浙江省臺金七校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023學(xué)年高一年級第一學(xué)期臺金七校聯(lián)盟期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級?姓名?考場號?座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.）1.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定義求解.【詳解】集合，則.故選：C.2.下列各組函數(shù)是同一個函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】A【解析】【分析】利用同一函數(shù)的概念判斷即可. 【詳解】與定義域和對應(yīng)關(guān)系均相同，是同一函數(shù)，故A正確；與定義域不同，對應(yīng)關(guān)系相同，不是同一函數(shù)，故B錯誤；與定義域不同，對應(yīng)關(guān)系相同，不是同一函數(shù)，故C錯誤；由解得或，則的定義域?yàn)榛颍汕业?，則的定義域，∴與定義域不同，不是同一函數(shù)，故D錯誤.故選：A.3.已知，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D.4.已知，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根式的性質(zhì)，利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】當(dāng)為奇數(shù)時，，，當(dāng)為偶數(shù)時，，若，則， 則“”是“”的必要而不充分條件.故選：B.5.函數(shù)的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性及特值排除錯誤選項(xiàng)即可.【詳解】的定義域?yàn)椋?，∴奇函?shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故AC錯誤；∵，故B錯誤，∴D正確.故選：D.6.已知，且，則的最小值為（）A.1B.C.9D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合基本不等式進(jìn)行求解即可．【詳解】因?yàn)?，所以?則當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立．故選：C．7.定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則不等式的解集是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，由條件列出不等式組，求解即可.【詳解】∵定義在上的偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，∴在上單調(diào)遞減，且，∴當(dāng)或時，；當(dāng)時，，∵，∴或，∴或，∴或，即，則不等式的解集是.故選：A.8.取整函數(shù)最早出現(xiàn)在著名科學(xué)家阿蘭?圖靈（AlanTuring）在20世紀(jì)30年代提出的圖靈機(jī)理論中.圖靈機(jī)是一種理論上的計(jì)算模型，其中操作包括整數(shù)運(yùn)算和簡單邏輯判斷.由于圖靈機(jī)需要進(jìn)行整數(shù)計(jì)算，因此取整函數(shù)成為了必需的工具之一.現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，常用符號表示為不超過的最大整數(shù)，如，現(xiàn)有函數(shù)在區(qū)間上恰好有三個不相等的實(shí)數(shù)解，則 的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題可知時函數(shù)與恰有三個不同的交點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即得【詳解】作出函數(shù)與的大致圖像時，，從圖像可知，當(dāng)，即時，兩個函數(shù)的圖像在上恰有三個不同的交點(diǎn)．∴所求范圍為．故選：B二?多選題（本大題共4小題，每題5分，共20分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.我們常拿背誦圓周率來衡量某人的記憶水平，如果記圓周率小數(shù)點(diǎn)后第位數(shù)字為，則下列說法正確的是（）A.是一個函數(shù)B.當(dāng)時，C.D. 【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義以及函數(shù)性質(zhì)判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】由題意可知，圓周率小數(shù)點(diǎn)后第位數(shù)字是唯一確定的，即任取一個正整數(shù)都有唯一確定的與之對應(yīng)，因此是一個函數(shù)，故A正確；當(dāng)時，，故B錯誤；，故C正確；，故D正確.故選：ACD.10.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)，且時，則下列敘述正確的是（）A.當(dāng)時B.C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.函數(shù)在區(qū)間上的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用奇函數(shù)的定義和性質(zhì)即可判斷選項(xiàng)AB，根據(jù)判斷函數(shù)單調(diào)性的定義法即可判斷選項(xiàng)C，結(jié)合基本不等式即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知，是奇函數(shù)，令，則，所以，故此時，A錯；因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)， 所以，B正確；由上述可知時，，，則，因?yàn)椋?，，，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，C正確；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等，D正確.故選：BCD11.下列命題敘述正確的是（）A.且時，當(dāng)時，B.且時，當(dāng)時，C.且時，當(dāng)時，D.且時，當(dāng)時，【答案】CD【解析】【分析】利用特值法及作差法進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，因?yàn)榍視r，當(dāng)時，取， 所以，則，故A錯誤；對于B，因?yàn)榍視r，當(dāng)時，取，所以，則，故B錯誤；對于C，因?yàn)榍視r，當(dāng)時，則，所以，則，故C正確；對于D，存在，，滿足，故D正確.故選：CD.12.若函數(shù)在定義域內(nèi)的某區(qū)間上單調(diào)遞增，且在上也單調(diào)遞增，則稱在上是“強(qiáng)增函數(shù)”，則下列說法正確的是（）A.若函數(shù)，則存在使是“強(qiáng)增函數(shù)”B.若函數(shù)，則為定義在上“強(qiáng)增函數(shù)”C.若函數(shù)，則存在區(qū)間，使在上不是“強(qiáng)增函數(shù)”D.若函數(shù)在區(qū)間上是“強(qiáng)增函數(shù)”，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合“強(qiáng)增函數(shù)”的定義即可判斷A；根據(jù)“強(qiáng)增函數(shù)”的定義舉出反例即可判斷B；根據(jù)“強(qiáng)增函數(shù)”的定義結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性舉例即可判斷C；根據(jù)“強(qiáng)增函數(shù)”的定義結(jié)合二次函數(shù)和對勾函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.【詳解】對于A，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)在上為增函數(shù)，而函數(shù)在上為增函數(shù)，所以存在使是“強(qiáng)增函數(shù)”，如，故A正確；對于B，因?yàn)?，所以函?shù)在上不增函數(shù)， 所以不是定義在上的“強(qiáng)增函數(shù)”，故B錯誤；對于C，函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，因?yàn)椋院瘮?shù)在上不是增函數(shù)，故存在區(qū)間，使在上不是“強(qiáng)增函數(shù)”，如，故C正確；對于D，若函數(shù)在區(qū)間上是“強(qiáng)增函數(shù)，則函數(shù)在上都是增函數(shù)，由函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，得，解得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意，當(dāng)時，，由對勾函數(shù)得單調(diào)性可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，綜上所述，，因?yàn)楹瘮?shù)在上都是增函數(shù)， 所以，所以，故D正確故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：“動軸定區(qū)間”型二次函數(shù)最值的方法：（1）根據(jù)對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系進(jìn)行分類討論；（2）根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性，分別討論參數(shù)在不同取值下的最值，必要時需要結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行分析；（3）將分類討論的結(jié)果整合得到最終結(jié)果.非選擇題部分三?填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）13.______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)根式及指數(shù)冪的運(yùn)算求解.【詳解】原式.故答案為：.14.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是______.【答案】（區(qū)間開閉都符合）【解析】【分析】先求函數(shù)定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定結(jié)果．【詳解】，由，解得，令，當(dāng)時單調(diào)遞增，當(dāng)時單調(diào)遞減，又在時單調(diào)遞增，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.故答案為：. 15.函數(shù)當(dāng)時，實(shí)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】由所給的分段函數(shù)以及函數(shù)值，對其分類討論即可.【詳解】令，則，當(dāng)時，有，解得或（舍去），即，當(dāng)時，有即，因?yàn)?，此時無實(shí)數(shù)解，當(dāng)，有滿足題意，當(dāng)時，，不滿足題意，故實(shí)數(shù)，故答案為：8.16.已知函數(shù)與函數(shù)，滿足，當(dāng)和在區(qū)間上單調(diào)性不同，則稱區(qū)間為函數(shù)的“異動區(qū)間”.若區(qū)間是函數(shù)的“異動區(qū)間”，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】兩函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，分，，，四種情況，結(jié)合函數(shù)圖象和單調(diào)性，得到不等式，求出答案.【詳解】，若，在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減，滿足要求，若，畫出與的圖象，如下：可以看出兩函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，要想是函數(shù)的異動區(qū)間，則，解得，滿足，當(dāng)時，，，畫出兩函數(shù)圖象，可以看出兩函數(shù)圖象在上單調(diào)性相同，不合要求，舍去，當(dāng)時，畫出兩函數(shù)圖象，可以看出兩函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，要想是函數(shù)的異動區(qū)間，故，解得，滿足， 綜上，的取值范圍為.故答案為：四?解答題（本題共6個小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知集合.（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的交并補(bǔ)運(yùn)算可得解；（2）由題意，對集合討論，可得解.【小問1詳解】當(dāng)時，集合，，或，.【小問2詳解】，， 當(dāng)即時，，則，解得，；當(dāng)即時，，符合題意；當(dāng)即時，，則，解得，；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知二次函數(shù)（為實(shí)數(shù)，且）（1）若，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根時，求函數(shù)的解析式；（2）不等式的解集是，求函數(shù)的解析式.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，結(jié)合條件“有兩個相等的實(shí)數(shù)根”，列出關(guān)于的方程組，求解即可；（2）由題意得方程有實(shí)數(shù)根，且，利用韋達(dá)定理求解.【小問1詳解】，的圖象關(guān)于直線對稱,又根據(jù)條件“有兩個相等的實(shí)數(shù)根”，列方程組如下：,【小問2詳解】 不等式即的解集是，即方程有實(shí)數(shù)根，且，根據(jù)韋達(dá)定理：，.19.已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)，求函數(shù)的值域；（2），求區(qū)間上的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用判別式法求值域；（2）求得，對分類討論，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.【小問1詳解】時，，即，整理得，當(dāng)時，，當(dāng)時，由，得，解得，且，綜上，，則的值域是.【小問2詳解】 且，當(dāng)時，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時；當(dāng)時，即時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，此時，綜上所述：20.已知指數(shù)函數(shù)，且，定義在上的函數(shù)是奇函數(shù).（1）求和的解析式；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義和奇函數(shù)定義及性質(zhì)求解；（2）根據(jù)是奇函數(shù)，得恒成立，根據(jù)在上單調(diào)遞減，得恒成立，再利用判別式求解.【小問1詳解】設(shè)且，，，； 是定義在上的奇函數(shù)，，對恒成立，.【小問2詳解】恒成立，恒成立，又可知在上單調(diào)遞減，恒成立，恒成立，，.21.天氣漸冷，某電子設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)準(zhǔn)備投入生產(chǎn)“暖手寶”.預(yù)估生產(chǎn)線建設(shè)等固定成本投入為100萬，每生產(chǎn)萬個還需投入生產(chǎn)成本萬元，且據(jù)測算若該公司年內(nèi)共生產(chǎn)該款“暖手寶”萬只，每只售價45元并能全部銷售完.（1）求出利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量萬個的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)產(chǎn)量至少為多少個時，該公司在該款“暖手寶”生產(chǎn)銷售中才能收回成本；（3）當(dāng)產(chǎn)量達(dá)到多少萬個時，該公司所獲得的利潤最大？并求出最大利潤. 【答案】（1）（2）22472個（3）30萬個，利潤最大為410萬元【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤的定義，結(jié)合所給函數(shù)的含義即可求解；（2）時，取最小值即可，僅需，求解即可；（3）利用一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)以及基本不等式分段求解最值，比較大小可得答案.【小問1詳解】總銷售額：萬元，總成本：固定成本萬元，∴利潤【小問2詳解】時，取最小值即可，僅需萬，取22472個.【小問3詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，綜上，當(dāng)萬個時，利潤最大為410萬.22.定義在的函數(shù)滿足：對任意的，都有，且當(dāng)時，. （1）求證：函數(shù)是奇函數(shù)；（2）求證：函數(shù)在上是減函數(shù)；（3）若，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）利用賦值法以及奇函數(shù)的定義進(jìn)行證明；（2）根據(jù)已知條件，利用單調(diào)性的定義、作差法進(jìn)行證明；（3）把恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題進(jìn)行處理，利用單調(diào)性、一次函數(shù)進(jìn)行處理.【小問1詳解】令，則有，令，則有，，是奇函數(shù).【小問2詳解】設(shè)則所以，因?yàn)椋?，即，則，又，所以，所以，所以，即，所以在上是減函數(shù).【小問3詳解】由（1）（2）知在上是減函數(shù)，且為奇函數(shù)， 所以當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，所以恒成立，等價于：恒成立，即恒成立，設(shè)，是關(guān)于的一次函數(shù)，所以，即，則，