浙江省舟山中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次素養(yǎng)測評數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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舟山中學(xué)高二第一學(xué)期第一次素養(yǎng)測評數(shù)學(xué)試卷（分數(shù)：150分時間：120分鐘）一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.若，則方程表示的圓的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由圓的一般方程表示圓的條件計算即可.【詳解】由題意可知：，解之得，又，所以.故選：C2.已知方程表示的曲線是橢圓,則實數(shù)的取值范圍是A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】因為方程表示的曲線是橢圓，所以，解得且，即實數(shù)的取值范圍是，故選B.3.點是圓內(nèi)不為圓心的一點，則直線與該圓的位置關(guān)系是（）A.相切B.相交C.相離D.相切或相交【答案】C 【解析】【分析】先根據(jù)點在圓內(nèi)，得到，再計算圓心到直線的距離為d，并與半徑作比較，即可得到答案．【詳解】M在圓內(nèi)，且不為圓心，則，則圓心到直線的距離為，所以相離．故選：C．4.若圓上至少有三個不同的點到直線l：的距離為2，則c的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用直線和圓的位置關(guān)系及點到直線的距離公式數(shù)形結(jié)合計算即可.【詳解】由，所以，半徑，過圓心作直線的垂線交圓分別于A、B兩點，易知，當(dāng)圓心C到的距離時可得，此時圓上恰有三個不同的點到直線l：的距離為2，滿足題意，如圖所示，可知到的距離為：. 故選：A5.已知圓,直線,若直線上存在點，過點引圓的兩條切線,使得,則實數(shù)的取值范圍是A.B.[,]C.D.）【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合幾何性質(zhì)可知點P的軌跡方程為，則原問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離小于等于半徑，據(jù)此求解關(guān)于k的不等式即可求得實數(shù)k的取值范圍.【詳解】圓C（2,0），半徑r＝，設(shè)P（x，y），因為兩切線，如下圖，PA⊥PB，由切線性質(zhì)定理，知：PA⊥AC，PB⊥BC，PA＝PB，所以，四邊形PACB為正方形，所以，｜PC｜＝2，則：，即點P的軌跡是以（2,0）為圓心，2為半徑的圓. 直線過定點（0，－2），直線方程即，只要直線與P點的軌跡（圓）有交點即可，即大圓的圓心到直線的距離小于等于半徑，即：，解得：，即實數(shù)的取值范圍是）.本題選擇D選項.【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程的求解與應(yīng)用，等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.6.已知原點到直線的距離為1，圓與直線相切，則滿足條件的直線有A.1條B.2條C.3條D.4條【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由已知，直線滿足到原點的距離為，到點的距離為，滿足條件的直線即為圓和圓的公切線，因為這兩個圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線.故選C.考點：相離兩圓的公切線7.橢圓C：的長軸長、短軸長和焦距成等差數(shù)列，若點P為橢圓C上的任意一點，且P在第一象限，O為坐標(biāo)原點，為橢圓C的右焦點，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義及橢圓的定義先計算，利用三角換元設(shè)點坐標(biāo)，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性計算范圍即可.詳解】由題意可知，即，結(jié)合題意不妨設(shè)， 則，所以，由題意得，令，則由二次函數(shù)的單調(diào)性知當(dāng)時，上式取得最大值，當(dāng)時，，故.故選：C8.如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現(xiàn)以為圓心作一個圓恰好經(jīng)過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由切線的性質(zhì)，可得，，再結(jié)合橢圓定義，即得解【詳解】因為過點的直線圓的切線，，，所以．由橢圓定義可得，可得橢圓的離心率．故選：A二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求） 9.已知橢圓的離心率為，左，右焦點分別為，，為橢圓上一點（異于左，右頂點），且的周長為6，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的焦距為1B.橢圓的短軸長為C.面積的最大值為D.橢圓上存在點，使得【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)，解得可判斷AB；設(shè)，由知當(dāng)點為橢圓的上頂點或下頂點時面積最大，求出面積的最大值可判斷C；假設(shè)橢圓上存在點，設(shè)，求出、，可看作方程，求出判別式可判斷D.【詳解】由已知得，，解得，，對于A，橢圓的焦距為，故A錯誤；對于B，橢圓的短軸長為，故B正確；對于C，設(shè)，，當(dāng)點為橢圓的上頂點或下頂點時面積的最大，此時，所以面積的最大值為，故C正確；對于D，假設(shè)橢圓上存在點，使得，設(shè)，所以，，，所以是方程，其判別式，所以方程無解，故假設(shè)不成立，故D錯誤.故選：BC.10.圓和圓的交點為A，B，則有（）A.公共弦AB所在直線的方程為B.公共弦AB所在直線的方程為C.公共弦AB的長為D.P為圓上一動點，則P到直線AB的距離的最大值為【答案】AD 【解析】【分析】根據(jù)公共弦方程的求法計算即可判定A、B選項，利用圓的弦長公式計算可判定C選項，利用圓的性質(zhì)及點到直線的距離公式可判定D項.【詳解】由兩圓的方程作差可知公共弦AB方程為：，故A正確，B錯誤；由，易知，半徑，則點到的距離為，故弦長，故C錯誤；當(dāng)，并在如下圖所示位置時，P到直線AB的距離的最大，為，故D正確；故選：AD11.“臉譜”是戲曲舞臺演出時的化妝造型藝術(shù)，更是中國傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓的方程為，半橢圓的方程為 ．則下列說法正確的是（）A.點A在半圓上，點B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B.曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7C.若，P是半橢圓上的一個動點，則cos∠APB的最小值為D.畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點都在與橢圓同中心的圓上．稱該圓為橢圓的蒙日圓，那么半橢圓擴充為整個橢圓：后，橢圓的蒙日圓方程為【答案】ABD【解析】【分析】選項A，易得，，從而判斷；選項B根據(jù)橢圓的性質(zhì)解決橢圓中兩點間距離問題；選項C由橢圓定義可得到|PA|、|PB|之和為定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘積的最大值，結(jié)合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；選項D中分析蒙日圓的關(guān)鍵信息，圓心是原點，找兩條特殊的切線，切線交點在圓上，求得圓半徑得圓方程．【詳解】解：對于A，因為點A在半圓上，點B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點，OA⊥OB，則，，則，當(dāng)位于橢圓的下頂點時取等號，所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；對于B，半圓上的點到點的距離都是，半橢圓上的點到點的距離的最小值為，最大值為，所以曲線C上任意一點到原點的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確； 對于C，是橢圓的兩個焦點，在△PAB中，，由余弦定理知：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以cos∠APB的最小值為，故C錯誤；對于D，由題意知：蒙日圓的圓心O坐標(biāo)為原點(0，0)，在橢圓：中取兩條切線：和，它們交點為，該點在蒙日圓上，半徑為此時蒙日圓方程為：，故D正確．故選：ABD．12.已知F為橢圓的左焦點，直線與橢圓C交于A、B兩點，，垂足為E，BE與橢圓C的另一個交點為P，則（）A.的最小值為2B.的面積的最大值為C.直線BE的斜率為D.為直角【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)給定條件設(shè)出點A、P坐標(biāo)，結(jié)合橢圓定義、均值不等式、斜率坐標(biāo)公式逐項分析計算作答.【詳解】設(shè)橢圓C的右焦點，由橢圓對稱性知線段AB，互相平分于點O，則四邊形為平行四邊形，如圖， 則，有，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，A不正確；設(shè)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”，即，因，垂足為E，則，B正確；因，有，由橢圓對稱性可得，而，則直線BE的斜率，C正確；設(shè)，由及得，，即，直線PA，PB的斜率有，而，于是得，有，所以為直角，D正確.故選：BCD【點睛】結(jié)論點睛：過橢圓中心的弦(除橢圓長軸外)與橢圓二焦點圍成平行四邊形.三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.已知直線，若直線與直線平行，則實數(shù)的值為______，動直線被圓 截得弦長的最小值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)兩直線的一般方程，利用直線平行的公式，代入即可求解；首先判斷直線過定點，利用直線與圓的位置關(guān)系，判斷當(dāng)過點且與垂直的弦的弦長最短.【詳解】由題意得，所以．當(dāng)時，兩直線重合，舍去，故．因為圓的方程可化為，即圓心為，半徑為5．由于直線過定點，所以過點且與垂直的弦的弦長最短，且最短弦長為．故答案為：；14.若過點作圓的切線有兩條，則實數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】先將圓轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心和半徑，通過半徑的平方大于0可得到，再通過點能作兩條圓的切線，可得到點在圓外，能得到或，即可得到答案【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑的平方為，即，因為過點作圓的切線有兩條，所以點在圓外，故點到圓心的距離大于圓的半徑，即，解得或， 綜上所述，的取值范圍是，故答案為：．15.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的中心為原點，焦點，在軸上，離心率為，過作直線交于兩點，且的周長為，那么的方程為__________．【答案】【解析】【詳解】試題分析：依題意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.∴橢圓C的方程為考點：橢圓的定義及幾何性質(zhì)16.已知F1，F(xiàn)2是離心率為的橢圓的焦點，M是橢圓上第一象限的點，若I是的內(nèi)心，G是的重心，記與的面積分別為S1，S2，則___________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)離心率確定，再根據(jù)條件用表示的面積，然后尋找及與的面積的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】由于橢圓的離心率為，所以，即，設(shè)的面積為S，內(nèi)切圓的半徑為r，則， 所以，所以，因為G是的重心，所以，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是及和的面積建立聯(lián)系.四、解答題（本大題共6小題，共73.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知動圓過定點，并且在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程．【答案】【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合圓內(nèi)切的性質(zhì)求解即可.【詳解】設(shè)動圓和定圓內(nèi)切于點，由得，即動圓圓心到兩定點，的距離之和等于定圓的半徑，∴動圓圓心的軌跡是以為焦點的橢圓，且，則，.∴的軌跡方程是． 18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，直線設(shè)圓C的半徑為1，圓心在直線l上.（1）若圓心C也在直線上，過點作圓C的切線，求切線的方程；（2）若圓C上存在點M，使得，求圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍.【答案】（1）所求切線方程為或；（2）【解析】【分析】（1）先求得圓心，再根據(jù)半徑為1，可得圓的方程.分類討論斜率不存在和存在時的情況，由圓心到切線的距離等于半徑求得切線方程；?（2）可設(shè)圓心?，設(shè)點，則由可得，設(shè)此圓為圓D，由題意可得，圓C和圓D有交點，故兩圓相交，由此有，解之可得的取值范圍.【詳解】（1）由題設(shè)，知圓心C是直線和的交點，所以點C的坐標(biāo)為，圓C的方程為，當(dāng)過點的切線的斜率不存在時，切線方程為，滿足條件；當(dāng)過點的切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為，由題意得，解得，所以切線方程為.故所求切線方程為或.（2）因為圓心C在直線上，所以設(shè)點C的坐標(biāo)為，圓C的方程為，設(shè)點，因為，所以，化簡得，即， 所以點M在以點為圓心，2為半徑的圓上.由題意，點在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則，即，解得.所以圓心C的橫坐標(biāo)的取值范圍為.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系，熟練掌握直線與圓相切的等價條件和圓與圓相交的等價條件是解題的關(guān)鍵，此題屬綜合性較強的中檔題.19.已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點M滿足．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）若過坐標(biāo)原點的直線l交橢圓C于P，Q兩點，求線段PQ長為時直線l的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依題意可得，即可求出、，即可求出橢圓方程；（2）首先求出直線斜率不存在時弦顯然可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為、、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，再根據(jù)弦長公式得到方程，求出，即可得解；【小問1詳解】 解：依題意，解得，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，不符合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，則，消元整理得，設(shè)，，則，，所以，即，解得，所以直線的方程為；20.已知橢圓及直線，.（1）當(dāng)為何值時，直線與橢圓有公共點；（2）若直線與橢圓交于、兩點，且，為坐標(biāo)原點，求直線的方程.【答案】（1）；（2）【解析】分析】（1）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用可求得實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)點、，列出韋達定理，由，可得出，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算，并代入韋達定理，進而可計算得出的值，由此可求得直線的方程.【詳解】（1）聯(lián)立直線的方程與橢圓的方程，消去得，由于直線與橢圓有公共點，則，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是；（2）設(shè)點、，由韋達定理可得，， ，所以，，解得.因此，直線的方程為.【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達定理求解.21.已知橢圓C：1(a>b>0)的一個頂點坐標(biāo)為A(0，﹣1)，離心率為.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線y=k(x﹣1)(k0)與橢圓C交于不同的兩點P，Q，線段PQ的中點為M，點B(1，0)，求證：點M不在以AB為直徑的圓上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求出，即可寫出橢圓方程；（2）設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)，聯(lián)立直線與橢圓，寫出韋達定理，將用表示出來，證明即可.【詳解】（1）解：由題意可知，解得，所以橢圓C的方程為.（2）證明：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x0，y0)， 由得，所以.所以當(dāng)k為任何實數(shù)時，都有.所以，.因為線段PQ的中點為M，所以，，因為B(1，0)，所以，.所以.又因為k0，，所以，所以點M不在以AB為直徑的圓上.【點睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，屬于較難題.22.已知橢圓左、右焦點分別為，，，且．（1）求的方程．（2）若，為上兩個動點，過且垂直軸的直線平分，證明：直線過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析． 【解析】【分析】(1)由條件，可得的值，再由條件結(jié)合，可得答案.（2）由條件先得出，設(shè)，，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立得出韋達定理，代入結(jié)論中可求解.【詳解】（1）解：因為，所以，所以，又，所以，，故的方程為．（2）證明：由題意可知直線的斜率存在，，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，得，則，，．設(shè)直線，的傾斜角分別為，，則，，所以，即，所以，所以，化簡可得，所以直線的方程為， 故直線過定點．【點睛】本題考查求橢圓的方程和直線過定點問題，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)條件得出，設(shè)出直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立由韋達定理代入解決，屬于中檔題.