǎn)D坐標(biāo)為又直線沒(méi)有斜率，則與直線平行的直線符合題意，即.過(guò)B，D兩點(diǎn)的直線到A，C的距離也相等，點(diǎn)斜式方程為，整理得.綜上所述，滿足題意直線方程為和. 18.已知三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若底面為邊長(zhǎng)為2的正三角形，，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理證得平面；（2）先求得三棱錐也即三棱錐的高，進(jìn)而求得體積.【小問(wèn)1詳解】連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅问蔷匦危瑒t為的中點(diǎn)又是的中點(diǎn)，，又面，面，所以面；【小問(wèn)2詳解】，是的中點(diǎn)，，又平面，平面，所以，平面，平面，由于平面，所以平面平面，所以是三棱錐的高，又， 所以；19.如圖，已知的外接圓的半徑為4，.（1）求中邊的長(zhǎng)：（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，從而求得.（2）求得，然后利用向量數(shù)量積的運(yùn)算求得正確答案.【小問(wèn)1詳解】∵，∴，∴，即且，又的外接圓的半徑，∴，∴；【小問(wèn)2詳解】如圖，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，.因?yàn)?，且，所以四邊形是平行四邊?所以.所以.所以. 所以.20.如圖，是圓的直徑，是圓上異于，的一點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）因?yàn)槭菆A的直徑，可證，利用面面垂直的判定定理即可證明.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解平面與平面的法向量即可求解.【小問(wèn)1詳解】∵是圓的直徑，∴，又垂直于圓所在的平面，DC在圓所在的平面中，∴，又，，∴平面，又平面，∴平面平面；【小問(wèn)2詳解】 如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，，設(shè)平面法向量為，則，令，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，∴，∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．21.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求證：；（2）求的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化和兩角和差正弦化簡(jiǎn)即可證明. （2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化，根據(jù)第一問(wèn)解得，然后結(jié)合不等式求解.【小問(wèn)1詳解】在中，，由正弦定理得，又，因?yàn)?所以,所以,又,所以，且,所以，故.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)即，且，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.22.如圖，在四棱錐中，，，，△MAD為等邊三角形，平面平面ABCD，點(diǎn)N在棱MD上，直線平面ACN． （1）證明：．（2）設(shè)二面角的平面角為，直線CN與平面ABCD所成的角為，若的取值范圍是，求的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)相似以及線面平行的性質(zhì)即可求解，（2）由面面垂直可得線面垂直，進(jìn)而根據(jù)二面角以及線面角定義，即可找到其平面角，利用三角形的邊角關(guān)系，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：連接BD交AC于O，連接ON．因?yàn)?，，所以根?jù)相似的性質(zhì)可得．因?yàn)橹本€平面ACN，平面MBD，平面平面，所以，則，所以．【小問(wèn)2詳解】取AD的中點(diǎn)E，AC的中點(diǎn)F，連接ME，EF，MF．因?yàn)椤鱉AD為等邊三角形，所以不妨設(shè)，則，． 因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，平面平面，平面,所以平面ABCD，平面ABCD,所以，．又因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AD，AC的中點(diǎn)，所以，而，所以，又，平面MEF,則平面MEF，平面MEF得，所以∠MFE是二面角的平面角，即．設(shè)，則，得．過(guò)N作交AD于H，連接CH，由于平面ABCD，所以平面ABCD，則∠NCH為直線CN與平面ABCD所成的角，即．，，．因?yàn)?，所以，則．因?yàn)?，所以?/p>