山西省陽泉市第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期開學(xué)分班數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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陽泉一中2023年高二分班考試試題數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間120分鐘分值150一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題只有一項(xiàng)是符合要求的）1.已知實(shí)數(shù)集為，集合，，則A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】分析：先求出，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求解結(jié)果.詳解：由題意，集合，所以，又由集合，所以，故選C.點(diǎn)睛：本題主要考查了集合的混合運(yùn)算，熟練掌握集合的交集、并集、補(bǔ)集的運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.2.設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，再得出的共軛復(fù)數(shù).【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法以及求共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3.甲盒中有一個(gè)紅球，兩個(gè)白球，這三個(gè)球除了顏色外完全相同，有放回地連續(xù)抽取兩次，每次從中任意抽取一個(gè)，取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球的概率為（） A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先分析總的基本事件個(gè)數(shù)，再分析滿足題意的事件的基本事件個(gè)數(shù)，最后根據(jù)古典概型求出概率即可.【詳解】由題意可知，設(shè)抽到紅球?yàn)槭录嗀，抽到兩個(gè)白球分別為事件則基本事件共有,,,,,,,,共9個(gè)，則取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球由8個(gè)基本事件，所以由古典概型可知：,故選：D【點(diǎn)睛】有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)．(1)基本事件總數(shù)較少時(shí)，用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí)，要做到不重復(fù)、不遺漏，可借助“樹狀圖”列舉．(2)注意區(qū)分排列與組合，以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.4.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的值為（　?。〢.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題得、為方程的根，將代入，即得解【詳解】由題得、為方程的根，將代入，得，即，故選：A5.若正數(shù)滿足，則的最小值為A.9B.8C.5D.4【答案】A【解析】【分析】將x+4y＝xy，轉(zhuǎn)化為，再由x+y＝（x+y）（）展開后利用基本不等式可求出x+y 最小值．【詳解】∵x＞0，y＞0，x+4y＝xy，∴,∴x+y＝（x+y）（）＝5+≥5+2＝9，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y取等號(hào)，結(jié)合x+4y＝xy，解得x＝6，y＝3∴x+y的最小值為9，故答案為A．【點(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．解決二元的范圍或者最值問題，常用的方法有：不等式的應(yīng)用，二元化一元的應(yīng)用，線性規(guī)劃的應(yīng)用，等.6.要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象A.向左平移個(gè)單位B.向右平移個(gè)單位C.向左平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位【答案】B【解析】【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，要得到函數(shù)的圖象，只需要將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位．本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：三角函數(shù)圖象進(jìn)行平移變換時(shí)注意提取x的系數(shù)，進(jìn)行周期變換時(shí)，需要將x的系數(shù)變?yōu)樵瓉淼摩乇?，要特別注意相位變換、周期變換的順序，順序不同，其變換量也不同．7.設(shè)非零向量滿足，則與的夾角為（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】設(shè)，由平方化簡(jiǎn)計(jì)算可得.詳解】解：設(shè)，由平方，得，，化簡(jiǎn)得，，，又.故選：B8.棱長(zhǎng)為1的正四面體中，點(diǎn)，分別是線段，上的點(diǎn)，且滿足，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，，以這3個(gè)向量為空間中的基底，將轉(zhuǎn)化為基底的數(shù)量積運(yùn)算，即可得答案.【詳解】設(shè)，，，由題意可得，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積運(yùn)算，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意基底思想的運(yùn)用.二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分，每小題有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全得2分，有選錯(cuò)的不得分）9.不等式成立的充分不必要條件可以是（　?。〢.B. C.D.【答案】CD【解析】【分析】求出不等式的解，然后概率充分必要條件的定義判斷．【詳解】由得，因此A是充要條件，B既不是充分條件也不是必要條件，CD是充分不必要條件．故選：CD．10.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則（）A.的共軛復(fù)數(shù)的虛部為B.為純虛數(shù)C.的模為D.若在復(fù)平面內(nèi)，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為【答案】BCD【解析】【分析】由已知復(fù)數(shù)相等，應(yīng)用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算得，結(jié)合各選項(xiàng)的描述即可判斷正誤.【詳解】，A：，虛部為，錯(cuò)誤；B：，正確；C：，所以，正確；D：，由，其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，正確.故選：BCD.11.已知、是隨機(jī)事件，則下列結(jié)論正確的是（）A.若、是互斥事件，則B.若、是對(duì)立事件，則、是互斥事件C.若事件、相互獨(dú)立，則D.事件、至少有一個(gè)發(fā)生的概率不小于、恰好有一個(gè)發(fā)生的概率【答案】BD 【解析】【分析】利用互斥事件的定義可得出，進(jìn)而可判斷A選項(xiàng)；利用對(duì)立事件的定義可判斷B選項(xiàng)；利用并事件的概率公式以及獨(dú)立事件的概率公式可判斷C選項(xiàng)；列舉兩個(gè)事件所包含的基本情況，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，若、是互斥事件，則，則，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，若、是對(duì)立事件，則、是互斥事件，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，若事件、相互獨(dú)立，則，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，事件、至少發(fā)生一個(gè)包含三種情況：、、，事件、恰好發(fā)生一個(gè)包含兩種情況：、，因此，事件、至少有一個(gè)發(fā)生的概率不小于、恰好有一個(gè)發(fā)生的概率，D對(duì).故選：BD.12.如圖，在長(zhǎng)方形中，，，為的中點(diǎn)，為線段(端點(diǎn)除外)上一動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)將沿折起，使平面平面.在平面內(nèi)過點(diǎn)作，為垂足.設(shè)，則的取值可以是（）A.B.C.D.1【答案】BC【解析】【分析】首先連接，設(shè)，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到平面，從而得到，利用勾股定理得到，，，根據(jù)得到，即可得到，再根據(jù)即可得到答案.【詳解】連接，設(shè)，. 因?yàn)槠矫嫫矫?，，所以平?又因?yàn)槠矫?，所?在中，，在中，，在中，，設(shè)，在中，，在中，，所以，即又因?yàn)?，所?故選：BC三、填空題（本題共4個(gè)小題，每題5分，共20分）13.已知函數(shù)，則________.【答案】4【解析】【分析】本題根據(jù)分段函數(shù)由內(nèi)向外求函數(shù)值即可.【詳解】解：∵，∴，，故答案為：4. 【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)求函數(shù)值，是基礎(chǔ)題.14.已知，，若，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用垂直的坐標(biāo)表示求解作答.【詳解】向量，，且，則，所以.故答案為：15.已知，都是銳角，，，則___________．【答案】【解析】【分析】由，都是銳角，得出的范圍，由和的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系分別求出和的值，然后把所求式子的角變?yōu)?，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，把各自的值代入即即可求出值．【詳解】解：，都是銳角，，又，，，，則．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，同時(shí)注意角度的范圍．16.已知、、分別為的三個(gè)內(nèi)角、、的對(duì)邊，且 ，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，若，則的面積最大值為_______．【答案】【解析】【分析】利用余弦定理可求得的值，可求得角的值，利用平面向量的數(shù)量積結(jié)合基本不等式可求得的最大值，再利用三角形的面積公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，即，所以?，解得.，所以，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為，所以，.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理.四、解答題（6個(gè)題，共70分，解答應(yīng)寫出必要文字說明、證明過程或推演步驟）17.集合A＝{x|x2﹣（2a+1）x+a2+a≤0}，B＝{x|x＜1或x＞2}，若p：x∈A，q：x∈B，且p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】a＞2或a＜0．【解析】 【分析】先求出集合A的范圍，結(jié)合充分不必要條件的定義，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．【詳解】集合A中x2﹣（2a+1）x+a2+a=（x﹣a）（x﹣a﹣1）≤0得a≤x≤a+1，即A＝{x|a≤x≤a+1}，且B＝{x|x＜1或x＞2}，因?yàn)閜是q的充分不必要條件，則A?B，即a+1＜1或a＞2，解得a＞2或a＜0，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞2或a＜0．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件不必要條件的應(yīng)用，結(jié)合條件轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.18.已知點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為、、，.（1）若，求角的值；（2）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)兩向量的模相等，利用兩點(diǎn)間的距離公式建立等式求得的值，根據(jù)的范圍求得；（2）根據(jù)向量的基本運(yùn)算根據(jù)，求得和的關(guān)系式，然后用同角和與差的關(guān)系可得到，再由化簡(jiǎn)可得，進(jìn)而可確定答案．【詳解】（1）∵，∴化簡(jiǎn)得，∵，∴．（2）∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩角和與差的基本關(guān)系和三角與向量的綜合題，屬于中檔題. 19.如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是的中點(diǎn)．（1）證明：平面;（2）求三棱錐外接球的表面積．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，利用中位線的性質(zhì)可得，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，計(jì)算出該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)，可得出外接球的半徑，結(jié)合球體的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，因此，平面；（2）將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體，如下圖所示： 則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以，三棱錐外接球半徑為，因此，三棱錐外接球表面積為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求空間多面體的外接球半徑的常用方法：①補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)舛娼蔷嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長(zhǎng)方體中去求解；②利用球的性質(zhì)：幾何體中在不同面均對(duì)直角的棱必然是球大圓直徑，也即球的直徑；③定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則球心一定在垂線上，再根據(jù)帶其他頂點(diǎn)距離也是半徑，列關(guān)系求解即可.20.正三棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，內(nèi)有一個(gè)球與它的四個(gè)面都相切，求：（1）棱錐的表面積；（2）內(nèi)切球的半徑.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正三棱錐棱長(zhǎng)與錐體的高關(guān)系求出錐體的表面積；（2）根據(jù)等體積法求出內(nèi)切球的半徑.【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)作平面于， 連結(jié)并延長(zhǎng)交于，連結(jié)，∵是正三角形，∴是邊上的高和中線，為的中心，∵，∴，又，∴，∴，∴三棱錐表面積為；（2）設(shè)內(nèi)切球的半徑為，以球心為頂點(diǎn)，棱錐的四個(gè)面為底面把正三棱錐分割為四個(gè)小棱錐，∵，∴，由等體積可得，∴內(nèi)切球的半徑為.【點(diǎn)睛】對(duì)于正三棱錐常構(gòu)造以下四個(gè)直角三角形：1、斜高、側(cè)棱、底邊的一半構(gòu)成的直角三角形；（含側(cè)棱與底邊夾角）2、高、斜高、斜高射影構(gòu)成的直角三角形；（含側(cè)面與底面夾角）3、高、側(cè)棱、側(cè)棱射影構(gòu)成的直角三角形；（含側(cè)棱與底面夾角）4、斜高射影、側(cè)棱射影、底邊的一半構(gòu)成的直角三角形。第二問解題關(guān)鍵點(diǎn)是幾何體內(nèi)切球的大小用等體積法求其半徑．21.習(xí)近平總書記指出：“要健全社會(huì)心理服務(wù)體系和疏導(dǎo)機(jī)制、危機(jī)干預(yù)機(jī)制，塑造自尊自信、理性平和、親善友愛的社會(huì)心態(tài).”在2020年新冠肺炎疫情防控阻擊戰(zhàn)中，心理醫(yī)生的相關(guān)心理疏導(dǎo)起到了重要作用.某心理調(diào)查機(jī)構(gòu)為了解市民在疫情期的心理健康狀況，隨機(jī)抽取 位市民進(jìn)行心理健康問卷調(diào)查，按所得評(píng)分（滿分分）從低到高將心理健康狀況分為四個(gè)等級(jí)：調(diào)查評(píng)分心理等級(jí)有隱患一般良好優(yōu)秀并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.已知調(diào)查評(píng)分在的市民為人.（1）求的值及頻率分布直方圖中的值；（2）在抽取的心理等級(jí)為“有隱患”的市民中，按照調(diào)查評(píng)分分層抽取人，進(jìn)行心理疏導(dǎo).據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，調(diào)查評(píng)分在的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，調(diào)查評(píng)分在的市民心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為，若經(jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，試問在抽取的人中，經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為“良好”的概率為多少?【答案】（1）2000，（2）【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖數(shù)據(jù)列式求解，（2）由分層抽樣與對(duì)立事件的概率公式求解．【小問1詳解】由已知條件可得，每組的縱坐標(biāo)的和乘以組距為1，所以，解得.【小問2詳解】由（1）知，所以調(diào)查評(píng)分在的人數(shù)占調(diào)查評(píng)分在人數(shù)的， 若按分層抽樣抽取人，則調(diào)查評(píng)分在有人，有人，因?yàn)榻?jīng)過心理疏導(dǎo)后的恢復(fù)情況相互獨(dú)立，所以選出的人經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，心理等級(jí)均達(dá)不到良好的概率為，所以經(jīng)過心理疏導(dǎo)后，至少有一人心理等級(jí)轉(zhuǎn)為良好的概率為.22.已知向量，，且.(1)求及；(2)求函數(shù)的最小值，并求使函數(shù)取得最小值時(shí)x的值.【答案】(1)，；(2)當(dāng)時(shí)，.【解析】【分析】(1)由向量的數(shù)量積的計(jì)算公式和向量的模的計(jì)算公式，結(jié)合三角恒等變換的公式，即可求解，得到答案；(2)利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算，求得，再結(jié)合題設(shè)條件和二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】(1)由向量的數(shù)量積的計(jì)算公式，可得，又由因?yàn)?，所以，所?(2)由函數(shù)，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量的數(shù)量積和向量的模的運(yùn)算，以及三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的運(yùn)算公式，合理應(yīng)用三角函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.