湖南省長(zhǎng)沙市明德中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期入學(xué)考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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明德中學(xué)高三入學(xué)考試試卷（2023學(xué)年上期）數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘；總分：150注意事項(xiàng)：1.答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上第I卷（選擇題）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題4個(gè)選項(xiàng)中只有一個(gè)正確答案.1.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（　?。〢.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可得，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，所在象限為第四象限，故選：D.2.已知集合，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合，再利用集合的運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，則，所以， 而，所以，.故選：A.3.在中，，點(diǎn)P在CD上，且，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將代入，利用共線定理推論可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又P，C，D三點(diǎn)共線，所以，得.故選：D.4.已知函數(shù)同時(shí)滿足性質(zhì):①;②當(dāng)時(shí),,則函數(shù)可能為()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】①說(shuō)明為偶函數(shù)，②,說(shuō)明函數(shù)在上單調(diào)遞減,再逐項(xiàng)分析即可. 【詳解】①說(shuō)明為偶函數(shù)，②,說(shuō)明函數(shù)在上單調(diào)遞減.A不滿足②，B不滿足①，C不滿足②,因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增.對(duì)于D,滿足①,當(dāng),單調(diào)遞減,也滿足②.故選：D.5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線．設(shè)圓半徑為1，圓心在l上．若圓C上存在點(diǎn)M，使，則圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先求得圓的方程，再利用求得點(diǎn)M滿足的圓的方程，進(jìn)而利用兩圓有公共點(diǎn)列出關(guān)于a的不等式，解之即可求得a的取值范圍.【詳解】圓心C的橫坐標(biāo)為a，則圓心C的坐標(biāo)為，則圓的方程，設(shè)，由，可得，整理得，則圓與圓有公共點(diǎn)，則，即，解之得.故選：D6.已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，，則的最小值為（）． A.B.5C.D.【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可求得公差和，采用累加法可求得，再判斷單調(diào)性即可計(jì)算作答.【詳解】由數(shù)列滿足，，根據(jù)等差數(shù)列的定義知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列，所以，，當(dāng)時(shí)，，又滿足，，所以.設(shè)，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.又，，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值為.故選：D.7.已知點(diǎn)為雙曲線的漸近線和拋物線的一個(gè)公共點(diǎn)，若到拋物線焦點(diǎn)的距離為5，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.2【答案】A【解析】 【分析】利用拋物線的定義可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得的值，由此求得雙曲線的離心率.【詳解】結(jié)合雙曲線與拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則，因?yàn)閽佄锞€為，由拋物線的定義可得，解得，所以，可得，即點(diǎn)，因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，由題意可得，則，所以，則所求雙曲線的離心率為.故選：A.8.已知，若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知條件算出即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：C.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題4個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合要求.9.下列說(shuō)法中正確的有（）A.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，，則B.隨機(jī)變量服從，若，，則 C.將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以一個(gè)數(shù)，再加上一個(gè)數(shù)后，這組數(shù)據(jù)的方差變?yōu)樵瓉?lái)的倍D.樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算可得A正確；根據(jù)二項(xiàng)分布的均值和方差公式計(jì)算可得B正確；根據(jù)方差的性質(zhì)可知C錯(cuò)誤；根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可得D正確.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋?，所以，解得，故B正確；對(duì)于C，將一組數(shù)據(jù)的每個(gè)數(shù)據(jù)都乘以一個(gè)數(shù)，再加上一個(gè)數(shù)后，這組數(shù)據(jù)的方差變?yōu)樵瓉?lái)的倍，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故D正確.故選：ABD10.已知直線與曲線相交于兩點(diǎn)，與相交于兩點(diǎn)，的橫坐標(biāo)分別為，則（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用導(dǎo)數(shù)分別求得函數(shù)和的單調(diào)性和最大值，作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，又由函數(shù)，可得，令，可得，當(dāng)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增； 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，作出兩個(gè)函數(shù)和的圖象，如圖所示，由，可得，所以A正確；因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞增，又因?yàn)椋?，所以，所以B錯(cuò)誤；因?yàn)榍以谏蠁握{(diào)遞減，又因?yàn)?，，所以，所以C正確；由，所以D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法技巧已知函數(shù)零點(diǎn)（方程根）的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題的三種常用方法：1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式（組），再通過(guò)解不等式（組）確定參數(shù)的取值范圍2、分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問(wèn)題加以解決；3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.結(jié)論拓展：與和相關(guān)的常見(jiàn)同構(gòu)模型①，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；②，構(gòu)造函數(shù)（或，構(gòu)造函數(shù)）；③，構(gòu)造函數(shù)（或 ，構(gòu)造函數(shù)）.11.已知函數(shù)，則（）A.B.是周期函數(shù)C.在單調(diào)遞減D.【答案】ACD【解析】【分析】求出，分析得到和的周期性，然后利用導(dǎo)數(shù)法得到在單調(diào)性，最后通過(guò)證明得出.【詳解】定義域?yàn)?，，?duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由于不是周期函數(shù)，不具備周期性，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，當(dāng)時(shí)，，，在單調(diào)遞減，，，在單調(diào)遞減.C正確；對(duì)于D，要證，即證.令，即證.當(dāng)時(shí)，令，，所以在上單調(diào)遞減，所以，即，當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，，所以，即，.D正確故選：ACD.12.如圖，在正方體中，，分別是的中點(diǎn)，則（）A.四點(diǎn)，，，共面B.∥C.與平面相交D.若，則正方體外接球的表面積為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A，連接和，可得點(diǎn)，，在平面中，再判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)即可，對(duì)于B，利用三角形中位線定理和正方體的性質(zhì)判斷，對(duì)于C，利用正方體的性質(zhì)判斷，對(duì)于D，由可求出正方體的棱長(zhǎng)，從而可求出正方體的外接球的半徑，進(jìn)而可求出正方體外接球的表面積.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，連接和，則∥，因?yàn)樵谡襟w中，是的中點(diǎn)，所以也是的中點(diǎn)，所以因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以所以點(diǎn)，，在平面中，因?yàn)辄c(diǎn)平面，則四點(diǎn)，，，不共面，即選項(xiàng)不正確； 對(duì)于選項(xiàng)，由選項(xiàng)A可知是的中點(diǎn)，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以∥，又因?yàn)椤?，所以∥，即選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)椤危渣c(diǎn)，，都在平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以與平面相交，即與平面相交，所以選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，因?yàn)闉榈闹形痪€，且，所以正方體的棱長(zhǎng)為，設(shè)正方體外接球的半徑為，則，即，則外接球的表面積為，即選項(xiàng)正確；故選：BCD第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)為_________．【答案】【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式寫出其通項(xiàng)公式，令確定的值，然后計(jì)算項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：60. 14.已知，，且，則的最小值為__________.【答案】##【解析】【分析】先利用指數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)得到，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因?yàn)椋?，即，則，所以，又，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.則的最小值為.故答案：.15.已知滿足，則的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】由題意，點(diǎn)的軌跡是圓，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最小值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由得，整理得，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，表示圓上的點(diǎn)到直線距離的倍，而圓心到直線的距離為，所以直線與圓相離，所以圓上點(diǎn)到直線距離的最小值為，所以的最小值為. 故答案為：.16.如圖，已知球的表面積為，若將該球放入一個(gè)圓錐內(nèi)部，使球與圓錐底面和側(cè)面都相切，則圓錐的體積的最小值為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，則母線長(zhǎng)為，利用圓錐的軸截面得，求出圓錐的體積，令，再利用基本不等式或利用導(dǎo)數(shù)求最值可得答案.【詳解】依題意，得球的半徑，設(shè)圓錐的底面半徑為，圓錐的高為，則母線長(zhǎng)為，如圖是圓錐的軸截面，則軸截面的面積，即，平方整理得，則圓錐的體積，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，此時(shí). [或求導(dǎo)：，所以，當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)最小，且最小值為.]故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.記是內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因?yàn)?，所以，即．又因?yàn)?，所以．?）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因?yàn)?，如圖，在中，，① 在中，．②由①②得，整理得．又因?yàn)?，所以，解得或，?dāng)時(shí)，（舍去）．當(dāng)時(shí)，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即， 故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡(jiǎn)得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點(diǎn)E，則．由，得．在中，．在中． 因?yàn)?，所以，整理得．又因?yàn)?，所以，即或．下同解?．[方法五]：平面向量基本定理因?yàn)?，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因?yàn)椋裕塾捎嘞叶ɡ淼?，所以④?lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)D垂直于的直線為y軸，長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，則． 由（1）知，，所以點(diǎn)B在以D為圓心，3為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題利用等面積法使得問(wèn)題轉(zhuǎn)化為更為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問(wèn)題常用思路；方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長(zhǎng)比例關(guān)系的不錯(cuò)選擇；方法五：平面向量是解決幾何問(wèn)題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運(yùn)算法則可以將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問(wèn)題更加直觀化.18.在四棱錐中，底面是矩形，分別是棱的中點(diǎn). （1）證明：平面；（2）若平面，且，，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接、，即可證明，從而得證；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接、，根據(jù)題意，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以且，又因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，為的中點(diǎn)，所以且所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．【小?wèn)2詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，， 所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，顯然二面角為銳二面角，設(shè)其平面角為，則，所以二面角的余弦值為.19.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，數(shù)列滿足，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）記，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，探究：是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1），（2）是定值，定值為2【解析】【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，列方程組求出和，即可得的通項(xiàng)；由，可得，數(shù)列是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)后可得的通項(xiàng).（2），由錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，根據(jù)，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求數(shù)列的前n項(xiàng)和，代入中化簡(jiǎn)即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d， 由已知，可得解得∴，又，∴，又，∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4，∴，∴.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，數(shù)列的前n項(xiàng)和為①，∴②；①-②，得，∴，又，則其前n項(xiàng)和為，∴，∴為定值2．20.已知函數(shù)且曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1），，減區(qū)間，增區(qū)間；（2）【解析】【分析】（1）首先將代入得切點(diǎn)為，從而得到，解方程組即可得到 ，再利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間即可.（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出設(shè)的最小值即可.【詳解】（1）代入得：，所以切點(diǎn)為.，所以.所以.，令，解得，（舍去）.所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).（2）因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，化?jiǎn)為：恒成立.設(shè)，即即可.，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，且，所以，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù).，即.21.已知分別為橢圓的左，右頂點(diǎn)，為其右焦點(diǎn)， ，且點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過(guò)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，證明：為定值．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）由以及即可求解的值，（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，由弦長(zhǎng)公式以及點(diǎn)到直線的距離公式即可化簡(jiǎn)求解.【小問(wèn)1詳解】由，可得，解得，又因?yàn)?，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問(wèn)2詳解】證明：當(dāng)與軸重合時(shí)，，所以當(dāng)不與軸重合時(shí)，設(shè)，直線的方程為，由整理得，則，故 圓心到直線的距離為，則，所以，即為定值．22.為了避免就餐聚集和減少排隊(duì)時(shí)間，某校開學(xué)后，食堂從開學(xué)第一天起，每餐只推出即點(diǎn)即取的米飯?zhí)撞秃兔媸程撞停阎惩瑢W(xué)每天中午會(huì)在食堂提供的兩種套餐中選擇，已知他第一天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，而前一天選擇了米飯?zhí)撞秃笠惶炖^續(xù)選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿?，前一天選擇面食套餐后一天繼續(xù)選擇面食套餐的概率為，如此往復(fù)．（1）求該同學(xué)第二天中午選擇米飯?zhí)撞偷母怕?；?）記該同學(xué)第天選擇米飯?zhí)撞偷母怕蕿椋╥）證明：為等比數(shù)列；（ii）證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】（1）；（2）（i）證明見(jiàn)解析；（ii）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，“第天不選擇米飯?zhí)撞汀保扇怕使接?，?jì)算可得；（2）（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，依照（1）可得與的關(guān)系，然后根據(jù)等比數(shù)列定義證明；（ii）求出通項(xiàng)公式，然后分類討論證明結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，“第天選擇米飯?zhí)撞汀保瑒t“第天不選擇米飯?zhí)撞汀保?根據(jù)題意，，，．由全概率公式，得．（2）（i）設(shè)“第天選擇米飯?zhí)撞汀?，則，，根據(jù)題意，．由全概率公式，得．因此．因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列．（ii）由（i）可得．當(dāng)為大于的奇數(shù)時(shí)，．當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，．因此當(dāng)時(shí)，．