四川省興文第二中學(xué)校2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)（文） Word版含解析.docx

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興文二中高2021級(jí)高三10月考試數(shù)學(xué)（文史類）試卷本試卷共23小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合N={x|x2-x-2≤0}，M={-2,0,1}，則M∩N=（）A.[-1，2]B.[-2，1]C.D.【答案】D【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再利用集合的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由，M={-2，0，1}，則M∩N=.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交運(yùn)算、一元二次不等式的解法，考查了基本運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.2.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的幾何意義得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而判定.【詳解】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為,為第四象限的點(diǎn)，故選:D.3.某學(xué)校共有學(xué)生人，其中高一年級(jí)人，高二年級(jí)與高三年級(jí)人數(shù)相等，學(xué)校為了了解學(xué)生在寒假期間每天的讀書時(shí)間，按照分層抽樣的方法從全校學(xué)生中抽取人，則應(yīng)從高二年級(jí)抽取的人數(shù)為（）AB.C.D.【答案】B【解析】 【分析】設(shè)高二年級(jí)應(yīng)抽取人，根據(jù)分層抽樣的含義列出方程，解出即可.【詳解】由題意知，高二年級(jí)有600人，設(shè)高二年級(jí)應(yīng)抽取人，則，得，故選：B.4.已知均為單位向量，若，則與的夾角為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)題意得，再根據(jù)向量夾角公式即可得答案.【詳解】解：由，均為單位向量，得，所以，故與的夾角為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查向量夾角的計(jì)算公式，向量模的計(jì)算，考查運(yùn)算能力，是基礎(chǔ)題.5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷.【詳解】因?yàn)椋?，，所以b>a>c故選：D 【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)、對(duì)數(shù)和冪的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.6.已知和是兩個(gè)互相垂直的單位向量，，則是和夾角為的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】計(jì)算出，利用向量夾角公式求出，根據(jù)充分不必要條件的判定即可得到答案.【詳解】，，，，令，解得，則和夾角為，，則可得到和夾角為，故是和夾角為的充分不必要條件.故選：A.7.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的函數(shù)，由時(shí)的單調(diào)性排除兩個(gè)選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性、極值判斷作答.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上遞增，函數(shù)在上遞減，因此函數(shù)在上遞增，BD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得：在上遞增，，，而，即有，則存在，使得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)不滿足，A選項(xiàng)符合要求.故選：A8.設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且，若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)是奇函數(shù)，可得，即可求出，進(jìn)而可求.【詳解】奇函數(shù)，，即，即，，，.故選：C.9.已知，，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.CD.【答案】B【解析】 【分析】構(gòu)造函數(shù)，，由其單調(diào)性結(jié)合圖象得出大小關(guān)系.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，，，易知函數(shù)，為增函數(shù).函數(shù)，與函數(shù)的圖象，如下圖所示：由圖可知，.又，，所以.綜上，.故選：B10.若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值不可能為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩角差正弦公式可得，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性可得且，求解即可.【詳解】∵，∴令，即.∵在上單調(diào)遞增，∴且，解得.故選:D. 11.已知函數(shù)，若對(duì)，都有成立，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，只需，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，求最值即可.【詳解】解：由題可知，函數(shù)在上單調(diào)通減，在上單調(diào)遞增，又∵，，，．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求函數(shù)最值即可，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，運(yùn)算求解能力，是中檔題.12.已知三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，側(cè)棱底面，底面是正三角形，與底面所成的角是45°.若正三棱柱的體積是，則球O的表面積是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】首先得到是與底面所成的角，再通過三棱柱的體積得到三棱柱的底面等邊三角形的邊長(zhǎng)，最后通過球的半徑，球心到底面距離，底面外接圓半徑的關(guān)系計(jì)算．【詳解】因?yàn)閭?cè)棱底面，則是與底面所成的角，則．故由，得． 設(shè)，則，解得．所以球的半徑，所以球的表面積．故選：A．【點(diǎn)睛】解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的．第II卷非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.已知，滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是________.【答案】【解析】【分析】作出不等式組所表示的區(qū)域，轉(zhuǎn)化為直線在軸上的截距最大值問題即可.【詳解】根據(jù)題意，作出所表示的可行域，如圖：由，得，作出的平行直線簇，結(jié)合圖像可知當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，截距取得最大值，即取得最大值， 聯(lián)立，解得，即，所以.故答案為：5.14.若周期為的函數(shù)，在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)，則函數(shù)的一個(gè)解析式為________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)奇偶性和周期性直接構(gòu)造即可.【詳解】為偶函數(shù)，若其最小正周期為，則，一個(gè)滿足題意的解析式為.故答案為：（答案不唯一）.15.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，點(diǎn)在角的終邊上，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義和二倍角公式可得答案.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義可知，，由二倍角公式得.故答案為：.16.，其最大值和最小值的和為____________．【答案】0【解析】 【分析】證明函數(shù)是奇函數(shù)即得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.所以是奇函數(shù)，故其最大值和最小值的和為0．故答案為：0三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知函數(shù)在與處都取得極值.（1）求，的值；（2）若方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由給定的極值點(diǎn)列出方程，求解驗(yàn)證作答.（2）求出函數(shù)的極大值和極小值，再根據(jù)三次函數(shù)的圖象特征列不等式即可求解作答.【小問1詳解】由求導(dǎo)得：，依題意，，解得，此時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以.【小問2詳解】 由（1）知，，令，，由（1）知，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，取極大值，當(dāng)時(shí)，取極小值，因方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，則函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，于是得，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)的兩個(gè)相鄰的對(duì)稱中心的距離為．（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角正弦公式、降冪公式、輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦型函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合兩角和的余弦公式進(jìn)行求解即可,【小問1詳解】 ，由題意知，的最小正周期為，所以，解得，∴，令，解得取，則取，則，所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時(shí)，，由的對(duì)稱性可知，解得，所以.19.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，當(dāng)取最大值時(shí)，求外接圓的半徑．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用切化弦、和差角的正弦和正弦定理化簡(jiǎn)已知等式即得解；（2）由題得，平方得，再利用基本不等式求出，由余弦定理和勾股定理求出，再利用正弦定理求出三角形外接圓半徑. 【小問1詳解】，即，，即，則，又，．【小問2詳解】由題得,所以，所以，所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等）所以.由余弦定理得.所以，所以.所以設(shè)外接圓的半徑為,所以所以外接圓的半徑為. 20.如圖.在三棱錐中，為正三角形，為的重心，，，.（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在.說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.【解析】【分析】（1）在中，易證，再根據(jù)，利用線面垂直的判定定理證得平面，再利用面面垂直的判定定理證明即可.（2）取的中點(diǎn)，連接，，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，易得平面，然后再根據(jù)為的重心，由求解.【詳解】（1）設(shè)，則，在中，由余弦定理，得.因?yàn)?，所?因?yàn)?，，所以平? 因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，，則點(diǎn)在上，在平面內(nèi)過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn).因?yàn)椋矫?，平面，所以平?因?yàn)闉榈闹匦?，所以，又，所以，所以在棱上存在點(diǎn)，使得直線平面，此時(shí).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：（1）證明直線和平面垂直的常用方法：①線面垂直的定義；②判定定理；③垂直于平面的傳遞性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；④面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；⑤面面垂直的性質(zhì)．（2）證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）當(dāng)時(shí)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn).【答案】（1）在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減；極大值，無極小值（2）證明見解析【解析】 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;（2）通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出函數(shù)的最小值,結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求出的范圍即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，由得，，由得，或∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴在處取得極大值，無極小值.【小問2詳解】∵，∴由，得，或①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增∵，∴，故在上有唯一零點(diǎn)②當(dāng)時(shí)，得或∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增∵，∴，故在上有唯一零點(diǎn)綜上：當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn). （二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計(jì)分.選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）射線：與曲線交于點(diǎn)A，射線：與曲線交于點(diǎn)B．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系；（1）直接寫出曲線、射線的極坐標(biāo)方程．（2）求△AOB的面積．【答案】（1）曲線極坐標(biāo)方程為，射線的極坐標(biāo)方程為（2）【解析】【分析】（1）曲線表示單位圓，直接寫出極坐標(biāo)方程，射線表示軸非負(fù)半軸，即可求極坐標(biāo)方程；（2）首先求點(diǎn)的極坐標(biāo)，再求的面積.【小問1詳解】曲線的極坐標(biāo)方程為，射線的極坐標(biāo)方程為；注：沒有注明也是正確的．【小問2詳解】的極坐標(biāo)方程為，射線的極坐標(biāo)方程． 由得點(diǎn)A的一個(gè)極坐標(biāo)為．由，得點(diǎn)B的一個(gè)極坐標(biāo)為．∴．選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù)，記的最小值為m.（1）求m；（2）若，求的最小值.【答案】（1）1;（2）.【解析】【分析】（1）將寫成分段函數(shù)的形式，求出分段函數(shù)的最小值，即可得到結(jié)果；（2）由（1）可知，再利柯西不等式求出最小值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；綜上，，故．【小問2詳解】，， 即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為．