湖南省長(zhǎng)沙市第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期月考(一)數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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大聯(lián)考長(zhǎng)沙市一中2024屆高三月考試卷（一）數(shù)學(xué)試題時(shí)量：120分鐘滿分：150分一?選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)非空集合P，Q滿足，則表述正確的是（）A.，有B.，有C.，使得D.，使得【答案】B【解析】【分析】根據(jù)子集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)镻?Q，則由子集的定義知集合P中的任何一個(gè)元素都在Q中，而Q中元素不一定在P中(集合相等或不相等兩種情況)，故B正確，ACD錯(cuò)誤．故選：B2.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.5B.15C.25D.35【答案】B【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)列方程求解【詳解】由等比數(shù)列的前項(xiàng)和的性質(zhì)可得：也成等比數(shù)列，，得，解得.故選：B.3.已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】利用二倍角公式和同角三角函數(shù)的關(guān)系求解【詳解】因?yàn)椋?，故選：B.4.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】先求得拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程，求得，由此求得雙曲線的離心率.【詳解】拋物線即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，則，則雙曲線的離心率為.故選：A5.已知非零向量，則下列命題錯(cuò)誤的是（）A.B.C.與向量共線的單位向量為D.記，則向量在向量上的投影向量為 【答案】C【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的定義判斷A；利用向量加法的三角形法則判斷B；利用單位向量的定義判斷C；利用投影向量的定義判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)不共線時(shí)，由向量加法的三角形法則，可得；當(dāng)反向共線時(shí)，可得；當(dāng)同向共線時(shí)，可得；綜合可得，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：與向量共線的單位向量為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)由，易知，所以向量在向量上的投影向量為；故D正確.故選：C.6.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，有下列四個(gè)命題：甲：；乙：；丙：；?。喝绻挥幸粋€(gè)假命題，則該命題為（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可判定乙?丙一定都正確，繼而根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可判斷甲和丁，即得答案.【詳解】因?yàn)橹挥幸粋€(gè)假命題，故乙?丙只要有一個(gè)錯(cuò)，另一個(gè)一定錯(cuò)，不合題意，所以乙?丙一定都正確，則，故甲正確， 根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得，故丁錯(cuò).故選：D.7.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，過(guò)作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】易得正方體外接球的球心在其中心點(diǎn)處，要使過(guò)的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點(diǎn)求解.【詳解】解：如圖，正方體外接球的球心在其中心點(diǎn)處，球的半徑，要使過(guò)的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點(diǎn)，連接，則，所以，此時(shí)截面圓的半徑，此時(shí)，截面面積的最小值. 故選：C.8.設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為，則的最小值為（）A.0B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】設(shè)，利用單調(diào)性求出的最值，再根據(jù)絕對(duì)值的意義確定，利用一次函數(shù)求解的最小值即可.【詳解】設(shè)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以是三者中的較大者，如圖：表示的函數(shù)圖象為圖中粗線部分，且，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B.二?多選題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分）9.已知，則（） A.的展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)B.的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是C.的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128D.的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為1【答案】ABC【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可判斷A；結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)以及二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)可判斷B；根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)和性質(zhì)可判斷C；利用賦值法求得項(xiàng)的系數(shù)和可判斷D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，不滿足，故的展開式中沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)，故正確；對(duì)于選項(xiàng)：由于的最大值為，故展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)：令，可得展開式中各項(xiàng)的系數(shù)之和為，故錯(cuò)誤.故選：.10.如圖，與分別為圓臺(tái)上?下底面直徑，，若，則（）A.圓臺(tái)的全面積為B.圓臺(tái)的體積為C.圓臺(tái)的中截面（過(guò)圓臺(tái)高的中點(diǎn)且平行底面的截面）面積為D.從點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓臺(tái)的表面到點(diǎn)的最短距離為 【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)代入圓臺(tái)的全面積公式和體積公式可知A正確，B錯(cuò)誤；易知圓臺(tái)的中截面是以等腰梯形的中位線為直徑的圓，可得其截面積為，所以C錯(cuò)誤；根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面展開圖利用弧長(zhǎng)公式和余弦定理即可求得點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓臺(tái)的表面到點(diǎn)的最短距離為，即D正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：圓臺(tái)的全面積包括上下底面積及側(cè)面積，底面積為，根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積公式可得其側(cè)面積為，所以圓臺(tái)的全面積為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)：根據(jù)臺(tái)體體積公式可得圓臺(tái)的體積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)：易知圓臺(tái)的軸截面為等腰梯形，其中位線為中截面圓的直徑，所以中截面圓的半徑長(zhǎng)為，所以中截面圓的面積為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：將圓臺(tái)沿著軸截面切開，將圓臺(tái)的側(cè)面的一半展開，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：在圓臺(tái)的軸截面等腰梯形中，，根據(jù)臺(tái)體性質(zhì)易知分別為的中點(diǎn)，所以3，設(shè)，則，則，在中，，由余弦定理可得，因此，從點(diǎn)經(jīng)過(guò)圓臺(tái)的表面到點(diǎn)的最短距離為，故D正確. 故選：AD.11.如圖，直線與半徑為1的圓相切于點(diǎn)，射線從出發(fā)繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，交于點(diǎn)，設(shè)為（其中），射線掃過(guò)的圓內(nèi)部的區(qū)域（陰影部分）的面積為，則下列說(shuō)法正確的有（）A.B.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C.函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為D.函數(shù)在處的瞬時(shí)變化率最大【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)扇形及三角形面積公式求出即可判斷A，求導(dǎo)數(shù)利用三角函數(shù)有界性可判斷B，根據(jù)函數(shù)對(duì)稱性的性質(zhì)判斷C，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義三角函數(shù)有界性判斷D.【詳解】由題意，，則.所以，故選項(xiàng)A正確；因?yàn)椋屎瘮?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故選項(xiàng)C正確；，故時(shí)，函數(shù)的瞬時(shí)變化率最大，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12.已知數(shù)列滿足，且對(duì)任意的正整數(shù)，都有 ，則下列說(shuō)法正確的有（）A.B.數(shù)列是等差數(shù)列C.D.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，【答案】ABD【解析】【分析】令，求得，判斷A；根據(jù)等差數(shù)列定義可判斷B；結(jié)合B的分析采用累加法可判斷C；結(jié)合C，令，得，求得，即可判斷D.【詳解】由題意知，令，得，解得，故A正確此時(shí)，令，得，從而，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故B正確.所以，所以，所以，故C錯(cuò)誤.令，得，所以，令，則k為奇數(shù)，則，又適合上式，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)已知數(shù)列滿足，結(jié)合題意，可采用賦值的方法，即令取恰當(dāng)?shù)闹颠M(jìn)行求解； 三?填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13.已知兩圓，若圓與圓有且僅有兩條公切線，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)切線條數(shù)可知兩圓相交，據(jù)此列出不等式求解即可.【詳解】若圓與圓有且僅有兩條公切線，則兩圓相交，圓心，半徑，圓心，半徑，則，若兩圓相交，則滿足，即，得，又，所以，故答案為：.14.在等差數(shù)列中，若，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，則使成立的正整數(shù)的最大值是__________.【答案】9【解析】【分析】由題意可得且，由等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式可得結(jié)論．【詳解】等差數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，等差數(shù)列為遞減數(shù)列，又，，，又，，則使成立的正整數(shù)的最大值是9.故答案為：915.已知函數(shù)，若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________. 【答案】【解析】【分析】恰有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，作出函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解.【詳解】函數(shù)，定義域R，顯然不是的零點(diǎn)，令得，設(shè)，則，，解得且；，解得，有在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，時(shí)，；時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取得極小值，作出函數(shù)的大致圖像如圖所示，結(jié)合圖像可知實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：16.已知函數(shù)的圖象在軸上的截距為，且在區(qū)間上沒(méi)有最值，則的取值范圍為__________.【答案】 【解析】【分析】先求出，根據(jù)條件求出周期確定的大致范圍，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)建立不等式確定的具體范圍.【詳解】由題意可知，，且，則，又在區(qū)間上沒(méi)有最值，，即；先考慮在區(qū)間上存在最值，則，即，又，即，即可取1，2，得；由在區(qū)間上沒(méi)有最值，可得；故答案為：.四?解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）17.記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為.已知，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，（1）證明：；（2）求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）直接利用三角函數(shù)的關(guān)系式的變換和正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果；（2）利用余弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意得：由正弦定理得：，即，所以， 由于，所以：.【小問(wèn)2詳解】由題意知：，所以，同理由于，所以整理得，由余弦定理：.18.設(shè)各項(xiàng)均不為零的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)于任意，滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前99項(xiàng)和.【答案】（1）（2）9【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系，利用相減法可得，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可.【小問(wèn)1詳解】由題知.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差也為2的等差數(shù)列，則，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，即.19.如圖，在三棱錐中，側(cè)棱底面，且，過(guò)棱的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接.（1）證明：平面；（2）若，三棱錐的體積是，求直線與平面所成角的大小.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理可得答案；（2）解法一：設(shè)，由得，再利用求出，由（1）知平面，即為所求角，再由可得答案；解法二：設(shè)，由得，再利用求出，以為原點(diǎn)，與垂直的方向，射線，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出、平面的一個(gè)法向量，由線面角的向量求法可得答案. 【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，又因?yàn)?，而平面，所以平面，又平面，所?又因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以.而平面，所以平面平面，所以，又平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】解法一：設(shè)，由（1）得，，可知，由，得，故，在Rt中，，所以，化簡(jiǎn)得，解得，故.由（1）知平面，故即為所求角，在Rt中，，又，故；解法二：設(shè)，由（1）得，，可知， 由，得，故，在Rt中，，所以，化簡(jiǎn)得，解得.如圖，以為原點(diǎn)，與垂直的方向，射線，射線分別為軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，則，，由（1）知，平面，所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，故.20.現(xiàn)有一種射擊訓(xùn)練，每次訓(xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨(dú)立．已知射擊訓(xùn)練有A，B兩種型號(hào)的炮彈，對(duì)于A型號(hào)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為p（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.6，擊中兩彈目標(biāo)飛行物必墜段；對(duì)子B型號(hào)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物的概率均為q（），且擊中一彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.4，擊中兩彈目標(biāo)飛行物墜毀的概率為0.8，擊中三彈目標(biāo)飛行物必墜毀．（1）在一次訓(xùn)練中，使用B型號(hào)炮彈，求q滿足什么條件時(shí)，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于； （2）若，試判斷在一次訓(xùn)練中選用A型號(hào)炮彈還是B型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大？并說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）使用B型號(hào)炮彈，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用間接法與二項(xiàng)分布的概率公式得到關(guān)于的不等式，解之即可；（2）先利用二項(xiàng)分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標(biāo)飛行物的概率，再利用作差法與構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)比較得兩概率的大小，從而得到結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槊看斡?xùn)練都是由高射炮向目標(biāo)飛行物連續(xù)發(fā)射三發(fā)炮彈，每發(fā)炮彈擊中目標(biāo)飛行物與否相互獨(dú)立，所以在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)B型號(hào)炮彈，用表示命中目標(biāo)飛行物的炮彈數(shù)，則（服從二項(xiàng)分布），則，即，則，即，則，又，故，所以當(dāng)時(shí)，才能使得至少有一發(fā)炮彈命中目標(biāo)飛行物的概率不低于.【小問(wèn)2詳解】在一次訓(xùn)練中，連發(fā)三發(fā)A型號(hào)炮彈，用表示命中目標(biāo)飛行物的炮彈數(shù)，則（服從二項(xiàng)分布），，記事件為“使用A型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀”，事件為“使用B型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀”，則，， 因?yàn)?，所以，則，令，則，令，即，則，得，又，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，又，則，故，即，所以使用B型號(hào)炮彈使得目標(biāo)飛行物墜毀的概率更大.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)有兩次，一次是理解A、B型炮彈擊中飛行物的次數(shù)服從二項(xiàng)分布，進(jìn)而利用二項(xiàng)分布的概率公式求得兩種類型的炮彈擊毀目標(biāo)飛行物的概率；二次是利用導(dǎo)數(shù)比較兩者概率的大小.21.已知橢圓左焦點(diǎn)為，點(diǎn)到橢圓上的點(diǎn)的距離最小值是1，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)是橢圓上關(guān)于軸對(duì)稱兩點(diǎn)，交橢圓于另一點(diǎn)，求的內(nèi)切圓半徑的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求橢圓的方程；（2）設(shè)的直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立得出韋達(dá)定理，點(diǎn) 三點(diǎn)共線且斜率相等結(jié)合韋達(dá)定理得出直線過(guò)定點(diǎn)，設(shè)所求內(nèi)切圓半徑為，結(jié)合面積公式以及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】依題意解得，所以橢圓的方程為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椴慌c坐標(biāo)軸垂直，可設(shè)的直線方程為，設(shè)點(diǎn)，則，聯(lián)立得，則因?yàn)辄c(diǎn)三點(diǎn)共線且斜率一定存在，所以，所以，將代入，化簡(jiǎn)可得，故，解得，滿足所以直線過(guò)定點(diǎn)，且為橢圓右焦點(diǎn)， 設(shè)所求內(nèi)切圓半徑為，因?yàn)?，所以，令，則，所以，因?yàn)?，?duì)勾函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，則.所以內(nèi)切圓半徑的范圍為.22.已知函數(shù).（1）若.求證：；（2）若函數(shù)與函數(shù)存在兩條公切線，求整數(shù)的最小值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性與最值，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)兩函數(shù)切點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求斜率，可得切線方程，根據(jù)切線方程斜率和截距分別相等列方程組，消元后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，令，因?yàn)?，所以區(qū)間上單調(diào)遞增，且，所以存在，滿足，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增； 則當(dāng)時(shí)，取得最小值，可得，因?yàn)?，所以不成立，故等?hào)不成立，則，所以當(dāng)時(shí)，.【小問(wèn)2詳解】設(shè)公切線與兩函數(shù)的圖象分別相切于點(diǎn)和點(diǎn)，因?yàn)椋灾本€的方程可表示為或，則有，①，②由①可得，代入②可得，即，令，則，令，則，，所以由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，根據(jù)零點(diǎn)存在定理知，存在，使得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，則， 又為整數(shù)，所以，故所求整數(shù)的最小值是.