山東省臨沂市第一中學(xué)文峰校區(qū)2022-2023學(xué)年高一4月月考數(shù)學(xué) word版含解析.docx

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臨沂一中文峰校區(qū)高一學(xué)科素養(yǎng)測(cè)評(píng)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.如圖所示，是的邊上的中點(diǎn)，記，，則向量A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】試題分析：由向量的減法幾何意義得選項(xiàng)C．考點(diǎn)：向量減法的幾何意義．2.計(jì)算（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由兩角差的正切公式，結(jié)合，即可求出答案.【詳解】.故選：D3.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則（）A.-2B.C.2D.【答案】A【解析】 【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量數(shù)量積的定義直接計(jì)算作答.【詳解】等邊的邊長(zhǎng)為2，所以.故選：A4.已知，求與的夾角（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由可得，后由向量夾角公式可得答案.【詳解】，則，又，則故選：C5.已知，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令，則，，再利用誘導(dǎo)公式及二倍角公式計(jì)算可得；【詳解】令，則，，所以.故選：C.6.若平面向量?jī)蓛傻膴A角相等，且，則（）A.B.C.5或2D.10或4【答案】D【解析】 【分析】?jī)蓛傻膴A角相等，可得夾角為或,再分兩種情況討論，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】.因?yàn)槠矫嫦蛄浚?，兩兩的夾角相等，所以?shī)A角有兩種情況，即，，兩兩的夾角為或,當(dāng)夾角為時(shí)，，當(dāng)夾角為時(shí)，，所以或.故選：D．7.已知的外接圓圓心為O，且，則向量在向量上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件作圖可得為等邊三角形，根據(jù)投影向量的概念求解即可【詳解】所以外接圓圓心為的中點(diǎn)，即為外接圓的直徑，如圖：又，所以為等邊三角形，，，向量在向量上的投影數(shù)量為：． 故投影向量為.故選：D．8.如圖，已知扇形的半徑為，其圓心角為，四邊形是該扇形的內(nèi)接矩形，則該矩形面積的最大值為A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)把矩形面積表示成關(guān)于的三角函數(shù)最值問(wèn)題.【詳解】連接，設(shè)，則，由已知可得：三角形是等腰直角三角形，即，所以，故矩形的面積為：顯然當(dāng)時(shí)，取得最大值，故選:B 二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于向量的命題正確的是（）A.對(duì)任一非零向量，是一個(gè)單位向量B.對(duì)任意向量，，恒成立C.若且，則D.在中，C為邊AB上一點(diǎn)，且，則【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念與線性運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】對(duì)于A：由于是非零向量，則，可得是一個(gè)單位向量，故A正確；對(duì)于B：根據(jù)向量減法的運(yùn)算法則可得：當(dāng)，共線時(shí)，（，反向）或（，同向），故；當(dāng)，不共線時(shí)，由三角形法則可得；綜上所述：，故B正確；對(duì)于C：根據(jù)向量相等的定義可得，故C正確；對(duì)于D：由題意可得，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.已知，，點(diǎn)P在直線AB上，且，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（） A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】由向量的坐標(biāo)表示分類討論后計(jì)算即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋尹c(diǎn)P在直線AB上，故由可得以下兩種情況：，此時(shí)有，解得；或，此時(shí)有，解得；故選：AB11.如圖，在海岸上有兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，D，C在D的正西方向，距離為2km，在某天10:00觀察到某航船在A處，此時(shí)測(cè)得∠ADC=30°，5分鐘后該船行駛至B處，此時(shí)測(cè)得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，則（）A.當(dāng)天10:00時(shí)，該船位于觀測(cè)點(diǎn)C的北偏西15°方向B.當(dāng)天10:00時(shí)，該船距離觀測(cè)點(diǎn)CkmC.當(dāng)船行駛至B處時(shí)，該船距觀測(cè)點(diǎn)CkmD.該船在由A行駛至B的這5min內(nèi)行駛了km【答案】ABD【解析】【分析】利用方位角的概念判斷A，利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD．【詳解】A選項(xiàng)中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因?yàn)镃在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正確.B選項(xiàng)中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，則∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=， 故B正確.C選項(xiàng)中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，則BD=CD=2，于是BC=2，故C不正確.D選項(xiàng)中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，即AB=km，故D正確.故選：ABD．12.已知函數(shù)，則（????）A.在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)B.在上單調(diào)遞增C.圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到D.在上的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A，把三角函數(shù)化簡(jiǎn)，求函數(shù)的零點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證；對(duì)于B，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間進(jìn)行驗(yàn)證；對(duì)于C，通過(guò)圖像平移公式進(jìn)行驗(yàn)證；對(duì)于D，由得出整體角的取值范圍，再得到的最大值.【詳解】.對(duì)于A，令，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，滿足題意，故A正確；對(duì)于B，令，則.當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增正確，故B正確； 對(duì)于C，由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，則，，所以在上的最大值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.若與共線，則_______【答案】【解析】【分析】由兩個(gè)向量共線的坐標(biāo)表示直接求得結(jié)果.【詳解】已知與共線，則，解得.故答案為：.14.已知單位向量，，若，則與的夾角為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再利用夾角公式計(jì)算作答.【詳解】單位向量，，滿足，則有，解得，于是，而，則，所以與的夾角為.故答案為：15.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)，，在圖象上，求_______ 【答案】【解析】【分析】根據(jù)圖象可得函數(shù)周期，據(jù)此求出，再代入點(diǎn)可得，再代入點(diǎn)求出，得到函數(shù)解析式進(jìn)而求解即可.【詳解】由函數(shù)圖像可知.設(shè)函數(shù)的最小正周期為，則，又因?yàn)?，由，解得，又由圖可知函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則，所以，解得，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以，故，故答案為：16.求_______【答案】【解析】【分析】將切化弦，利用兩角和差余弦公式可將原式分子化成一個(gè)三角函數(shù)，再利用二倍角公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求得結(jié)果. 【詳解】.故答案為：.四、解答題：本題共6小題．共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知，且向量與不共線.（1）若與的夾角為，求；（2）若與的夾角為且向量與的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）由數(shù)量積定義可求得，展開代入即可求得結(jié)果；（2）由向量與的夾角的銳角，可得且不同向共線，展開解k即可.【小問(wèn)1詳解】與的夾角為，，.【小問(wèn)2詳解】與的夾角為，，向量與的夾角為銳角，，且不能同向共線， ，，解得且，即或，實(shí)數(shù)k的取值范圍是18.已知函數(shù)的最小正周期為；（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間、對(duì)稱軸及對(duì)稱中心．【答案】（1）（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，對(duì)稱軸為，對(duì)稱中心為．【解析】【分析】（1）由誘導(dǎo)公式與輔助角公式可將化為，后由周期計(jì)算公式可得解析式；（2）由（1）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間、對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心，利用整體代換可得答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樽钚≌芷跒椋浴唷嗪瘮?shù)的解析式為 【小問(wèn)2詳解】令，得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．令，得．∴函數(shù)的對(duì)稱軸為．令，得．∴函數(shù)的對(duì)稱中心為．19.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為5，（1）求常數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，求使成立的x的取值集合.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積及三角恒等變換化簡(jiǎn)，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求；（2）由（1）求得，根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可解不等式.【小問(wèn)1詳解】，，，，∴函數(shù)的最大值為，，， 【小問(wèn)2詳解】由（1）得，由得，∴解得：成立的x的取值集合是．20.如圖，一個(gè)半徑為4m筒車按逆時(shí)針?lè)较蛎糠洲D(zhuǎn)2圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2m.設(shè)筒車上的某個(gè)盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負(fù)數(shù)），若以盛水筒P剛浮出水面時(shí)開始計(jì)算時(shí)間.（1）求d與時(shí)間t（單位：s）之間函數(shù)關(guān)系（2）在（1）的條件下令，的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)變縮小為原來(lái)的得到函數(shù)，畫出在上的圖象【答案】（1）；（2）圖象見解析【解析】【分析】（1）由最大值和最小值及周期求出值，再利用特殊點(diǎn)求出，即可得函數(shù)的關(guān)系式； （2）先通過(guò)三角函數(shù)圖象變換求出解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)五點(diǎn)作圖的特點(diǎn)列表、描點(diǎn)、連線即可得大致圖象.【小問(wèn)1詳解】由題意，所以，，因?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较蛎糠洲D(zhuǎn)2圈，所以,因?yàn)闀r(shí)，，所以，即，又，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）知，所以的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，縱坐標(biāo)變縮小為原來(lái)的得到函數(shù)，列表如下x0100描點(diǎn)連線，圖象如圖. 21.已知，設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，分別求函數(shù)取得最大值和最小值時(shí)的值；（2）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別是且，，求的值．【答案】（1）時(shí)最大值0；時(shí)最小值；（2）或．【解析】【分析】（1）應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，二倍角、輔助角公式化簡(jiǎn)得，由正弦型函數(shù)的性質(zhì)求的最值；（2）由已知及三角形內(nèi)角性質(zhì)得，法一：應(yīng)用余弦定理列關(guān)于的方程求解即可；法二：應(yīng)用正弦定理求得或，分別求出對(duì)應(yīng)的值即可.【小問(wèn)1詳解】由題知：，，則，故，∴當(dāng)，即，得時(shí)取得最大值0，當(dāng)，即，得時(shí)取得最小值．【小問(wèn)2詳解】由，即，又，則．法一：由余弦定理A得：，解得：或．法二：由正弦定理有，則或， 當(dāng)時(shí)，，由勾股定理有；當(dāng)時(shí)，，則；綜上所解：或．22.在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.（1）求A；（2）在①，②，③這三個(gè)條件中，選出兩個(gè)使唯一確定的條件補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并解答問(wèn)題，若________，________，求的面積.【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）用邊化角和三角形內(nèi)角和知識(shí)化簡(jiǎn)可得，再由，即可求A；（2）方案一：選條件①和②，先用正弦定理求，再由余弦定理求，用三角形面積公式即可求解；方案二：選條件①和③，用余弦定理求出，判斷出三角形形狀，即可求面積．【詳解】（1）∵，又由正弦定理得，又，∴，即整理得，即，又，∴；（2）方案一：選條件①和②，由正弦定理，得由余弦定理，得解得，所以的面.方案二：選條件①和③， 由余弦定理，得，即，解得．∴，∴，為直角三角形，所以的面積．【點(diǎn)睛】本題主要考查正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積公式，屬于常規(guī)題.