四川省綿陽(yáng)市南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

《四川省綿陽(yáng)市南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2022級(jí)12月月考試題數(shù)學(xué)試卷（總分：150分時(shí)間：120分鐘）一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得解；【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；故選：A2.某種心臟手術(shù)，成功率為0.6，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬方法估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率：先利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生0~9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，由于成功率是0.6，我們用0，1，2，3表示手術(shù)不成功，4，5，6，7，8，9表示手術(shù)成功；再以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，作為3例手術(shù)的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生如下10組隨機(jī)數(shù)：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5【答案】A【解析】【分析】由題可知10組隨機(jī)數(shù)中表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有2組，即求.【詳解】解：由題意，10組隨機(jī)數(shù)：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，表示“3例心臟手術(shù)全部成功”的有：569,989，故2個(gè)，故估計(jì)“3例心臟手術(shù)全部成功”的概率為.故選：A. 3.如圖，在平行六面體中，設(shè)，，，則與向量相等的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的運(yùn)算，用基向量表示即可.【詳解】因?yàn)?所以.故選：C.4.若光線從點(diǎn)射到y(tǒng)軸上，經(jīng)y軸反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則光線從點(diǎn)P到點(diǎn)Q走過(guò)的路程為A10B.5＋C4D.2【答案】C【解析】【分析】關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，易知光線從點(diǎn)P到點(diǎn)Q走過(guò)的路程為.【詳解】找到Q點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，由對(duì)稱性可知P，Q間距離等于間的距離，求得.所以本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)關(guān)于y 軸的對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題和兩點(diǎn)間的距離公式，要求熟記公式，掌握數(shù)形結(jié)合的思想運(yùn)用，屬基礎(chǔ)題.5.拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，事件“恰有一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則（）A.B.C.A與B互為對(duì)立事件D.A與B互為互斥但不對(duì)立事件【答案】C【解析】【分析】計(jì)算出事件的概率可判斷A，B；由對(duì)立事件的概念可判斷C，D.【詳解】因?yàn)槭录皟擅恩蛔拥狞c(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)”，即事件包括兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)分為兩枚骰子都為奇數(shù)和偶數(shù)，，事件“恰有一枚骰子的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，即事件為兩枚骰子一枚為奇數(shù)，一枚偶數(shù)，即兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù).所以，所以A與B互為對(duì)立事件，且故A，B，D錯(cuò)誤；C正確.故選：C.6.已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)作垂直軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓交軸于、兩點(diǎn)，且，則拋物線方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由題意可知圓是以焦點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，那么中，利用勾股定理求解.【詳解】由題意可知通徑，所以圓的半徑是，在中，，，解得：，所以拋物線方程： 故選：B【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的能力，本題的關(guān)鍵是根據(jù)拋物線和圓的幾何性質(zhì)抽象出數(shù)學(xué)等式，屬于基礎(chǔ)題型.7.已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為為雙曲線上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，若漸近線垂直平分線段，，則雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，依題意，再根據(jù)雙曲線的定義得到關(guān)系，從而得到離心率.【詳解】到漸近線的距離為，因?yàn)闈u近線垂直平分線段，所以，又因?yàn)?，?jù)雙曲線的定義知：，即， 所以，故選：A.8.阿基米德是古希臘著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.已知橢圓的焦點(diǎn)為，過(guò)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，若弦是圓的一條直徑，則橢圓的面積為（????）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由圓的對(duì)稱性可得中點(diǎn)坐標(biāo)，并由兩點(diǎn)連線斜率公式求得；利用點(diǎn)差法可結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)構(gòu)造關(guān)于的方程，結(jié)合可求得，進(jìn)而得到橢圓面積.【詳解】弦是圓的一條直徑，中點(diǎn)坐標(biāo)為，又直線過(guò)點(diǎn)，，設(shè)，由得：，即，又，，，，又，，，，，橢圓的面積.故選：C.二、多選題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知分別為直線的方向向量（不重合），分別為平面，的法向量（，不重合），則下列說(shuō)法中，正確的是（） A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量、平面法向量定義，結(jié)合向量間的位置關(guān)系判斷線線、線面、面面關(guān)系即可.【詳解】A：由題設(shè)，對(duì)；B：由題設(shè)，或，錯(cuò)；C：由題設(shè)，對(duì)；D：由題設(shè)，對(duì).故選：ACD10.某單位健康體測(cè)，男性平均體重為64千克，方差為151；女性平均體重為56千克，方差為159，男女人數(shù)之比為，該單位全體工作人員平均體重和方差分別為（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】分析】根據(jù)平均數(shù)、方差公式計(jì)算可得.【詳解】依題意，設(shè)男性人數(shù)為（），女性人數(shù)為，該單位全體人員體重的平均數(shù)為：，所以該單位全體人員體重的方差為：．故選：AD11.已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，P是C上任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.C的漸近線方程為B.若直線與雙曲線C有交點(diǎn)，則 C.點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為D.當(dāng)點(diǎn)P與A，B兩點(diǎn)不重合時(shí)，直線PA，PB的斜率之積為2【答案】AC【解析】【分析】由雙曲線的漸近線方程可判斷A，通過(guò)對(duì)比直線與雙曲線的漸近線斜率之間的關(guān)系可求解B，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求C，PA，PB的斜率相乘后，結(jié)合雙曲線方程化簡(jiǎn)可得定值，則D可判斷.【詳解】雙曲線，則，對(duì)于A，C的漸近線方程為，A正確；對(duì)于B，由雙曲線的漸近線方程為可知，若直線與雙曲線C有交點(diǎn)，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)點(diǎn)，則，點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積為，C正確；對(duì)于D，易得，，設(shè)，則，所以直線PA，PB的斜率之積為，D錯(cuò)誤．故選：AC.12.下列四個(gè)命題表述正確的是（????）A.傾斜角相等的兩條直線，斜率也相等B.圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1C.曲線與曲線恰有三條公切線，則D.已知圓，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)向圓引兩條切線，為切點(diǎn)，則弦長(zhǎng)度的最小值為 【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角與斜率關(guān)系判斷A，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷B，根據(jù)兩圓外切判斷C，根據(jù)切點(diǎn)弦的性質(zhì)判斷D即可.【詳解】當(dāng)傾斜角為時(shí)，直線的斜率不存在，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閳A心到直線的距離，而圓的半徑為2，所以圓上存在三個(gè)點(diǎn)到直線距離為1，故B正確；曲線可化為，即圓心為，半徑，曲線可化為，即圓心為，半徑，兩圓有3條公切線，故兩圓外切，所以，即，解得，故C正確；因?yàn)辄c(diǎn)的坐標(biāo)為，故點(diǎn)在直線上，圓心到直線的距離，如圖，因?yàn)榇怪逼椒志€段，則，當(dāng)取得最小值，即時(shí)，弦長(zhǎng)度的最小值為，故D正確.故選：BCD三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.把答案直接填在答題卡中的橫線上.）13.若直線與直線垂直，則a的值為___________. 【答案】2【解析】【分析】直接由直線垂直的充要條件列出等式即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，解得，即a的值為2.故答案為：2.14.已知點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)，且l的一個(gè)方向向量為則點(diǎn)P到直線l的距離為_____.【答案】【解析】【分析】利用空間中點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算【詳解】易知，所以點(diǎn)P到直線l的距離為.故答案為：15.已知Q為拋物線C：上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)F（F是C的焦點(diǎn)）的距離之比為則的最小值是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到點(diǎn)的軌跡，然后將的最小值轉(zhuǎn)化為的最小值，根據(jù)垂線段最短得到當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小，然后求最小值即可. 【詳解】由題意得，等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，過(guò)點(diǎn)作垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)，則，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，則，整理得，所以點(diǎn)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓，所以，所以當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，最小，故故答案為：.16.已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，是橢圓上一點(diǎn)（不在坐標(biāo)軸上），是的平分線與軸的交點(diǎn)，若，則橢圓離心率的范圍是___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)角平分線定理求出的關(guān)系，根據(jù)定義得出，再由求解即可.【詳解】如圖，根據(jù)橢圓對(duì)稱性，假設(shè)點(diǎn)P在第一象限， ，，是的平分線，，則，由，可得，由，可得，由，可得.故答案為：四、解答題（本大題共6個(gè)小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）17.某景點(diǎn)某天接待了1000名游客，其中老年500人，中青年400人，少年100人，景點(diǎn)為了提升服務(wù)質(zhì)量，采用分層抽樣從當(dāng)天游客中抽取100人，以評(píng)分方式進(jìn)行滿意度回訪.將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按照分成5組，制成如下頻率分布直方圖：??（1）求抽取的樣本老年、中青年、少年的人數(shù)；（2）求頻率分布直方圖中a的值；（3）估計(jì)當(dāng)天游客滿意度分值的分位數(shù).【答案】（1）50；40；10（2）（3）.【解析】 【分析】（1）由題意可先確定抽樣比為，分別計(jì)算可求得結(jié)果；（2）由頻率分布直方圖中所有小正方形面積為1，即可解得；（3）由百分位數(shù)的定義計(jì)算即可得游客滿意度分值的分位數(shù)為.【小問(wèn)1詳解】老年、中青年、少年的人數(shù)比例為，故抽取100人，樣本中老年人數(shù)為人，中青年人數(shù)為人，少年人數(shù)為人；【小問(wèn)2詳解】易知組距為10，由頻率分布直方圖可得，，解得；【小問(wèn)3詳解】設(shè)當(dāng)天游客滿意度分值的分位數(shù)為，因?yàn)?，，所以位于區(qū)間內(nèi)，則，解得，可知估計(jì)當(dāng)天游客滿意度分值的分位數(shù)為.18.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，若.（1）求拋物線C的方程；（2）若斜率為的直線l過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)，且與拋物線C交于D，E兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分析可得，代入方程運(yùn)算求解；（2）根據(jù)題意可得，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合拋物線的定義分析求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榕c拋物線交于A，B，且， 根據(jù)對(duì)稱性可得，，代入得，解得，所以拋物線C的方程.【小問(wèn)2詳解】由（1）知拋物線的焦點(diǎn)為，可知直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，所以.19.已知直線l經(jīng)過(guò)兩條直線2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交點(diǎn)，且與直線x+y﹣2＝0垂直．（1）求直線l的方程；（2）若圓C過(guò)點(diǎn)（1，0），且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長(zhǎng)為，求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求得直線和直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再用點(diǎn)斜式求得直線的方程. （2）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)已知條件列方程組，求得，由此求得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問(wèn)1詳解】.直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.20.甲、乙兩人玩一個(gè)摸球猜猜的游戲，規(guī)則如下：一個(gè)袋子中有4個(gè)大小和質(zhì)地完全相同的小球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)白球，甲采取不放回方式從中依次隨機(jī)地取出2個(gè)球，然后讓乙猜．若乙猜出的結(jié)果與摸出的2個(gè)球特征相符，則乙獲勝，否則甲獲勝，一輪游戲結(jié)束，然后進(jìn)行下一輪（每輪游戲都由甲摸球）．乙所要猜的方案從以下兩種猜法中選擇一種；猜法一：猜“第二次取出的球是紅球”；猜法二：猜“兩次取出球的顏色不同”．請(qǐng)回答：（1）如果你是乙，為了盡可能獲勝，你將選擇哪種猜法，并說(shuō)明理由；（2）假定每輪游戲結(jié)果相互獨(dú)立，規(guī)定有人首先獲勝兩次則為游戲獲勝方，且整個(gè)游戲停止．若乙按照（1）中選擇猜法進(jìn)行游戲，求乙獲得游戲勝利的概率．【答案】（1）選擇猜法二，理由見解析（2）【解析】【分析】(1)利用列舉法列出不放回取兩球的所有結(jié)果，再借助古典概率公式計(jì)算判斷作答.(2)利用(1)的結(jié)論，將乙獲勝的事件分拆成三個(gè)互斥事件的和，再利用概率的乘法、加法公式計(jì)算得解.【小問(wèn)1詳解】用a，b表示兩個(gè)紅球，用1，2表示兩個(gè)白球，甲不放回取兩球的所有結(jié)果： ab，ba，a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，12，21，共12個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，令事件為“第二次取出的是紅球”，則事件A所含結(jié)果有：ab，ba，1a，2a，1b，2b，共6個(gè)，令事件為“兩次取出球的顏色不同”，則事件B所含結(jié)果有：a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，共8個(gè)，于是得，，顯然，，為了盡可能獲勝，應(yīng)該選擇猜法二．【小問(wèn)2詳解】由(1)知，乙選擇猜法二，每一輪乙獲勝的概率為，游戲結(jié)束時(shí)，乙獲勝的事件M是乙在第一、二輪勝的事件M1，第一輪負(fù)另外兩輪勝的事件M2，第二輪負(fù)另外兩輪勝的事件M3的和，它們互斥，于是得，所以乙獲得游戲勝利的概率是.21.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，點(diǎn)是的中點(diǎn).（1）證明：平面平面；（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)定理得，再根據(jù)勾股定理得，從而利用線面垂直的判定定理得平面，從而利用面面垂直的判定定理證明即可；（2 ）根據(jù)線面角的定義及正弦值求得邊長(zhǎng)，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得兩個(gè)平面所成角的余弦值.【小問(wèn)1詳解】平面平面，.，由且是直角梯形，，即，.平面平面，平面.平面，平面平面.【小問(wèn)2詳解】平面平面，.又，平面平面，平面，即為直線與平面所成角.，，則，取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸?軸?軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)為平面的法向量，則，令，得，得， 設(shè)為平面的法向量，則，令，則，得..平面與平面所成角的余弦值的余弦值為.22.已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最長(zhǎng)距離為．（1）求橢圓的方程：（2）直線（不過(guò)原點(diǎn)）與拋物線相交于兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且此直線也與橢圓相交于兩點(diǎn)，求面積的最大值及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）（2）面積的最大值是，此時(shí)的方程為．【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)為，求出點(diǎn)D到焦點(diǎn)距離，配方根據(jù)的范圍求出最大值時(shí)，結(jié)合離心率可得答案；（2）設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)求出，法一：設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，；法二：設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，，法三：原點(diǎn)到直線的距離為得，令，再利用基本不等式求出，可得答案．【小問(wèn)1詳解】 設(shè)橢圓上的點(diǎn)坐標(biāo)為，，右焦點(diǎn)，則點(diǎn)D到焦點(diǎn)距離為，當(dāng)時(shí)，取得最大值，由題意知：∴，∴橢圓C的方程為；【小問(wèn)2詳解】顯然，直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，，，聯(lián)立直線與拋物線方程得：，以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則，或（舍去），所以直線的方程為：，聯(lián)立直線與橢圓方程得：，，，法一：設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，.法二：設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為， ，法三：原點(diǎn)到直線的距離為，所以，其中，令，．∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，且滿足，∴面積的最大值是，此時(shí)的方程為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵點(diǎn)是利用解決弦長(zhǎng)問(wèn)題.