重慶市黔江中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期10月考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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重慶市黔江中學(xué)校2023-2024年度高二上10月考試數(shù)學(xué)試卷時(shí)間：120分鐘一?選擇題（本題共8道小題，每小題5分，共40分1.已知兩直線方程分別為l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，則a＝（）A2B.－2C.D.【答案】B【解析】【分析】直接利用直線垂直公式計(jì)算得到答案.【詳解】因?yàn)閘1⊥l2，所以k1k2＝－1，即-＝1，解得a＝－2.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線垂直計(jì)算參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.2.平面的法向量為，平面的法向量為，，則（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，由兩個(gè)平面法向量平行列式得解.【詳解】因?yàn)槠矫娴姆ㄏ蛄繛椋矫娴姆ㄏ蛄繛?，且，所以，解?故選：C3.在空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】寫出關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，再計(jì)算的值． 【詳解】空間直角坐標(biāo)系中，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，所以．故選：B．4.已知直線的斜率為,在軸上的截距為,則直線的方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】直線在軸上的截距為，點(diǎn)在直線上，又直線的斜率為,根據(jù)點(diǎn)斜式方程得即.故選：B.5.直線的傾斜角的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用直線方程求出直線的斜率，通過斜率的范圍，得到傾斜角的正切值的范圍，求出α的范圍．【詳解】設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，則，∴，即∴傾斜角的取值范圍是．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，考查學(xué)生計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 6.已知，過點(diǎn)的直線與線段不相交，則直線斜率的取值范圍是（）A.B.C.或D.或【答案】A【解析】【分析】求出直線的斜率，再結(jié)合圖形即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以直線的斜率分別為，由圖形知，當(dāng)或，即或時(shí)，直線l與線段AB相交，所以直線與線段不相交時(shí)，直線l斜率k的取值范圍為.故選：A.7.已知點(diǎn),直線與軸相交于點(diǎn),則△中邊上的高所在直線的方程是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令得點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)和斜率公式,得直線的斜率,結(jié)合點(diǎn)斜式求解即可.【詳解】直線與軸相交于點(diǎn),令得由題知且直線的斜率得易知點(diǎn)在直線上,根據(jù)點(diǎn)斜式得即. 故選：C.8.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面無公共點(diǎn)，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取的中點(diǎn)，連接、、，根據(jù)題意判斷平面平面，得出是點(diǎn)在底面內(nèi)的軌跡，計(jì)算的值即可．【詳解】取的中點(diǎn)，連接、、，如圖所示：由分別是棱的中點(diǎn)，得，平面，平面，則平面，又且，于是為平行四邊形，則，平面，平面，則平面，又，平面，因此平面平面，由與平面無公共點(diǎn)，平面，則平面，又點(diǎn)為底面內(nèi)（包括邊界）的一動(dòng)點(diǎn)，平面平面，于是是點(diǎn)在底面內(nèi)的軌跡，又正方體的棱長(zhǎng)為，則，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為. 故選：B二?多選題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）9.在四面體中，，則以下選項(xiàng)正確的有（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)空間向量坐標(biāo)表示公式、空間向量模的坐標(biāo)表示公式、空間向量垂直的性質(zhì)和數(shù)量積坐標(biāo)公式逐一判斷即可.【詳解】A：因?yàn)?，所以本選項(xiàng)正確；B：因?yàn)?，，所以有，，因此本選項(xiàng)正確；C：因?yàn)?，，所以有，因此本選項(xiàng)不正確；D：因?yàn)?，，所以，因此本選項(xiàng)不正確，故選：AB10.下列命題中，正確的有（）A.空間任意向量都是共面向量B.已知，，，四點(diǎn)共面，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若，則C.在四面體中，若，，則D.若向量是空間一組基底，則也是空間的一組基底【答案】ACD 【解析】【分析】利用空間向量共面定理及數(shù)量積運(yùn)算，逐一分析判斷即可．【詳解】解：對(duì)于，空間任意向量都是共面向量，所以A正確對(duì)于B，已知，，，四點(diǎn)共面，對(duì)空間任意一點(diǎn)，若則，解得，所以B錯(cuò)誤對(duì)于C，在四面體中，若，，則，所以C正確對(duì)于D，因?yàn)橄蛄渴强臻g一組基底，則對(duì)于空間任一向量，都存在實(shí)數(shù)，，，使得，即，所以也是空間的一組基底，所以D正確．故選：ACD．11.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)分別是棱，的中點(diǎn)，則（）A.異面直線與所成角的余弦值為B.C.四面體的外接球體積為D.平面截正方體所得的截面是平面五邊形【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用坐標(biāo)法可判斷AB；利用正方體的結(jié)構(gòu)特征求出球半徑判斷C；作出截面判斷D.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則， 則，，異面直線與的夾角余弦，A錯(cuò)誤；顯然，，，則，B正確；顯然四面體的外接球即為正方體的外接球，外接球半徑，球體積，C正確；延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，連接交于，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，連接交于，則五邊形為平面截正方體所得的截面，D正確.故選：BCD12.在正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，平面 B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，△PBD的面積為定值D.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，確定點(diǎn)在面對(duì)角線上，通過證明面面平行，得線面平行；對(duì)于B選項(xiàng)，確定點(diǎn)在棱上，由等體積法，說明三棱錐的體積為定值；對(duì)于C選項(xiàng)，確定點(diǎn)在棱上，的底不變，高隨點(diǎn)的變化而變化；對(duì)于D選項(xiàng)，通過平移直線，找到異面直線與所成的角，在正中，確定其范圍.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，又平面，所以平面，在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖，點(diǎn)棱上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積為定值，B正確； 對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，過作于點(diǎn)，則，其大小隨著的變化而變化，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，因?yàn)榍?所以四邊形為平行四邊形，所以，所以或其補(bǔ)角是直線與所成角，在正中，的取值范圍為，D正確.故選：ABD.三?填空題（本題共4道小題，每小題5分，共20分）13.向量，向量在向量上的投影向量坐標(biāo)是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的概念計(jì)算即可. 【詳解】向量在向量上的投影向量坐標(biāo)為：.故答案為：.14.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程______．【答案】或【解析】【分析】直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，有兩種情況，斜率為，或直線過原點(diǎn)，結(jié)合直線過點(diǎn)即可求解，有兩種情況【詳解】因?yàn)橹本€與坐標(biāo)軸的截距相等，則直線的斜率為，或直線過原點(diǎn)，當(dāng)直線斜率為時(shí)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)斜式，直線方程為：，化簡(jiǎn)得：；當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，，所以直線方程為故答案為：或15.四棱柱的底面是正方形，底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)是3，，則對(duì)角線的長(zhǎng)為__________.【答案】【解析】【分析】選作為基底，表示出，再利用，結(jié)合空間向量數(shù)量積的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】選作為一組基底，因?yàn)?，所以=. 故答案為：.16.已知是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長(zhǎng)是2，則的最大值是__________，最小值是__________.【答案】①.②.【解析】【分析】先利用正方體的性質(zhì)求得的取值范圍，再利用空間向量的數(shù)量積即可得解.【詳解】設(shè)正方體內(nèi)切球球心為S，是該內(nèi)切球的任意一條直徑，易知該內(nèi)切球的半徑為1，當(dāng)點(diǎn)在正方體的面的中心時(shí)，取得最小值1；當(dāng)點(diǎn)在正方體的頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值，所以；故，所以的最大值是，最小值是.故答案：；.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是利用數(shù)量積運(yùn)算，將轉(zhuǎn)化為，從而得解.四?解答題（17題10分，18-22題每題12分，總分70分）17.（1）若直線與直線平行，求的值；（2）若直線與直線垂直，求的值. 【答案】（1）或；（2）或【解析】【分析】（1）由兩直線平行的性質(zhì)計(jì)算即可得，并排除重合的情況；（2）由兩直線垂直的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】（1）兩直線平行，則，即，故或，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為與，符合要求，當(dāng)時(shí)，兩直線分別為與，符合要求，故或；（2）兩直線垂直，則，即，故或.18.（1）已知斜率為負(fù)的直線過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的面積是54，求直線的方程；（2）在中，已知邊上的中線所在直線的方程依次是與，求所在直線方程.【答案】（1），或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線的方程為，根據(jù)點(diǎn)在直線上，且與兩坐標(biāo)軸圍成的面積是54，求出可得答案；（2）設(shè)，根據(jù)的中點(diǎn)在直線上、點(diǎn)在直線上求出點(diǎn)坐標(biāo)，的中點(diǎn)在直線上、點(diǎn)在直線上求出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式方程求解即可.【詳解】（1）由斜率為負(fù)的直線過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，可得，①又因?yàn)橹本€與兩坐標(biāo)軸圍成的面積是54，所以，②，由①②解得，或， 所以直線的方程為，或，即，或；（2）設(shè)，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)為，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，可得，，解得，，即，所以所在直線方程為，即.19.在正四棱柱中，為的中點(diǎn)，.（1）點(diǎn)滿足，求證：四點(diǎn)共面；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】19.證明見解析20. 【解析】【分析】（1）連接，，先證明是平行四邊形，進(jìn)而可得N，M，B，四點(diǎn)共面.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求線面角正弦值.【小問1詳解】如圖：連接NM，，由，知，且，所以，且，即四邊形為平行四邊形，所以，．又因?yàn)?，，所以，，故N，M，B，四點(diǎn)共面．【小問2詳解】如圖：因?yàn)檎睦庵?，，以兩兩相互垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系， 由，則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得．記直線CD與平面所成角為，則．20.已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求的重心到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，連接交于點(diǎn)，連接，由線面平行的判定定理即可證明；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】 連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑危瑒t為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，則為的中位線，則，又平面，平面，則平面.【小問2詳解】因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且邊長(zhǎng)為2，，則，，即，又，為中點(diǎn)，則，則，又，，則，則，又，平面， 則平面，則以為原點(diǎn)，分別為軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)的重心為，則，又，設(shè)平面的法向量為，則，解得，取，則，則，又，則點(diǎn)到平面的距離.21.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是矩形，△SAD是等邊三角形，平面平面ABCD，AB＝1，P為棱AD的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．（1）若E為棱SA的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱SB的中點(diǎn)，求證：平面平面SCD．（2）在棱SA上是否存在點(diǎn)M，使得平面PMB與平面SAD所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)M的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在點(diǎn)M，位于AS的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)處 【解析】【分析】（1）由題可得EPSD，EFCD，即證；（2）由題可得SP⊥平面ABCD，結(jié)合條件可得AD的長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)＝λ，利用條件列方程，即可解得.【小問1詳解】因?yàn)镋、F分別是SA、SB的中點(diǎn)，所以EFAB，在矩形ABCD中，ABCD，所以EFCD，CD平面SCD，EF平面SCD，∴EF平面SCD，又因?yàn)镋、P分別是SA、AD的中點(diǎn)，所以EPSD，SD平面SCD，EP平面SCD，∴EP平面SCD，又EF∩EP＝E，EF，EP平面PEF，所以平面PEF平面SCD．【小問2詳解】假設(shè)在棱SA上存在點(diǎn)M滿足題意，在等邊三角形SAD中，P為AD的中點(diǎn)，所以，又平面平面ABCD，平面平面ABCD＝AD，平面SAD，所以平面ABCD，所以SP是四棱錐的高．設(shè)，則，，所以，所以m＝2．以點(diǎn)P為原點(diǎn)，，方向分別為x，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，． 設(shè)，所以．設(shè)平面PMB的一個(gè)法向量為，則，所以?。字矫鍿AD的一個(gè)法向量為，所以，因?yàn)?，所以，所以存在點(diǎn)M，位于AS的靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)處滿足題意．22.正方體中，，點(diǎn)在線段上.（1）當(dāng)時(shí)，求異面直線與所成角的取值范圍；（2）已知線段的中點(diǎn)是，當(dāng)時(shí)，求三棱錐的體積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意引入?yún)?shù) ，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將問題轉(zhuǎn)換為兩直線方向向量夾角的余弦的范圍，然后結(jié)合異面直線角的范圍即可得解.（2）引入?yún)?shù)，利用等體積法轉(zhuǎn)換為求的體積，只需求到平面的距離以及即可得表達(dá)式，從而進(jìn)一步得解.【小問1詳解】由題意正方體的三條棱長(zhǎng)兩兩互相垂直，故以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，由題意不妨設(shè)，所以，所以，設(shè)異面直線與所成角為，所以異面直線與所成角的余弦值為，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，所以異面直線與所成角的取值范圍為.【小問2詳解】 如圖所示：由題意線段的中點(diǎn)是，，不妨設(shè)，所以，取平面的一個(gè)法向量為，所以點(diǎn)到平面的距離為，而，所以三棱錐的體積為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積取最小值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一問關(guān)鍵是引入適當(dāng)參數(shù)將問題先轉(zhuǎn)換為求方向向量夾角的余弦，第二問的關(guān)鍵是等體積轉(zhuǎn)換法，這樣大大減少了計(jì)算量.