陜西省西安中學2023-2024學年高一上學期期中數(shù)學 Word版含解析.docx

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西安中學2023—2024學年度高一第一學期期中考試數(shù)學試題（時間：120分鐘滿分：100分）一、選擇題（本題共8小題，每小題3.5分，共28分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.集合的真子集的個數(shù)是（）A.3B.6C.7D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，結合真子集的個數(shù)的計算方法，即可求解.【詳解】由集合，所以集合的真子集的個數(shù)為.故選：C.2.設，則“”是“”的（）.A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運算性質，結合充分性、必要性的定義進行判斷即可.【詳解】由且且，故選：A．3.已知集合，，且，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出，再根據(jù)條件，即可求出結果.【詳解】因為，所以， 又，，所以，得到，故選：A.4.已知，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由對數(shù)公式把化簡，然后代入即可求解.【詳解】由題意可得，，所以，所以.故選：B.5.三個數(shù)，，大小的順序是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由為增函數(shù)，則，由為增函數(shù)，，所以.故選：A6.已知，則（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】B【解析】 【分析】先取倒數(shù)，再應用對數(shù)運算律計算即可.【詳解】因為,所以，.故選:B.7.已知存在；對任意，若或為假，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】先求出，是真命題的的范圍，由于或為假命題，得到，應該全假，即，的否定為真，列出方程組，求出的范圍．【詳解】解：若真則；若真，即恒成立，所以△，解得．因為或為假命題，所以，全假．所以有，所以．故選：B．【點睛】復合命題的真假與構成其簡單命題的真假的關系是解決復合命題真假的依據(jù)：且的真假，當，全真則真，有假則假；或的真假，，中有真則真，全假則假；非的真假與的真假相反．8.一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（）AB. C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式與對應方程的關系，利用根與系數(shù)的關系，求出b、c與a的關系，代入所求不等式，求出解集即可．【詳解】一元二次不等式的解集為，∴，且2，3是方程的兩個實數(shù)根，∴，解得，其中；∴不等式化為，即，解得或，因此所求不等式的解集為．故選：D．二、選擇題（本題共4小題，每小題4分，共16分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對得4分，有選錯的得0分，部分選對得2分.）9.若函數(shù)的圖像經(jīng)過點，則（）A.B.在上單調(diào)遞減C.的最大值為81D.的最小值為【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)經(jīng)過點,可求出,再應用函數(shù)性質每個選項分別判斷即可.【詳解】對于:由題意得，得,故正確;對于:令函數(shù)，則該函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增． 因為是減函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故錯誤;對于:因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,所以,無最小值．故正確,錯誤;故選:.10.若，那么下列不等式一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用不等式的性質即可討論即可求解.【詳解】對于A,若則,故A不一定成立;對于B,因為,所以,所以,所以,所以B一定成立;對于C,當,所以C不一定成立;對于D,因為,所以,所以D一定成立.故選:BD.11.下面關于函數(shù)的性質，說法正確的是（）A.的定義域為B.的值域為C.在定義域上單調(diào)遞減D.點是圖象的對稱中心【答案】AD【解析】【分析】由，可知由向右平移個單位，再向上平移個單位得到，根據(jù)的性質得到的性質，即可判斷；【詳解】解： 由向右平移個單位，再向上平移個單位得到，因為關于對稱，所以關于對稱，故D正確；函數(shù)的定義域為，值域為，故A正確，B錯誤；函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故C錯誤；故選：AD12.已知正數(shù)滿足，則（）A.的最小值為B.的最大值為C.的最小值為D.的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式的性質，逐個選項進行判斷即可，注意等號成立的條件.【詳解】對于A，，所以，，當且僅當時等號成立，但此時，，與題意不符，故A錯誤；對于B，，解得，當且僅當，即時，等號成立，故B正確；對于C，，當且僅當，即時，等號成立，故C正確；對于D，由，可得，所以，，當時，此時，，所以，的最小值為，故D正確.故選：BCD三、填空題（本題共4小題，每小題4分，共16分.把答案填在答題卡上的相應位置.）13.若，則的值為__________. 【答案】14【解析】【分析】兩邊平方求出答案.【詳解】，兩邊平方得，即，解得.故答案為：1414.某城市出粗車按如下方法收費：起步價6元，可行（含），后到（含）每多走（不足按計）加價0.5元，后每多走加價0.8元，某人坐出租車走了，他應交費____________元．【答案】11.9【解析】【分析】結合已知條件，利用分段函數(shù)的概念直接計算即可.【詳解】結合已知條件可知，某人坐出租車走了所交費為（元）.故答案為：11.9.15.高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：對于實數(shù)，符號表示不超過的最大整數(shù)，例如，，定義函數(shù)，則函數(shù)的值域為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，可得函數(shù)的圖象，即可的解.【詳解】由高斯函數(shù)的定義可得：當時，，則，當時，，則，當時，，則，當時，，則，易見該函數(shù)具有周期性，繪制函數(shù)圖象如圖所示， 由圖象知的值域為.故答案為：16.已知關于的不等式有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為__________.（結果用區(qū)間表示）【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，分，以及討論，結合條件列出不等式，代入計算，即可得到結果.【詳解】當時，即，此時不等式為，解得，則不等式有無數(shù)個整數(shù)解，不符合題意；當時，即，則函數(shù)的開口向下，則不等式的整數(shù)解有無數(shù)個，不符合題意；當時，即，使得不等式有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則，且函數(shù)，，所以0是其中的一個整數(shù)解，則另一個整數(shù)解為或，而，所以不是另一個整數(shù)解，所以另一個整數(shù)解是，則，解得；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共40分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.（1）計算：； （2）已知，，用a，b表示【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)冪的運算法則，準確運算，即可求解；（2）根據(jù)對數(shù)的運算法和換底公式，準確運算，即可求解.【詳解】解：（1）由指數(shù)冪運算性質，可得：原式（2）由對數(shù)的運算性質，可得：.18.已知集合，，.（1）若使冪函數(shù)在上為減函數(shù)，求集合；（2）已知是的必要不充分條件，求的取值范圍.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的性質，求得，再由不等式的解法，求得集合，結合集合的運算法則，即可求解；（2）根據(jù)題意，求得集合，結合題意，轉化為是的真子集，列出不等式組，即可求解.【小問1詳解】解：由冪函數(shù)，可得，即，解得或，當時，可得，此時函數(shù)在上為減函數(shù)，符合題意；當時，可得，此時函數(shù)在上為增函數(shù)，不符合題意，所以， 可得集合，則或，又因為，所以或.【小問2詳解】解：由集合，，因為是的必要不充分條件，可得集合是的真子集，則滿足且等號不能同時成立，解得，即實數(shù)的取值范圍為.19.已知是定義在R上的奇函數(shù)，且時，（1）求函數(shù)的解析式.（2）畫出函數(shù)的圖象，并寫出函數(shù)單調(diào)區(qū)間及值域.【答案】（1）（2）單調(diào)增區(qū)間為（－∞，0），（0，＋∞）；值域為{y|10時，f（x）＝－f（－x）＝－（1＋2－x）＝－1－，所以f（x）＝（2）函數(shù)f（x）的圖象為 根據(jù)f（x）的圖象知：f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（－∞，0），（0，＋∞）；值域為{y|1