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南充高中高2022級高二上學期第一次月考數(shù)學試題（滿分：150分；考試時間：120分鐘）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在復平面內(nèi)，復數(shù)，則對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】C【解析】【分析】根據(jù)共軛復數(shù)的定義可得，再結(jié)合復數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因為，所以，即對應(yīng)的點為，位于第三象限.故選：C.2.如圖所示，矩形是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中，，則原圖形的面積是（）.A.12B.12C.6D.【答案】D【解析】【分析】求出直觀圖面積，根據(jù)直觀圖面積和原圖面積之間的關(guān)系即可得答案.【詳解】因為，由斜二測畫法可知，則，故為等腰直角三角形，故，故矩形的面積為，所以原圖形的面積是，
故選：D3.已知某圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，該圓錐的體積為，則該圓錐的表面積為（）A.27πB.C.D.16π【答案】A【解析】【分析】根據(jù)條件先算出母線長與底面半徑的關(guān)系，再根據(jù)體積計算出底面半徑即可.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，則，所以，所以圓錐的高為，所以，解得，故其表面積；故選：A．4.已知a，b，c為三條不同的直線，，，為三個不同的平面，則下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，，，則【答案】D【解析】【分析】由空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系，逐個選項分析．【詳解】若，，則或，故A選項錯誤；若，，，則或與相交，故B選項錯誤．若，，則或，故C選項錯誤；若，，，，則，正確，證明如下：，，，，又，且，，則，故D選項正確；故選：D．5.已知函數(shù)的最小正周期為，把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)函數(shù)解析式為（）
A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)正弦函數(shù)最小正周期公式求出，在根據(jù)左加右減求出平移后的解析式.【詳解】因為，所以，故，則，則向右平移個單位長度后得到.故選：A6.《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方（正方體），得兩壍堵.斜解壍堵，其一為陽馬，一為鱉臑（biēnào）.陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣.”如圖，陽馬的底面為正方形，底面，則下列結(jié)論中不正確的是（）A.B.C平面平面D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理可判斷A，B；根據(jù)面面垂直的判定定理判斷C；采用假設(shè)，推出矛盾的方法判斷D.【詳解】由題意知底面，底面，故，又陽馬的底面為正方形，即，而平面，故平面，平面，故，A正確；
底面，底面，故，又陽馬的底面為正方形，即，而平面，故平面，平面，故，B正確.由于平面，平面，故平面平面，C正確；底面，底面，故，若，而平面，故平面，平面，故，即，這與正方形中矛盾，故D錯誤；故選：D7.如圖，在正方體中，已知E，F(xiàn)，G，H，分別是，，，的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A.C，G，，F(xiàn)四點共面B.直線平面C.平面平面D.直線EF和HG所成角的正切值為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線線平行即可判斷A，根據(jù)面面平行得線面平行即可判斷B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得矛盾判斷C，根據(jù)異面直線的幾何法找到其角，即可由三角形邊角關(guān)系求解D.【詳解】取中點，連接,由于是的中點，在正方體中可知,
又，所以四邊形為平行四邊形，故,因此，故C，G，，F(xiàn)四點共面，故A正確，,取中點，連接,由于均為中點，所以平面，平面，所以平面,同理平面,平面,所以平面平面，平面，故直線平面，B正確，假若平面平面，則平面平面，平面平面，根據(jù)面面平行的性質(zhì)可得平面，顯然這與與相交矛盾，故C錯誤，由于，所以,故為直線EF和HG所成角或其補角，
不妨設(shè)正方體的棱長為，則，由于底面，平面，所以,故,直線EF和HG所成角的正切值為，D正確.故選：C.8.在正四棱錐中，分別為的中點，直線與所成角的余弦值為，則三棱錐的體積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】連接，，根據(jù)得即為與所成角，設(shè)，再根據(jù)幾何關(guān)系可求得，再根據(jù)，結(jié)合錐體體積求解即可.【詳解】連接，，如圖，設(shè)，由，得即為與所成的角，在中，易知，，解得.設(shè)，在中，①，因為，故，
則在中，，即②，①②兩式相加求得，因為，解得.因為為的中點，故，因為，，所以三角形為等腰直角三角形，則在等腰直角三角形中，易求得到的距離即到底面的距離為，故到平面的距離為，，故所求三棱錐的體積為.故選：B二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.甲、乙兩人進行籃球比賽，若甲投中的概率為0.8，乙投不中的概率為0.1，且兩人投籃互不影響，若兩人各投籃一次，則下列結(jié)論中正確的是（）A.兩人都投中的概率為0.72B.至少一人投中的概率為0.88C.至多一人投中的概率為0.26D.恰好有一人投中的概率為0.26【答案】AD【解析】【分析】利用獨立事件乘法、對立事件及互斥事件的概率求法求各項對應(yīng)事件的概率，即可得答案.【詳解】設(shè)事件A為：“甲投中”，設(shè)事件B為：“乙投中”，這兩個事件相互獨立，A：都投中概率為，對；B：至少一人投中的對立事件為：兩人都未投中，故至少一人投中概率為
，錯；C：至多一人投中對立事件為：兩人都投中，至多一人投中概率為，錯；D：恰好有一人投中概率為，對.故選：AD10.內(nèi)角的對邊分別為，，，則下列判斷正確的是（）A.若，則B.若，則是鈍角三角形C.在銳角中，不等式恒成立D.在中，若，則是等腰三角形【答案】ABC【解析】【分析】對A、B：根據(jù)正、余弦定理運算求解；對C：根據(jù)正弦定理結(jié)合誘導公式運算求解；對D：利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換運算求解.【詳解】對于選項A：因為，由正弦定理可得，所以，故A正確；對于選項B：因為，由正弦定理可得，則，且，可得角為鈍角，所以是鈍角三角形，故B正確；對于選項C：因為為銳角三角形，則，，可得，則，又因為在上單調(diào)遞增，所以，故C正確；對于選項D：因為，有正弦定理可得，則，且，，可得，，即不可能同時大于，所以或，即或，
可得是等腰三角形或直角三角形，故D錯誤；故選：ABC.11.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面ABCD中，，且，下列說法正確的有（）A.B.該圓臺軸截面ABCD面積為C.該圓臺的體積為D.沿著該圓臺表面，從點C到AD中點的最短距離為5cm【答案】BCD【解析】【分析】求出圓臺的高，由梯形特征可判斷選項A；將圓臺軸截面，可判斷選項B；由臺體的體積公式可判斷選項C；將圓臺補成圓錐，側(cè)面展開，取AD的中點為E，連接CE，可判斷選項D.【詳解】A：由已知及題圖知：且，故，錯誤；B：由A易知：圓臺高為，所以圓臺軸截面ABCD面積，正確；C：圓臺的體積，正確；D：將圓臺一半側(cè)面展開，如下圖中且為中點，而圓臺對應(yīng)的圓錐體側(cè)面展開為且，又，所以在△中，即C到AD中點的最短距離為5cm，正確.故選：BCD.
12.如圖,在正方體中,,為線段上的動點,則下列說法正確的是（）AB.平面C.三棱錐的體積為定值D.的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A,由線面垂直的判定定理證明平面即可;對于B,根據(jù)面面平行的判定定理證明平面平面即可;對于C,根據(jù)線面平行將點到平面的距離等于點到平面的距離,再利用等體積法求解即可;對于D,將平面和平面沿直線展開為一個平面,利用余弦定理求解即可判斷.【詳解】對于A,連接,如圖:平面,平面,,又平面,平面,
平面,平面,,連接,同理可得,平面,平面,平面,平面,,故A正確;對于B,連接,如圖:,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,同理四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面,,平面,平面,
平面平面,平面,平面,故B正確;對于C,如圖:由B知,平面,平面,平面,點到平面的距離等于點到平面的距離,,故C錯誤;對于D,將平面和平面沿直線展開為一個平面,如圖:,,,,
,即的最小值為,故D正確.故選:ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.若角α的終邊上有一點，則______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)定義求出角α的正切，再利用二倍角公式求解.【詳解】由題意得，故.故答案為：14.如圖，在矩形中，為邊的中點，，，分別以、為圓心，為半徑作圓弧、（在線段上）.由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積為______.【答案】【解析】【詳解】由題意，可得所得到的幾何體是由一個圓柱挖去兩個半球而成；其中，圓柱的底面半徑為1，母線長為2；體積為；兩個半球的半徑都為1，則兩個半球的體積為；則所求幾何體的體積為.考點：旋轉(zhuǎn)體的組合體.15.已知三棱錐的各頂點都在同一球面上，且平面ABC，若該棱錐的體積為2，，，，則此球的表面積等于______．
【答案】【解析】【分析】判斷出是外接球的直徑，從而求得球的表面積.【詳解】由于平面ABC，平面，所以，在三角形中，由余弦定理得，所以，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以，所以三角形和三角形都是直角三角形，且斜邊都是，所以外接球的直徑為，設(shè)外接球的半徑為，，所以，所以球的表面積為.故答案為：16.在四棱錐中，底面是邊長為4的正方形，側(cè)面是以為斜邊的等腰直角三角形，若，則四棱錐的體積取值范圍為______【答案】.【解析】【分析】證明平面，從而得平面平面，作，垂足為，可得平面，為棱錐的高，然后設(shè)，用表示，，由的范圍求得
的范圍是的范圍，由體積公式可得體積的范圍．【詳解】，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，作，垂足為，平面平面，平面，所以平面，平面，所以，設(shè)，，，，，在中，，，，因為，所以，解得，則，所以，所以，故答案為：．【點睛】本題考查棱錐的體積，解題關(guān)鍵是引入?yún)?shù)求出體積，因此首先要找到棱錐的高，掌握線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵，即證明平面平面是本題的關(guān)鍵，然后只要作出，垂足為，即為棱錐的高，再引入，由的范圍求得范圍后即得高的范圍．四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知向量，．
（1）若，求實數(shù)的值（2）求與的夾角；【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）應(yīng)用向量垂直數(shù)量積為0，即可求；（2）利用數(shù)量積的夾角公式結(jié)合條件即得.【小問1詳解】當時，，∴，則，∴．【小問2詳解】∵，，∴，，∴；又∵，、∴.18.如圖，已知點P是正方形ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點．（1）求證：平面PAD；（2）若PB中點為Q，求證：平面平面PAD．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析
【解析】【分析】（1）取PD的中點E，連接AE，NE，證明四邊形AMNE為平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）證明平面PAD，平面PAD，進而即得.【小問1詳解】取PD的中點E，連接AE，NE，因為N是PC的中點，所以且，又M是AB的中點，ABCD是正方形，所以且，所以且，所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD．【小問2詳解】因為Q為PB的中點，M是AB的中點，所以，又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD，又平面PAD，，MQ，平面MNQ，所以平面平面PAD．19.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝BB1，直線B1C與平面ABC成30°角．
（1）求證：平面B1AC⊥平面ABB1A1；（2）求直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，從而可證明結(jié)論.（2）設(shè),由條件可得，從而可求出三棱柱的其他棱長，連接與相交于點，連接,可證明平面B1AC，從而為直線A1C與平面B1AC所成角，通過解直角三角形可得答案.【小問1詳解】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面，平面所以，又∠BAC＝90°，即,又所以平面，又平面所以平面B1AC⊥平面ABB1A1【小問2詳解】由(1)可知，直線B1C與平面ABC成為，所以設(shè)，則，則所以連接與相交于點，連接,則在正方形中，，由（1）有平面，又平面
所以，又，所以平面B1AC所以為直線A1C與平面B1AC所成角在直角三角形中，，所以所以直線A1C與平面B1AC所成角的正弦值為20.從2022年秋季學期起，四川省啟動實施高考綜合改革，實行高考科目“”模式．“3”指語文、數(shù)學、外語三門統(tǒng)考學科，以原始分數(shù)計入高考成績；“1”指考生從物理、歷史兩門學科中“首選”一門學科，以原始分數(shù)計入高考成績；“2”指考生從政法、地理、化學、生物四門學科中“再選”兩門學科，以等級分計入高考成績．按照方案，再選學科的等級分賦分規(guī)則如下，將考生原始成績從高到低劃分為A，B，C，D，E五個等級，各等級人數(shù)所占比例及賦分區(qū)間如下表：等級ABCDE人數(shù)比例賦分區(qū)間將各等級內(nèi)考生的原始分依照等比例轉(zhuǎn)換法分別轉(zhuǎn)換到賦分區(qū)間內(nèi)，得到等級分，轉(zhuǎn)換公式為，其中，分別表示原始分區(qū)間的最低分和最高分，，分別表示等級賦分區(qū)間的最低分和最高分，Y表示考生的原始分，T表示考生的等級分，規(guī)定原始分為時，等級分為，計算結(jié)果四舍五入取整．某次化學考試的原始分最低分為50，最高分為98，呈連續(xù)分布，其頻率分布直方圖如下：
（1）求實數(shù)a的值；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計原始成績分數(shù)的分位數(shù)X（不取整）；（3）用估計的結(jié)果近似代替原始分區(qū)間，估計此次考試化學成績A等級的原始分區(qū)間，并按照等級分賦分規(guī)則，把（2）中估計的原始分X轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的等級分；【答案】（1）（2）（3）89分【解析】【分析】（1）利用頻率分布直方圖各小矩形面積和為1求解；（2）利用百分位數(shù)的概念求解；（3）利用頻率分布直方圖求出此次考試化學成績A等級的原始分區(qū)間，再利用給定轉(zhuǎn)換公式求出等級分作答.【小問1詳解】由，可得.【小問2詳解】原始分成績位于區(qū)間的占比為，位于區(qū)間的占比為，則原始成績分數(shù)的90%分位數(shù)X在區(qū)間，由，解得.【小問3詳解】由頻率分布直方圖知，原始分成績位于區(qū)間的占比為，位于區(qū)間的占比為，估計等級A的原始分區(qū)間的最低分為，所以估計此次考試化學成績A等級的原始分區(qū)間為，
由，解得，則該學生的等級分為89分.21.如圖，正方形ABCD所在平面與平面四邊形ABEF所在平面互相垂直，是等腰直角三角形，，，．（1）求證：平面BCE；（2）求二面角的正切值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理及線面垂直的判定定理即得；（2）作，交BA的延長線于G，作于H，連結(jié)FH，為二面角的平面角，然后結(jié)合條件即得.【小問1詳解】因為平面平面ABCD，平面ABCD，平面平面，所以平面ABEF，平面ABEF，所以．因為為等腰直角三角形，，所以，又因為，所以，即，又，平面BCE，平面BCE，所以平面BCE．
【小問2詳解】由，平面平面ABCD，平面平面ABCD，平面ABCD，作，交BA的延長線于G，則．從而，平面ABCD，平面ABCD，，作于H，，平面，平面，平面，連結(jié)FH，平面，所以，因此，為二面角的平面角，因為，，所以，，設(shè)，則，，，在中，，，在中，
故二面角的正切值為.22.在直角梯形ABCD中，，，∠ABC＝90°（如圖1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A－BD－C的平面角為（如圖2），M、N分別是BD和BC中點．（1）若E是線段BN的中點，動點F在三棱錐A－BMN表面上運動，并且總保持FE⊥BD，求動點F的軌跡的長度（可用表示），詳細說明理由；（2）若P、Q分別為線段AB與DN上一點，使得，令PQ與BD和AN所成的角分別為和，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接交于，利用線面垂直的判定定理證明平面即可．進而根據(jù)面面平行可得平面，即可確定點F的軌跡為三角形，結(jié)合余弦定理即可求解長度.（2）根據(jù)比例關(guān)系可得線線平行，即可由線線角的定義得到，結(jié)合線面垂直得線線垂直可得，利用消元法轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進行求解即可．【小問1詳解】在圖（1）中，，四邊形是正方形，在圖（2）中，，，，平面，平面，分別取的中點為,，連接,則,平面,平面,所以平面，
同理平面，由于平面，故平面平面，平面，因此點在平面上運動，故點F的軌跡為三角形，由，，所以即為二面角A－BD－C的平面角，故，由于，因此，故點F的軌跡長度為【小問2詳解】在線段取點使得由于平面，平面，，，，，易得，，從而有，則則【點睛】方法點睛：立體幾何中與動點軌跡有關(guān)的題目歸根到底還是對點線面關(guān)系的認知，其中更多涉及了平行和垂直的一些證明方法，在此類問題中要么很容易的看出動點符合什么樣的軌跡(定義)，要么通過計算(建系)求出具體的軌跡表達式，和解析幾何中的軌跡問題并沒有太大區(qū)別，所求的軌跡一般有四種，即線段型，平面型，二次曲線型，球型.
