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《四川省瀘縣第四中學(xué)2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)（文） Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
瀘縣四中2023年春期高二第二學(xué)月考試數(shù)學(xué)（文史類）試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上.2．考試結(jié)束后，將本試卷自己保管，答題卡交回.3.考試時間：120分鐘第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.電影《速度與激情》中超級跑車“萊肯”，最高時速可達(dá)396千米/小時，假設(shè)“萊肯”從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，路程(單位:米)與時間(單位:秒)的函數(shù)關(guān)系為，則在秒時刻的瞬時速度為（）米/秒.A.8B.40C.100D.110【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的概念即得.【詳解】因?yàn)?，則，所以，即在秒時刻的瞬時速度為40米/秒.故選：B.2.復(fù)數(shù)的虛部是（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出后即可得出.【詳解】，虛部是.故選：D.
3.若直線與直線平行，則的值是（）A.B.1C.1或D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行滿足的關(guān)系即可求解.【詳解】直線與直線平行，故，故選：B4.是空氣質(zhì)量的一個重要指標(biāo)，我國標(biāo)準(zhǔn)采用世衛(wèi)組織設(shè)定的最寬限值，即日均值在以下空氣質(zhì)量為一級，在之間空氣質(zhì)量為二級，在以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).如圖是某地11月1日到10日日均值（單位：）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，則下列敘述不正確的是（）A.這天中有天空氣質(zhì)量為一級B.這天中日均值最高的是11月5日C.從日到日，日均值逐漸降低D.這天的日均值的中位數(shù)是【答案】D【解析】【分析】由折線圖逐一判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】由圖易知：第3,8,9,10天空氣質(zhì)量為一級，故A正確，11月5日日均值為82，顯然最大，故B正確，從日到日，日均值分別為：82,73,58,34,30，逐漸降到，故C正確，中位數(shù)是，所以D不正確，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了頻數(shù)折線圖，考查讀圖，識圖，用圖的能力，考查中位數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件
【答案】D【解析】【詳解】；，與沒有包含關(guān)系，故為“既不充分也不必要條件”.6.兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】男女生人數(shù)相同可利用整體發(fā)分析出兩位女生相鄰的概率，進(jìn)而得解.【詳解】兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列，因?yàn)槟猩团藬?shù)相等，兩位女生相鄰與不相鄰的排法種數(shù)相同，所以兩位女生相鄰與不相鄰的概率均是．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查常見背景中的古典概型，滲透了數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取等同法，利用等價轉(zhuǎn)化的思想解題．7.借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點(diǎn)附近，可以用函數(shù)圖象的切線代替在切點(diǎn)附近的曲線來近似計算，例如：求，我們先求得在處的切線方程為，再把代入切線方程，即得，類比上述方式，則（）．A.1.00025B.1.00005C.1.0025D.10005【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，設(shè)，求出切線，以直代曲計算即可.【詳解】設(shè)，可得，，曲線在點(diǎn)處的切線對應(yīng)的函數(shù)為，因?yàn)榕c之間的距離比較小，在切點(diǎn)附近用切線代替曲線進(jìn)行近似計算，，故選：A8.在長方體中，，則異面直線與所成角
余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出余弦值即可.【詳解】解：以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以因?yàn)楫惷嬷本€夾角的范圍為，所以，異面直線與所成角的余弦值為故選：A9.已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在處的切線經(jīng)過點(diǎn)（）A.B.C.D.
【答案】D【解析】【分析】根據(jù)切線的幾何意義求得切線斜率從而得切線方程，即可求得結(jié)果．【詳解】當(dāng)時，．因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故，又，所以切線方程為，即，故選：D．10.已知x，y為實(shí)數(shù)，且滿足3x2＋2y2≤6，則2x＋y的最大值為（）A.6B.C.11D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)x，y為實(shí)數(shù)，且滿足3x2＋2y2≤6，設(shè)，得到2x＋y，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)閤，y為實(shí)數(shù)，且滿足3x2＋2y2≤6，所以設(shè)，所以2x＋y，所以當(dāng)時，2x＋y取得最大值，最大值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的參數(shù)方程以及輔助角法和三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.11.設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，為橢圓的右焦點(diǎn)，且.若，則該橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D
【解析】【分析】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接，根據(jù)幾何關(guān)系得出四邊形為矩形，由橢圓的定義以及直角三角形的邊角關(guān)系得出，從而得到，最后由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出橢圓離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，連接由平面幾何知識可知，四邊形為矩形根據(jù)橢圓的定義可得，設(shè)，則，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了求橢圓離心率的范圍，涉及了正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題.
12.已知函數(shù)，曲線上存在兩個不同點(diǎn)，使得曲線在這兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】曲線在兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直，說明函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，即有兩個根，，令，有在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，取極小值，則，選.【點(diǎn)睛】轉(zhuǎn)化思想是四種數(shù)學(xué)思想之一，曲線上存在兩點(diǎn)處的切線都與軸垂直，轉(zhuǎn)化為函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為方程，在轉(zhuǎn)化為與圖象有兩個交點(diǎn)，進(jìn)而求出的范圍.第II卷非選擇題（90分）二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.某中學(xué)有高中生1500人，初中生1000人，為了了解該校學(xué)生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高中生和初中生中抽取一個容量為的樣本，若樣本中高中生恰有30人，則的值為__________．【答案】50【解析】【分析】利用某一層的樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.【詳解】由題意得：，解得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了簡單隨機(jī)抽樣中的分層抽樣，某一層的樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，屬于容易題.14.關(guān)于的不等式（其中）的解集為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)，直接解一元二次不等式即可．
【詳解】解：因?yàn)?，所對?yīng)的有兩個實(shí)數(shù)根或，，不等式的解集為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．15.直三棱柱ABC-A1B1C1，內(nèi)接于球O，且AB⊥BC，AB=3．BC=4．AA1=4，則球O的表面積______．【答案】【解析】【分析】利用三線垂直聯(lián)想長方體，而長方體外接球直徑為其體對角線長，容易得到球半徑，得解．【詳解】直三棱柱中，易知AB，BC，BB1兩兩垂直，可知其為長方體的一部分，利用長方體外接球直徑為其體對角線長，可知其直徑為，∴=41π，故答案為41π．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三棱柱的外接球和球的表面積的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和空間想象能力.16.已知函數(shù)，若有且僅有一個整數(shù)，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】【詳解】因，故由題設(shè)問題轉(zhuǎn)化為“有且僅有一個整數(shù)使得或”．因?yàn)?，所以?dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，即函數(shù)在處取最大值，由于
，因此由題設(shè)可知，解之得，應(yīng)填答案．點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題設(shè)中條件“有且僅有一個整數(shù)，使”．求解時先將問題進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化為“有且僅有一個整數(shù)使得或”．進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為斷定函數(shù)圖像的形狀問題，然后先對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，依據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系推斷出該函數(shù)在處取最大值，從而借助題設(shè)條件得到不等式組，通過解不等式組使得問題獲解．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答17.在以為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系中，圓的圓心為，半徑為2.（Ⅰ）求圓的極坐標(biāo)方程；（Ⅱ）以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，取相同的單位長度.直線（為參數(shù)）與圓交于、兩點(diǎn)，若，求的值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）首先求出圓的直角坐標(biāo)方程，再直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系，把極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的進(jìn)行轉(zhuǎn)換．（Ⅱ）利用直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用求出結(jié)果．【詳解】解：（Ⅰ）圓的圓心為，根據(jù)轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)為．由于圓的半徑為2，所以圓的方程為，根據(jù)轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為．（Ⅱ）直線為參數(shù)）,
轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)式為為參數(shù)）把直線的參數(shù)方程代入圓的方程得到：，設(shè)和為、對應(yīng)的參數(shù)，，所以．【點(diǎn)睛】本題考查的知識要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，一元二次方程根和系數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題型．18.省環(huán)保廳對、、三個城市同時進(jìn)行了多天的空氣質(zhì)量監(jiān)測，測得三個城市空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)共有180個，三城市各自空氣質(zhì)量為優(yōu)或良的數(shù)據(jù)個數(shù)如下表所示：城城城優(yōu)（個）28良（個）3230已知在這180個數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取一個，恰好抽到記錄城市空氣質(zhì)量為優(yōu)的數(shù)據(jù)的概率為0.2.（I）現(xiàn)按城市用分層抽樣的方法，從上述180個數(shù)據(jù)中抽取30個進(jìn)行后續(xù)分析，求在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)的個數(shù)；（II）已知，，求在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率.【答案】（1）；（2）【解析】【詳解】【試題分析】(1)由計算出,再由總數(shù)計算出,按比例計算得應(yīng)抽人數(shù).(2)由（1）知，且，，利用列舉法和古典概型計算公式計算得相應(yīng)的概率.【試題解析】（1）由題意得，即.∴，
∴在城中應(yīng)抽取的數(shù)據(jù)個數(shù)為.（2）由（1）知，且，，∴滿足條件的數(shù)對可能的結(jié)果有，，，，，，，共8種.其中“空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)”對應(yīng)的結(jié)果有，，共3種.∴在城中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)大于空氣質(zhì)量為良的天數(shù)的概率為.19.如圖，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，，，，DE=1，．（1）證明：DE⊥平面ABCD；（2）求點(diǎn)B到平面AFC的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面EOD可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可證明結(jié)論；（2）利用三棱錐的等體積法即，即可求得答案.【小問1詳解】證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，故,而，且平面EOD,所以平面EOD,平面EOD,故，又，而平面ABCD,故DE⊥平面ABCD.
【小問2詳解】由，作,垂足為M,則,連接AM,由（1）知DE⊥平面ABCD，故FM⊥平面ABCD,由CD＝2EF＝2，可得,則，則,而,則,故為直角，故,設(shè)點(diǎn)B到平面AFC的距離為h,則,即，解得，即點(diǎn)B到平面AFC的距離為.20.已知函數(shù)，其圖象在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）由導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得．由于函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．可得，解出即可；（2）首先求出的導(dǎo)數(shù)，依題意，任意使不等式恒成立，即任意
時，恒成立．記，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：（1）由得即（2）由（1）得，依題意，任意使不等式恒成立即任意時，恒成立．記，則，時，，時，所以在上遞減，在上遞增，．，．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．21.已知圓A：（x+1）2+y2＝16，圓C過點(diǎn)B（1，0）且與圓A相切，設(shè)圓心C的軌跡為曲線E．（Ⅰ）求曲線E的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)B作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與E交于M，N兩點(diǎn)，直線l2與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（I）；（II）.【解析】【分析】（Ⅰ）由題意畫出圖形，根據(jù)橢圓的定義和性質(zhì)求出a，b，則橢圓方程可求；（Ⅱ）求出兩直線垂直于坐標(biāo)軸時的值，當(dāng)兩直線斜率存在且不為0時，設(shè)l1：y＝k（x﹣1），則l2：y，分別求出|MN|，|PQ|的值，可得關(guān)于k的函數(shù)，利用配方法求值域．
【詳解】（Ⅰ）圓A：（x+1）2+y2＝16圓心A（﹣1，0），半徑r＝4，如圖，由圖可知，|CA|+|CB|＝r＝4，∴圓心C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且c＝1，2a＝4，a＝2．∴b．則曲線E的方程為；（Ⅱ）如圖，當(dāng)l1⊥x軸，l2⊥y軸時，；當(dāng)l1⊥y軸，l2⊥x軸時，；當(dāng)兩直線斜率存在且不為0時，設(shè)l1：y＝k（x﹣1），則l2：y．聯(lián)立，得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則，，∴|MN|?|x1﹣x2|．
圓心A到直線x+ky﹣1＝0的距離d，則|PQ|＝2．∴．∵k2+1＞1，∴，則，∴∈（），綜上，的取值范圍為[]．【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程的求法，考查直線與圓，直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，訓(xùn)練了利用配方法求最值，屬于難題．22.已知函數(shù).（1）討論的極值；（2）若有兩個零點(diǎn)，，證明：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可得到極值；
（2）根據(jù)零點(diǎn)的概念得到，利用分析法只需證：，令，即證，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.【詳解】（1），①當(dāng)時，由于，故，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，無極值；②當(dāng)時，由，得，在上，，在上，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)有極小值，無極大值，綜上：當(dāng)時，無極值；當(dāng)時，有極小值，無極大值.（2）函數(shù)有兩個零點(diǎn)，，不妨設(shè)，由（1）得，且，則，，，即，要證：，需證：，只需證：，只需證：，只需證：，只需證：，令，即證，
設(shè)，則，即函數(shù)在單調(diào)遞減，則，即得.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：（1）通過單調(diào)性求函數(shù)的極值，定義域?yàn)?，按照?dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間端點(diǎn)0的關(guān)系進(jìn)行分類討論；（2）將利用表示，將不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明.
