四川省綿陽市綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

《四川省綿陽市綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校高2022級(jí)10月月考試題數(shù)學(xué)試卷總分：150分時(shí)間：120分鐘一、單選題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)B，則B的坐標(biāo)為（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用空間直角坐標(biāo)系定義即可求得點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在坐標(biāo)平面內(nèi)的射影為點(diǎn)故選：B2.，，若//，則（）A.0B.C.4D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量共線的條件進(jìn)行求解【詳解】由//，則，使得，即，解得.故選：B3.從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球，那么互斥但不對立的事件是（）A.至少一個(gè)黑球與至少一個(gè)紅球B.至少一個(gè)黑球與都是黑球C.恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球D.至少一個(gè)黑球與都是紅球【答案】C【解析】【分析】依據(jù)互斥事件與對立事件的定義，以及它們的關(guān)系,作出判斷．【詳解】從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋中任取2個(gè)球，包括3種情況：①恰有一個(gè)黑球，②恰有兩個(gè)黑球，③沒有黑球． 對于A，至少一個(gè)黑球與至少一個(gè)紅球，能同時(shí)發(fā)生的情況有“恰有一個(gè)黑球”，故不是互斥事件，不符合要求；對于B，至少一個(gè)黑球與都是黑球，能同時(shí)發(fā)生的情況有“都是黑球”，故不是互斥事件，不符合要求；對于C，恰有一個(gè)黑球與恰有兩個(gè)黑球不可能同時(shí)發(fā)生，它們是互斥事件，再由這兩件事的和不是必然事件，故他們是互斥但不對立的事件，符合要求；對于D，至少一個(gè)黑球與都是紅球，不能同時(shí)發(fā)生且“至少一個(gè)黑球”與“都是黑球”必有一個(gè)發(fā)生，是對立事件，不符合要求；故選：C．4.如圖，在平行六面體中，AC與BD的交點(diǎn)為M，，，，則與相等的向量是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何表示對選項(xiàng)一一驗(yàn)證即可.【詳解】連接與交于點(diǎn)，連接，，， ，，，對于選項(xiàng)A：，故A正確；對于選項(xiàng)B：，故B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：，故C錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)D：，故D錯(cuò)誤；故選：A.5.同時(shí)拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，則兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求出拋擲兩顆骰子的試驗(yàn)的基本事件總數(shù)，再列舉出所求概率的事件，利用古典概率公式求解作答.【詳解】依題意，同時(shí)拋擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)，基本事件有：，，，共36種，兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4的事件包含的基本事件有：，共3個(gè)，所以兩顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率是．故選：B6.已知甲、乙兩位同學(xué)在一次射擊練習(xí)中各射靶10次，射中環(huán)數(shù)頻率分布如圖所示： 令，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的均值；，分別表示甲、乙射中環(huán)數(shù)的方差，則（）A.，B.，C.，D.，【答案】D【解析】【分析】根據(jù)頻率分布圖分別計(jì)算，，比較大小可得.【詳解】由圖可知，，，所以，.故選：D.7.如圖，在直三棱柱中，面，，則直線與直線夾角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出，，利用向量的夾角公式可得答案.【詳解】在直三棱柱中，平面，平面，所以，，平面，平面，所以，所以互相垂直，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，可得，，所以.所以直線與直線夾角的余弦值為.故選：C.8.定義兩個(gè)向量與的向量積是一個(gè)向量，它的模，它的方向與和同時(shí)垂直，且以的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體中，則（） A.B.4C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題中條件確定，設(shè)底面△ABD的中心為O，則CO⊥平面ABD，可求得，又的方向與相同，代入計(jì)算可得答案．【詳解】，，設(shè)底面△ABD的中心為O，連接CO，AO，則OC⊥平面ABD，又AO，AB，ADì平面ABD，故OC⊥AO，OC⊥AB，OC⊥AD，，，在中，，則，又的方向與相同，所以．故選：A． 二、多選題：本大題共4個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某科技學(xué)校組織全體學(xué)生參加了主題為“創(chuàng)意致匠心，技能動(dòng)天下”的文創(chuàng)大賽，隨機(jī)抽取了400名學(xué)生進(jìn)行成績統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)抽取的學(xué)生的成績都在50分至100分之間，進(jìn)行適當(dāng)分組后（每組的取值區(qū)間均為左閉右開），畫出頻率分布直方圖（如圖），下列說法正確的是（）A.在被抽取的學(xué)生中，成績在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生有160人B.圖中的值為0.025C.估計(jì)全校學(xué)生成績的中位數(shù)為86.7D.估計(jì)全校學(xué)生成績的80%分位數(shù)為95【答案】ACD【解析】【分析】由頻率分布直方圖，根據(jù)頻率之和為求得，根據(jù)頻率、中位數(shù)、百分位數(shù)的求得正確答案.【詳解】由題意，成績在區(qū)間內(nèi)學(xué)生人數(shù)為，故A正確；由，得，故B錯(cuò)誤；設(shè)中位數(shù)為，則，得，故C正確；低于90分的頻率為，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)為，則，解得，故D正確.故選：ACD10.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則（）A.乙發(fā)生的概率為B.丙發(fā)生的概率為C.甲與丁相互獨(dú)立D.丙與丁互為對立事件 【答案】ACD【解析】【分析】先計(jì)算出甲乙丙丁的概率，故可判斷AC的正誤，再根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式可判斷C的正誤，根據(jù)對立事件的意義可判斷D的正誤.【詳解】設(shè)為事件“第一次取出的球的數(shù)字是奇數(shù)”，為事件“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，為事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，則，，故A正確.，，故B錯(cuò)誤.而，故C正確.兩次取出的數(shù)字之和要么為奇數(shù)，要么為偶數(shù)，故丙與丁互為對立事件，故D正確.故選：ACD.11.已知10個(gè)樣本數(shù)據(jù)，若去掉其中最大和最小的數(shù)據(jù)，設(shè)剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；最大和最小兩個(gè)數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)；原樣本數(shù)據(jù)的方差為，平均數(shù)，若，則（）A.剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)與原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)不變B.C.剩下8個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)大于原樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)D.【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)10個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，再根據(jù)中位數(shù)、平均數(shù)、下四分衛(wèi)數(shù)與方差的定義與公式推導(dǎo)即可.【詳解】設(shè)10個(gè)樣本數(shù)據(jù)從小到大排列分別為，則剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)為.對A：原樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，剩下的8個(gè)樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)為，故A正確；對B，由題意，，.因?yàn)?，故，即?故，故，故.故B正確；對C，因?yàn)?，故剩?個(gè)數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為，又，故原樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為，又，故，故C錯(cuò)誤；對D，因?yàn)?，故，?故，，故，故D正確.故選：ABD12.如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)分別在線段和上．給出下列四個(gè)結(jié)論中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）A.的最小值為1B.四面體的體積為C.存在無數(shù)條直線與垂直D.點(diǎn)為所在邊中點(diǎn)時(shí)，四面體的外接球半徑為【答案】AC【解析】【分析】由公垂線的性質(zhì)判斷A；由線面平行的性質(zhì)及錐體的體積公式判斷B；根據(jù)線面垂直的判定及面面平行的判定定理結(jié)合條件判斷C；利用坐標(biāo)法，根據(jù)正弦定理及球的性質(zhì)結(jié)合條件可求四面體的外接球半徑判斷D.【詳解】對于A：因?yàn)槭钦襟w， 所以平面，平面，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，即是與的公垂線段，因?yàn)楣咕€段是異面直線上兩點(diǎn)間的最短距離，所以當(dāng)分別與重合時(shí)，最短為1，故A正確；對于B：因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面，且平面，所以平面，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到平面距離不變，距離，由可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到的距離不變，所以的面積不變，所以，所以B錯(cuò)誤；對于C：連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又平面，所以平面，?dāng)不在線段端點(diǎn)時(shí)，過作交于，過作交于，平面交線段于，因?yàn)槠矫妫矫?，故平面，同理平面，又平面，所以平面平面，故平面，又平面，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以存在無數(shù)條直線與垂直，故C正確；對于D：如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 則，，，，所以，，故的外接圓半徑為，所以可得等腰的外接圓圓心為，設(shè)四面體的外接球球心為，則平面，所以可設(shè)四面體的外接球球心為，由，可得，解得，所以四面體的外接球的半徑為，故D錯(cuò)誤.故選：AC．【點(diǎn)睛】解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時(shí)，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個(gè)面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，解題時(shí)要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)入男子羽毛球單打決賽，假設(shè)比賽打滿3局，贏得2局或3 局者勝出，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1，2，3時(shí)，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)：423??123??423??344??114??453??525??332??152??342534??443??512??541??125??432??334??151??314??354據(jù)此估計(jì)甲獲得冠軍的概率為______；【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意找出甲獲勝的情況，然后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】由題意得甲獲勝的情況有:423，123，423，114，332，152，342，512，125，432，334，151，314，共13種，所以估計(jì)甲獲得冠軍的概率為.故答案為：14.已知數(shù)據(jù)，，，，的方差為，則數(shù)據(jù)，，，，的方差為______；【答案】20【解析】【分析】根據(jù)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閿?shù)據(jù)，，，，的方差為，所以數(shù)據(jù)，，，，的方差為.故答案為：2015.直線l的方向向量為，且l過點(diǎn)，則點(diǎn)到直線l的距離為________【答案】2【解析】【分析】利用向量投影和勾股定理即可計(jì)算.【詳解】∵，，∴，，又， ∴在方向上的投影為，∴P到l距離.故答案為：2.16.如圖，在棱長為2的正方體中，，分別為棱、的中點(diǎn)，為棱上的一點(diǎn)，且，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，則點(diǎn)N到平面的距離為________.【答案】【解析】【分析】以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法，即可求解點(diǎn)N到平面的距離，得到答案.【詳解】由題意，以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，可得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，可得，所以點(diǎn)N到平面的距離.故答案為：. 【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)到平面的距離的求法，以及空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等知識(shí)的應(yīng)用，著重考查了空間想象能力，以及推理與運(yùn)算能力.四、解答題:本題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或者演算步驟.17.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為1的正方形，側(cè)棱的長為2，且與、的夾角都等于60°，M在棱上，，設(shè)，，．（1）試用，，表示出向量；（2）求．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由向量對應(yīng)線段的位置關(guān)系，結(jié)合向量加減、數(shù)乘的幾何意義用，，表示出即可；（2）應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算律及其定義求即可.【小問1詳解】由圖知：，， .【小問2詳解】.18.某重點(diǎn)大學(xué)為了解準(zhǔn)備保研或者考研的本科生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取了名這類大學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，將收集到的課余學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：）整理后得到如下表格：課余學(xué)習(xí)時(shí)間人數(shù)（1）估計(jì)這名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)；（2）根據(jù)分層抽樣的方法從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在和，這兩組中抽取人，再從這人中隨機(jī)抽取人，求抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表估計(jì)中位數(shù)的方法直接求解即可；（2）根據(jù)分層抽樣原則可確定從和兩組中抽取的人數(shù)，采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.【小問1詳解】，，這名大學(xué)生每天課余學(xué)習(xí)時(shí)間的中位數(shù)位于之間，則中位數(shù)為.【小問2詳解】由題意知：從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在這一組抽取人，分別記為 ，從課余學(xué)習(xí)時(shí)間在這一組抽取人，分別記為；從這人中隨機(jī)抽取人，所有的基本事件為：，共個(gè)基本事件；其中“抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在”包含的基本事件為：，共個(gè)基本事件；抽到的人的課余學(xué)習(xí)時(shí)間都在的概率.19.為了普及垃圾分類知識(shí)，某校舉行了垃圾分類知識(shí)考試，試卷中只有兩道題目，已知甲同學(xué)答對每題概率都為p，乙同學(xué)答對每題的概率都為q（），且在考試中每人各題答題結(jié)果互不影響．已知每題甲、乙兩人同時(shí)答對的概率為，恰有一人答對的概率為．（1）求p和q的值；（2）求甲、乙兩人共答對3道題的概率．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用獨(dú)立、互斥事件概率公式得到方程組求解；（2）先求出甲、乙答對題目數(shù)為0、1、2的概率，再由甲乙總共答對3道題，等價(jià)于甲答對2道題乙答對1道題或甲答對1道題乙答對2道題，利用獨(dú)立、互斥事件概率公式計(jì)算求得.【小問1詳解】設(shè)A：甲同學(xué)答對第一題，B：乙同學(xué)答對第一題，則，．設(shè)C：甲、乙兩人均答對第一題，D：甲、乙兩人恰有一人答對第一題，則，．∵甲、乙兩人答題互不影響，且每人各題答題結(jié)果互不影響，∴A與B相互獨(dú)立，與互斥，∴,． 由題意得解得或∵，∴，．【小問2詳解】設(shè)：甲同學(xué)答對了i道題，:乙同學(xué)答對了i道題，．由題意得，，，．設(shè)E：甲、乙兩人共答對3道題，則，∴，∴甲、乙兩人共答對3道題的概率為．20.在長方體中，，，點(diǎn)M、N分別在線段，上，且，．（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）若直線與平面相交于點(diǎn)P，求線段DP的長度．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1 ）根據(jù)長方體建立坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示以及直線與平面所成角的正弦值公式即可得到答案；（2）先求出點(diǎn)到平面的距離，由線面角的正弦值等于線上取一點(diǎn)到平面的距離與該點(diǎn)到平面交點(diǎn)的距離之比即可求解.【小問1詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，直線與平面所成角的正弦值為;【小問2詳解】由（1）知，點(diǎn)到平面的距離為，.21. 高考數(shù)學(xué)考試中有12道選擇題，每道選擇題有4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)是正確的．評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，答對得5分，不答或答錯(cuò)得0分．某考生每道選擇題都選出一個(gè)答案，能確定其中有8道題的答案是正確的，而其余題中，有兩道題都可判斷出兩個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，有一道題能判斷出一個(gè)選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，還有一道題因不理解題意只能亂猜．試求該考生的選擇題：（1）得60分的概率；（2）得多少分的概率最大？【答案】（1）（2）該生選擇題得分為45分或50分的概率最大．【解析】【分析】（1）先計(jì)算有兩道題答對的概率各為，有一道題答對的概率為，還有一道題答對的概率為，利用獨(dú)立事件的概率公式即得解；（2）該考生選擇題得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5種，利用事件的獨(dú)立性，依次計(jì)算對應(yīng)概率，比較即得解.【詳解】（1）要得60分，必須12道選擇題全答對，依題意，易知在其余四道題中，有兩道題答對的概率各為，有一道題答對的概率為，還有一道題答對的概率為，所以他做選擇題得60分概率為：．（2）依題意，該考生選擇題得分的可能取值有：40，45，50，55，60共5種．得分為40，表示只做對有把握的那8道題，其余各題都做錯(cuò)，于是其概率為：．得45分的概率為：．得分為50的概率：；得分為55的概率：；得分為60的概率：. ∴該生選擇題得分為45分或50分的概率最大．【點(diǎn)睛】本題考查了獨(dú)立事件概率計(jì)算，考查了學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用，綜合分析，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.22.如圖，四棱錐的底面ABCD是平行四邊形，底面ABCD，．（1）求證：平面平面PAC；（2）若E是側(cè)棱PB上一動(dòng)點(diǎn)，恰好使得平面ADE與平面PAD的夾角為，請指出E點(diǎn)位置．【答案】（1）證明見解析（2）當(dāng)，使平面與平面的夾角為．【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理可得，再利用線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可證得結(jié)論;（2）以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法即可求得.【小問1詳解】證明：底面，，在三角形中，由，，，得．，即．又，平面，平面；又∵平面，∴平面平面．【小問2詳解】以A為原點(diǎn)，分別以所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系． ∵，∴．設(shè)，設(shè)，得．∴，∴，則．．設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，取，得；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，得，解得（舍）或．∴當(dāng)，使平面與平面的夾角為．