重慶市第八中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期檢測一（9月）數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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重慶八中高2025級(jí)高二（上）數(shù)學(xué)檢測一數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知向量，，則A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)椋?（5，7），故選A.考點(diǎn)：本小題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，屬容易題.2.已知直線，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】對(duì)進(jìn)行分類討論，代入求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率不存在，此時(shí)兩條直線不垂直；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)?，所以，所以，解得?故選：D.3.已知是實(shí)常數(shù)，若方程表示的曲線是圓，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】由方程表示的曲線為圓，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，解出即可.【詳解】由于方程表示的曲線為圓，則，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圓的一般方程求參數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)為兩條直線，為兩個(gè)平面，下列四個(gè)命題中，正確的命題是（　?。〢.若與所成的角相等，則B.若，，則C.若，則D.若，，則【答案】D【解析】【詳解】試題分析：A項(xiàng)中兩直線還可能相交或異面,錯(cuò)誤；B項(xiàng)中兩直線還可能相交或異面,錯(cuò)誤；C項(xiàng)兩平面還可能是相交平面，錯(cuò)誤；故選D.5.直線與圓相交于、兩點(diǎn)，若，則等于（）A.0B.C.或0D.或0【答案】D【解析】【分析】求出到圓心的距離和圓心到直線的距離，即可求出的值.【詳解】由題意，∵，∴到圓心的距離為，∴圓心到直線的距離為： ，即.解得：或，故選：D.6.過點(diǎn)作直線，若經(jīng)過點(diǎn)和，且均為正整數(shù)，則這樣的直線可以作出（），A.條B.條C.條D.無數(shù)條【答案】B【解析】【分析】假設(shè)直線截距式方程，代入已知點(diǎn)坐標(biāo)可得之間關(guān)系，根據(jù)為正整數(shù)可分析得到結(jié)果.【詳解】均為正整數(shù)，可設(shè)直線，將代入直線方程得：，當(dāng)時(shí)，，方程無解，，，，，或，或，即滿足題意的直線方程有條.故選：B.7.已知長方體中，，若棱上存在點(diǎn)，使得，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出、，利用，求出的范圍．【詳解】解：如圖建立坐標(biāo)系， 設(shè)，，則，，，，，，，即，所以，當(dāng)時(shí)，所以，所以．故選：C．8.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.13B.11C.9D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對(duì)稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解.【詳解】如圖所示， 圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，故，因?yàn)?，可得，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求、全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9.三條直線，，構(gòu)成三角形，則的值不能為（）A.B.C.D.－2【答案】AC【解析】【分析】由三條直線可構(gòu)成三角形可知，直線不經(jīng)過兩條直線的交點(diǎn)，且與兩條直線任意一條不平行. 【詳解】直線與都經(jīng)過原點(diǎn)，而無論為何值，直線總不經(jīng)過原點(diǎn)，因此，要滿足三條直線構(gòu)成三角形，只需直線與另兩條直線不平行，所以．故選：AC.10.點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則的取值可能是（）A.-2B.C.D.2【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)圓的位置關(guān)系，結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在圓的內(nèi)部，所以，所以選項(xiàng)BC符合題意，故選：BC11.正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.直線與直線所成角為B.直線與平面ABCD所成角為C.二面角的大小為D.平面平面【答案】AC【解析】【分析】選項(xiàng)A：先判斷出與所成角即為,利用為正三角形，即可判斷；選項(xiàng)B：與平面ABCD所成角為，即可判斷；選項(xiàng)C：二面角的平面角為，即可判斷；選項(xiàng)D：設(shè)，連結(jié)，可以判斷出即為二面角的平面角.在三角形ACO中，求出各邊長，可以判斷出，即可判斷. 【詳解】選項(xiàng)A：先判斷出與所成角即為與所成角，為正三角形，所以該角為；故A正確.選項(xiàng)B：與平面ABCD所成角為；故B錯(cuò)誤.選項(xiàng)C：二面角的平面角為；故C正確.選項(xiàng)D：設(shè)，連結(jié)，因?yàn)?，所?同理可證：,所以即為二面角的平面角。不妨設(shè)AB=1，易求出：,因?yàn)?，所以，所以平面平面不正確；故D錯(cuò)誤.故選：AC.12.已知圓，直線為直線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，則下列各選項(xiàng)正確的是（）A.四邊形面積的最小值為4B.四邊形面積的最大值為8 C.當(dāng)最大時(shí)，D.當(dāng)最大時(shí)，直線方程為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用直角三角形、正方形的性質(zhì)、直線方程以及點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理計(jì)算求解.【詳解】由圓的幾何性質(zhì)可得，圓，半徑為2，如下圖所示：對(duì)于，由切線長定理可得，又因?yàn)椋?，所以四邊形的面積，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，取最小值，且，所以四邊形的面積的最小值為，故A正確；對(duì)于，因?yàn)闊o最大值，即無最大值，故四邊形面積無最大值，故B錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)闉殇J角，，且，故當(dāng)最小時(shí)，最大，此時(shí)最大，此時(shí)，故C正確；對(duì)于D，由上可知，當(dāng)最大時(shí)，且，故四邊形為正方形，且有，直線，則方程為，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)， 由正方形的幾何性質(zhì)可知，直線過線段的中點(diǎn)，此時(shí)直線的方程為，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，三點(diǎn)共線，則＝_____．【答案】6【解析】【分析】利用可得出關(guān)于的等式，由此可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】由于、、三點(diǎn)共線，則，即，解得.故答案為：6.14.已知直線，，則直線與之間的距離最大值為______.【答案】5【解析】【分析】分別求出直線，過的定點(diǎn)，，當(dāng)與兩直線垂直時(shí)距離最大，且最大值為，由此即可求解．【詳解】直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點(diǎn)，直線化簡為：，令且，解得，，所以直線過定點(diǎn)，，當(dāng)與直線，垂直時(shí)，直線，的距離最大，且最大值為，故答案為：5． 15.已知三棱錐中，，，，，且平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為_________．【答案】【解析】【分析】本題首先可在中根據(jù)余弦定理得出，然后通過勾股定理得出，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面，外接球的球心到平面的距離為，再然后通過正弦定理求出的外接圓的半徑，最后根據(jù)求出外接球的半徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】在中，由余弦定理易知，，即，解得，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫嫫矫媲医挥冢矫?，所以平面，外接球的球心到平面的距離為，設(shè)的外接圓的半徑為，外接球的半徑為，則由正弦定理得出，解得，，解得，外接球的表面積，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查幾何體的外接球的表面積的求法，考查面面垂直證明線面垂直，考查余弦定理與正弦定理的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題.16.若點(diǎn)A（x，y）滿足C：（x+3）2+（y+4）225，點(diǎn)B是直線3x+4y=12上的動(dòng)點(diǎn)，則對(duì)定點(diǎn)P（6，1）而言，||的最小值為_____.【答案】 【解析】【分析】設(shè)B關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為B′，，將模長最值問題轉(zhuǎn)化為求圓心到直線3x+4y﹣32=0的距離問題求解.【詳解】如圖所示：設(shè)B關(guān)于P點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)為B′（x，y），B（x0，y0），由題意可知，解得，由B在直線3x0+4y0=12，代入整理得3x+4y﹣32=0，所以，若點(diǎn)A滿足C：（x+3）2+（y+4）225，點(diǎn)A在圓C內(nèi)或圓上，則所以||最小值為圓C的圓心到直線3x+4y﹣32=0的距離減去半徑，所以||min5，所以||的最小值故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查求距離的最值問題，以向量為背景，通過幾何關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為求圓及其內(nèi)部的點(diǎn)到直線距離的最值問題，涉及數(shù)形結(jié)合思想.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文宇說明、證明過程或演算步驟．17.已知直線與直線的交點(diǎn)為P.（1）若直線l過點(diǎn)P，且點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(3,2)到直線l的距離相等，求直線l的方程；（2）若直線l1過點(diǎn)P且與x軸和y軸的正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，△ABO的面積為，求直線l1的方程．【答案】（1）或；（2）.【解析】 【分析】（1）由題可求，由題知直線l與直線AB平行或過AB的中點(diǎn)，即求；（2）可設(shè)直線方程的截距式，由題可得即求.【詳解】（1）由得，即，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)P，且點(diǎn)A(1,3)和點(diǎn)B(3,2)到直線l的距離相等，∴直線l與直線AB平行或過AB的中點(diǎn)，當(dāng)直線l與直線AB平行時(shí)，直線l的方程為即，當(dāng)直線l過AB的中點(diǎn)時(shí)，直線l的方程為，故直線l的方程為或.（2）由題可設(shè)直線l1方程為，則，解得，故直線l1的方程為即.18.某同學(xué)在勞動(dòng)實(shí)踐課上制作了一個(gè)如圖所示的容器，其上半部分是一個(gè)正四棱錐，下半部分是一個(gè)長方體，已知正四棱錐的高是長方體高的，且底面正方形的邊長為4，．（1）求的長及該長方體的外接球的體積；（2）求正四棱錐的斜高和體積．【答案】（1），；（2）斜高為，體積為． 【解析】【分析】（1）根據(jù)長方體的棱長求對(duì)角線即可得到的長，利用線段就是其外接球直徑，求得球的半徑，進(jìn)而求得其體積；（2）設(shè)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則為正四棱錐的高，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則為正四棱錐的斜高，利用正四棱錐的性質(zhì)以及錐體的體積公式可得結(jié)果.【詳解】（1）∵幾何體長方體且，，∴，記長方體外接球的半徑為，線段就是其外接球直徑，則，∴，∴外接球的體積為．（2）如圖，設(shè)，交于點(diǎn)，連結(jié)，則為正四棱錐的高，∵為正四棱錐，∴為正四棱錐的高，又長方體的高為，∴，取的中點(diǎn)，連結(jié)、，則為正四棱錐的斜高，在中，，，∴，∵，，∴，∴正四棱錐的斜高為，體積為．19.已知：圓過點(diǎn)，，，是直線上的任意一點(diǎn)，直線與圓交于、兩點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）求的最小值. 【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設(shè)圓的一般方程為，即可根據(jù)題意列出三個(gè)方程，解出，即可得到圓的方程；（2）聯(lián)立直線的方程和圓的方程可得、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，消去，可得關(guān)于的二次函數(shù)，即可求出最小值．【詳解】（1）設(shè)圓一般方程為，依題意可得，．所以圓的方程為：．（2）聯(lián)立或，不妨設(shè)，，則，∴．故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程的求法，直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，以及兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．20.在如圖所示的七面體中，底面為正方形，平面.已知.（1）設(shè)平面平面，證明：平面；（2）若平面平面，求的長. 【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面平行的判定定理可得∥平面，再利用線面平行的性質(zhì)定理可證得∥，然后由線面平行的判定定理可得結(jié)論；（2）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，表示出平面和平面的法向量，然后由兩平面垂直列方程可求得結(jié)果.【小問1詳解】證明：因?yàn)榈酌鏋檎叫危浴?，因?yàn)槠矫?，平面，所以∥平面，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以∥，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；【小?詳解】因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)（），因?yàn)?，，底面為正方形，可得，所以，所以，，設(shè)平面和平面的法向量分別為，則 ，，令，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，解得或（舍去），所以的長為.21.在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓．（1）若直線過點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；（2）設(shè)為直線上的點(diǎn)，滿足：過點(diǎn)的無窮多對(duì)互相垂直的直線和，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等．試求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）直線斜率不存在時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，利用圓心到直線距離等于半徑可構(gòu)造方程求得，由此可得切線方程； （2）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，根據(jù)截得弦長相等可求得的值；當(dāng)斜率為時(shí)，易知不滿足題意；當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，假設(shè)直線方程，根據(jù)垂徑定理表示出直線被圓截得的弦長，根據(jù)有無數(shù)個(gè)解可確定的取值.【小問1詳解】由圓方程知：圓心，半徑；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，即，此時(shí)直線與圓顯然相切，滿足題意；當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為：，即，圓心到直線的距離，解得：，直線方程為：，即；綜上所述：直線方程為或.【小問2詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；設(shè)點(diǎn)，①當(dāng)過的直線斜率不存在時(shí)，則方程為：，方程為：；則被圓截得的弦長為：；被圓截得的弦長為，解得：或；或；②當(dāng)過的直線斜率為時(shí)，直線斜率不存在，此時(shí)與圓相離，不合題意；③當(dāng)過的直線斜率存在且不為時(shí)， 設(shè)，則，即，，圓心到直線的距離；圓心到直線的距離；直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，，即，，又，，，，當(dāng)時(shí)，整理可得：，滿足題意的直線有無數(shù)對(duì)，，解得：，即；當(dāng)時(shí)，整理可得：，滿足題意的直線有無數(shù)對(duì)，，方程組無解；綜上所述：滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為.22.如圖，已知直三棱柱中，且，、、分別為、、的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn).（1）求與平面所成角的正切值；（2）證明：；（3）求銳二面角的余弦值的最大值. 【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由線面夾角的定義結(jié)合圖形線面關(guān)系即可得與平面所成角的正切值；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算即可證明；（3）根據(jù)空間向量坐標(biāo)運(yùn)算分別求解平面與平面的法向量，由二面角的夾角余弦公式結(jié)合函數(shù)關(guān)系即可得最值.【小問1詳解】由直三棱柱，知面，即在的投影為，所以為與平面所成角，所以，因此，與平面所成角的正切值為；【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，，，，故，為線段上一動(dòng)點(diǎn). 設(shè)，則，故，所以，，故，所以，即；【小問3詳解】由（2）可知：，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，則，設(shè)平面的法向量為，則，即，則，令，則，則，故設(shè)二面角的平面角為，結(jié)合圖形，為銳角，故，令，，，而函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，故時(shí)，取最小值，