湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟2023年秋季高一年級(jí)10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題，共40分在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.已知，且，則集合的個(gè)數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由條件分別列舉出滿足要求的集合，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，集合可能為，共4個(gè).故選：D2.若命題p：，，則命題是（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】存在量詞命題的否定是全稱量詞命題，把存在改為任意，把結(jié)論否定.【詳解】，的否定是，.故選：A3.下列四個(gè)結(jié)論，正確的是①②③④A.①②B.②③C.①③D.①④【答案】C【解析】【詳解】對(duì)于①，因?yàn)?，所以，所以，故正確；對(duì)于②，當(dāng)，則故錯(cuò)誤；對(duì)于③，因?yàn)?所以，故正確；對(duì)于④，因?yàn)?，所以，所以，故錯(cuò)誤，故選C. 4.已知，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】通過(guò)不等式性質(zhì)和舉反例以及必要不充分條件的判定即可得到答案.詳解】舉例，，滿足，但，則正向無(wú)法推出；若，且，所以，所以反向可以推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選：B.5.若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（）A.或B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元一次不等式的解可得，即可根據(jù)分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式進(jìn)行求解.【詳解】由的不等式的解集為可得，故可變形為，不等式等價(jià)于，解得，故選：D6.關(guān)于的不等式的解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.或B.或C.或D.或【答案】C 【解析】【分析】首先解一元二次不等式，，結(jié)合整數(shù)解的個(gè)數(shù)求得的取值范圍.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為空集.當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，區(qū)間內(nèi)有三個(gè)整數(shù)，所以，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，區(qū)間內(nèi)有三個(gè)整數(shù)，所以.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是或，故選：C，7.若，且，則的最小值為（）A.3B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用乘“1”法即可求解.【詳解】可變形為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)取等號(hào)，故選：C8.已知方程在上有兩個(gè)不同的解，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，且進(jìn)而得出 ，結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】設(shè)方程在上的兩個(gè)根為，且，則設(shè)，且，所以，上式等號(hào)不成立，所以，所以的取值范圍為，故選：C.二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得5分，選對(duì)但不全得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.下列命題中，正確的有（）A.若則B.若則C.若且則D.若且則【答案】BC【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，可判定A不正確；根據(jù)不等式的性質(zhì)，可判定B正確；根據(jù)作差法比較大小，可判定C正確；根據(jù)，結(jié)合，可判定D不正確.【詳解】對(duì)于A中，若，當(dāng)時(shí)，則，所以A不正確；對(duì)于B中，若，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，所以B正確；對(duì)于C中，取 由且，可得，所以，C正確；對(duì)于D中，由，可得，所以，又，所以，所以D不正確.故選：BC10.在整數(shù)集中，被除所得余數(shù)為的所有整數(shù)組成一個(gè)“類(lèi)”，記為，，則下列結(jié)論正確的為（）A.B.C.D.整數(shù)屬于同一“類(lèi)”的充要條件是“”【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意，由“類(lèi)”的定義代入計(jì)算，即可判斷ABC，分別驗(yàn)證選項(xiàng)D的充分性以及必要性即可判斷D.【詳解】由可得，，故A錯(cuò)誤；由可得，，故B正確；所有整數(shù)被4除所得的余數(shù)只有0,1,2,3四種情況，剛好分成共4類(lèi)，故，故C正確；若整數(shù)，屬于同一“類(lèi)”，則，，則，所以；反之，不妨設(shè)，，則，若，則，即，所以整數(shù)屬于同一“類(lèi)”；故整數(shù)屬于同一“類(lèi)”的充要條件是，即D正確； 故選：BCD11.已知關(guān)于的不等式的解集為，則（）A.的解集為B.的最小值為C.不等式的解集為D.的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，將不等式化簡(jiǎn)可得其解集為，代入計(jì)算即可判斷ABC，由基本不等式即可判斷D.【詳解】因?yàn)椋瑒t，解集為，則，則可化為，解得，所以不等式解集為，故A正確；因?yàn)?，且，所以?dāng)時(shí)，取得最小值為，故B正確；因?yàn)?，則，則不等式的解集為，故C錯(cuò)誤；因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取得等號(hào)，故D正確；故選：ABD12.設(shè)非空集合滿足：當(dāng)x∈S時(shí)，有x2∈S.給出如下命題，其中真命題是（）A.若m=1，則B.若，則≤n≤1 C.若，則D.若n=1，則【答案】BC【解析】【分析】先由非空集合滿足：當(dāng)x∈S時(shí)，有x2∈S，判斷出或，，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)分別列不等式組，解出不等式進(jìn)行一一驗(yàn)證即可【詳解】∵非空集合滿足：當(dāng)x∈S時(shí)，有x2∈S.∴當(dāng)m∈S時(shí)，有m2∈S，即，解得：或；同理：當(dāng)n∈S時(shí)，有n2∈S，即，解得：.對(duì)于A:m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B:,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正確；對(duì)于C:若，有，解得：，故C正確；對(duì)于D:若n=1，有，解得：或，故D不正確.故選：BC【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：新定義題（創(chuàng)新題）解答的關(guān)鍵：對(duì)新定義的正確理解.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，則m＝________.【答案】0或3【解析】【分析】由并集結(jié)果推出，則或，求解出m代入集合中驗(yàn)證是否滿足條件即可.【詳解】，，則或， 若，A＝{1，3，}，B＝{1，3}，滿足；若，解得或，時(shí)，A＝{1，3，0}，B＝{1，0}，滿足；時(shí)，A、B不滿足集合中元素的互異性，舍去.綜上所述，或3.故答案為：0或3【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)集合并集運(yùn)算結(jié)果求參數(shù)、集合中元素的互異性，屬于基礎(chǔ)題.14.若集合中僅含有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)a的值是________.【答案】0或【解析】【分析】分類(lèi)討論和兩種情況，再根據(jù)集合中只含有一個(gè)元素進(jìn)行求解a值.【詳解】依題意得方程有一個(gè)解或有兩個(gè)相等的解，當(dāng)時(shí)，方程即為，有一個(gè)解，符合題意；當(dāng)時(shí)，由時(shí)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，解得.綜上所述，a的值是0或.故答案為：0或.【點(diǎn)睛】本題考查了分類(lèi)討論思想，由集合中元素的個(gè)數(shù)求解參數(shù)的問(wèn)題，屬于一般難度的題.15.關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可求解，進(jìn)而根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求解，即可根據(jù)最值求解.【詳解】即恒成立，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立， 故當(dāng)時(shí)，取最小值10，所以，故答案為：16.已知關(guān)于的不等式其中的解集為，若滿足其中為整數(shù)集，則使得集合中元素個(gè)數(shù)最少時(shí)的取值集合是_______．【答案】【解析】【分析】先對(duì)分類(lèi)討論，利用一元二次不等式的解法求出解集確定出，再根據(jù)（其中為整數(shù)集），寫(xiě)出當(dāng)集合中元素個(gè)數(shù)最少時(shí)的取值.【詳解】分情況討論：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，，解得或；當(dāng)時(shí)，，解得.因?yàn)?，集合中元素個(gè)數(shù)最少，所以不符合題意；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以要使集合中元素個(gè)數(shù)最少，需要，故答案為：.四、解答題（本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17.已知集合,（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2） 【解析】【分析】（1）代入解出一元二次不等式，根據(jù)集合交并補(bǔ)即可得到答案；（2）轉(zhuǎn)化為判別式小于0即可.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，則，或，則，【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋瑒t，解得.18.（1）已知,且求的最小值;（2）若對(duì),都有成立，求實(shí)數(shù)取值范圍.【答案】（1）18；（2）【解析】【分析】（1）利用乘“1”法即可；（2）分離參數(shù)，再利用基本不等式即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時(shí)等號(hào)成立.（2）因?yàn)閷?duì),都有成立，即，即對(duì)恒成立， 所以，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，則實(shí)數(shù)的取值范圍.19.已知集合，（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍;（2）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件可得，即可求得的值，然后代入檢驗(yàn)，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由條件可得，分集合為，單元素集合以及雙元素集合討論，即可得到結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，由可得，則，化簡(jiǎn)可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，則，此時(shí)，滿足題意；所以.【小問(wèn)2詳解】由可得，，當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)可得，解得；當(dāng)為單元素集合時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，，解得， 即，不滿足；當(dāng)時(shí)，，解得，即，滿足；當(dāng)為雙元素集合時(shí)，則其兩個(gè)元素分別是，解得，此時(shí)，即，滿足；綜上所述，.20.某健身器材廠研制了一種足浴氣血生機(jī)，具體原理是：在足浴盆右側(cè)離中心厘米處安裝臭氧發(fā)生孔，產(chǎn)生的臭氧對(duì)雙腳起保健作用．根據(jù)檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，該臭氧發(fā)生孔工作時(shí)會(huì)對(duì)泡腳的舒適程度起到干擾作用．已知臭氧發(fā)生孔工作時(shí)，對(duì)左腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)右腳的干擾度與成反比，比例系數(shù)為k，且當(dāng)時(shí)，對(duì)左腳和右腳的干擾度之和為（1）求臭氧發(fā)生孔工作時(shí)對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y關(guān)于x的表達(dá)式；（2）求臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意得，當(dāng)時(shí)，，代入上式，得，可得表達(dá)式．（2）化簡(jiǎn)函數(shù)y，利用基本不等式求解最小值即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，代入上式，得 所以【小問(wèn)2詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”．所以臭氧發(fā)生孔對(duì)左腳和右腳的干擾度之和y的最小值為21.已知命題：對(duì),都有成立；命題：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根.（1）若命題為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若與有且僅有一個(gè)真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）或或.【解析】【分析】（1）分討論求出命題為真命題參數(shù)的范圍；（2）命題，一真一假，再分真且假，和真且假兩種情況分別求出參數(shù)的范圍，再綜合得到答案.【小問(wèn)1詳解】命題為真命題：對(duì)任意實(shí)數(shù)都有恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，則，即，解得，綜上的取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】若為真命題，則，解得或， 若真假，則，則，若假真，則，則或，綜上，或或.22.已知函數(shù)，.（1）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（3）若存在使關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）答案見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）將，恒成立，轉(zhuǎn)化為，恒成立求解.（2）由，分，，討論求解.（3）由時(shí)，得到，令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，有兩個(gè)不等正根求解.【詳解】（1）因?yàn)?，恒成立，所以，恒成立；時(shí)，恒成立，滿足題意；時(shí)，只需，，即；綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）即，當(dāng)時(shí)，，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式解集為；當(dāng)時(shí)，，不等式解集為； （3）時(shí)，令，則存在，有四個(gè)不等實(shí)根，即有四個(gè)不等實(shí)根，令，時(shí)一個(gè)對(duì)應(yīng)兩個(gè)；時(shí)一個(gè)對(duì)應(yīng)一個(gè)；時(shí)無(wú)與之對(duì)應(yīng)；則存在，有兩個(gè)不等正根，則，存在，，即存在，，即，且存在，，時(shí)，時(shí)最大值為，則，由可得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：含有參數(shù)不等式的解法：，往往需要比較(相應(yīng)方程)根的大小，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論：(1)若二次項(xiàng)系數(shù)為常數(shù)，可先考慮分解因式，再對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論；若不易分解因式，則可對(duì)判別式進(jìn)行分類(lèi)討論；(2)若二次項(xiàng)系數(shù)為參數(shù)，則應(yīng)先考慮二次項(xiàng)是否為零，然后再討論二次項(xiàng)系數(shù)不為零的情形，以便確定解集的形式；(3)其次對(duì)相應(yīng)方程的根進(jìn)行討論，比較大小，以便寫(xiě)出解集．