安徽省蚌埠市鐵路中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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蚌埠鐵中2023-2024學(xué)年高二第一學(xué)期期中檢測(cè)試卷數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.若直線l的一個(gè)方向向量為，求直線的傾斜角（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出直線斜率，進(jìn)而求出直線傾斜角即得.【詳解】直線l的一個(gè)方向向量為，則直線斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：C2.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是平行四邊形，已知，，，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量加法法則直接求解．【詳解】連接BD，如圖， 則故選：A．3.已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對(duì)稱列式求解.【詳解】設(shè),則，選D.【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問題，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.4.在一平面直角坐標(biāo)系中，已知，，現(xiàn)沿軸將坐標(biāo)平面折成60°二面角，則折疊后，兩點(diǎn)間的距離為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】平面直角坐標(biāo)系中已知，，現(xiàn)沿軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角后，通過向量的數(shù)量積轉(zhuǎn)化求解距離即可．【詳解】解：平面直角坐標(biāo)系中已知，，沿軸將坐標(biāo)平面折成60°的二面角后，作AC⊥x軸，交x軸于C點(diǎn)，作BD⊥x軸，交x軸于D點(diǎn)，則，的夾角為120° ∴，,即折疊后，兩點(diǎn)間的距離為.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用．5.如果實(shí)數(shù)，滿足，則的范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，求的范圍救等價(jià)于求同時(shí)經(jīng)過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn)的直線中斜率的范圍，結(jié)合圖象，易得取值范圍.【詳解】解：設(shè)，則表示經(jīng)過原點(diǎn)的直線，為直線的斜率.如果實(shí)數(shù)，滿足和，即直線同時(shí)經(jīng)過原點(diǎn)和圓上的點(diǎn).其中圓心，半徑從圖中可知，斜率取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的直線斜率為正且剛好與圓相切，設(shè)此時(shí)切點(diǎn)為 則直線的斜率就是其傾斜角的正切值，易得，，可由勾股定理求得，于是可得到為的最大值；同理，的最小值為－1.則的范圍是.故選：B.6.拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.2D.【答案】A【解析】【分析】先求得拋物線的焦點(diǎn)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列方程，求得，由此求得雙曲線的離心率.【詳解】拋物線即的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，則，則雙曲線的離心率為.故選：A7.直線與圓的位置關(guān)系為（　?。〢.相離B.相切C.相交或相切D.相交【答案】C 【解析】【分析】利用幾何法，判斷圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系即可．【詳解】由已知得，圓的圓心為（0，0），半徑為，所以圓心到直線的距離為.因，所以所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交或相切；故選：C．8.在正方體中，點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則與所成角的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，利用，即可得出答案．【詳解】設(shè)與所成角為，如圖所示，不妨設(shè)，則，，，，，，． 設(shè)，則，．所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與所成角為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，綜上，．故選：B．二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項(xiàng)符合題目要求）9.下列說法正確的有（）A.若直線經(jīng)過第一、二、四象限，則在第二象限B.直線過定點(diǎn)C.過點(diǎn)斜率為的點(diǎn)斜式方程為D.斜率為，在y軸截距為3的直線方程為．【答案】ABC【解析】【分析】由直線過一、二、四象限，得到斜率，截距，可判定A正確；由把直線方程化簡(jiǎn)為，得到點(diǎn)都滿足方程，可判定B正確；由點(diǎn)斜式方程，可判定C正確；由斜截式直線方程可判定D錯(cuò)誤．【詳解】對(duì)于A中，由直線過一、二、四象限，所以直線的斜率，截距，故點(diǎn)在第二象限，所以A正確； 對(duì)于B中，由直線方程，整理得，所以無(wú)論a取何值點(diǎn)都滿足方程，所以B正確；對(duì)于C中，由點(diǎn)斜式方程，可知過點(diǎn)斜率為的點(diǎn)斜式方程為，所以C正確；由斜截式直線方程得到斜率為，在y軸上的截距為3的直線方程為，所以D錯(cuò)誤．故選：ABC．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線的方程的形式，以及直線方程的應(yīng)用，其中解答中熟記直線的點(diǎn)斜式的概念及形式，以及直線的斜率與截距的概念是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.10.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是（）A.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則直線B.已知為空間的一個(gè)基底，若，則也是空間的基底C.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)，有，則，，，四點(diǎn)共面D.兩個(gè)非零向量與任何一個(gè)向量都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則這兩個(gè)向量共線【答案】BCD【解析】【分析】計(jì)算得到，或，A錯(cuò)誤，若共面，則共面，不成立，故B正確，化簡(jiǎn)得到，C正確，若這兩個(gè)向量不共線，則存在向量與其構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D正確，得到答案.【詳解】，故，故或，A錯(cuò)誤；若共面，設(shè)，則共面，不成立，故也是空間的基底，B正確；，則，即，故，，，四點(diǎn)共面，C正確；若這兩個(gè)向量不共線，則存在向量與其構(gòu)成空間的一個(gè)基底，故D正確. 故選：BCD.11.已知平面的法向量為，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，若點(diǎn)到平面的距離為4，則的值為（）A.2B.1C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用向量法可知，點(diǎn)到平面的距離公式為，代入相關(guān)數(shù)值，通過解方程即可求解.【詳解】解：由向量法可知，點(diǎn)到平面的距離公式為，又，，由點(diǎn)到平面距離為4，有解得或故選：AD【點(diǎn)睛】本題考查的是點(diǎn)面距離的計(jì)算問題，核心是會(huì)利用向量法中點(diǎn)到平面的距離公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，且與橢圓有公共的焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P為C上一動(dòng)點(diǎn)，則（）A.雙曲線C的離心率為B.C.當(dāng)P為C與的交點(diǎn)時(shí)，D.的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意中的點(diǎn)求出雙曲線方程，結(jié)合離心率的定義即可判斷A ；根據(jù)雙曲線的漸近線，結(jié)合圖形即可判斷B；根據(jù)橢圓與雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理計(jì)算即可判斷C；由兩點(diǎn)距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】A：由題意，，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)代入得，所以雙曲線方程為，得其離心率為，故A正確；B：由A選項(xiàng)的分析知，雙曲線的漸近線方程為，如圖，，所以，得，故B錯(cuò)誤；C：當(dāng)P為雙曲線和橢圓在第一象限的交點(diǎn)時(shí)，由橢圓和雙曲線的定義知，，解得，又，在中，由余弦定理得，故C正確；D：設(shè)，則，所以，當(dāng)時(shí)，，故D正確.故選：ACD. 三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.若空間向量和的夾角為銳角，則的取值范圍是________【答案】且【解析】【分析】結(jié)合向量夾角公式、向量共線列不等式來(lái)求得的取值范圍.【詳解】依題意且.故答案為：且14.已知，，直線：，：，且，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩條直線的一般式方程及垂直關(guān)系，求出，滿足的條件，再由基本不等式求出最小值即可．【詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為．故答案為：．15.直線分別與軸，軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍______．【答案】【解析】【分析】由題意求得所以，，從而求得，再根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可求得點(diǎn)到直線距離，再結(jié)合面積公式即可求解. 【詳解】因?yàn)橹本€分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，所以，，因此．因?yàn)閳A的圓心為，半徑，設(shè)圓心到直線的距離為，則，因此直線與圓相離．又因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以點(diǎn)到直線距離的最小值為，最大值為，即，又因面積為，所以面積的取值范圍為．故答案為：16.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是_________【答案】或【解析】【分析】設(shè)，依題意可確定的外心為，可得出一個(gè)關(guān)系式，求出重心坐標(biāo)，代入歐拉直線方程，又可得出另一個(gè)關(guān)系式，解方程組，即可得出結(jié)論. 【詳解】設(shè)的垂直平分線為，的外心為歐拉線方程為與直線的交點(diǎn)為，∴①由，，重心為，代入歐拉線方程，得②由①②可得或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查圓的性質(zhì)和三角形的外心與重心，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于較難題.四、解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知圓圓心為，且經(jīng)過點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)條件求出圓的半徑,再結(jié)合圓心坐標(biāo)求出標(biāo)準(zhǔn)方程即可;（2）求出圓心到直線的距離,再由垂徑定理求出.【小問1詳解】因?yàn)閳A的圓心為,且經(jīng)過點(diǎn),所以圓的半徑,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】由（1）知，圓的圓心為，半徑，所以圓心到直線的距離, 所以由垂徑定理，得.18.已知的頂點(diǎn)，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積．【答案】（1）的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為（2）【解析】【分析】（1）設(shè)，，由題意列方程求解即可得出答案.（2）先求出和直線所在的方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式求出邊上的高，即可求出的面積．【小問1詳解】設(shè)，因?yàn)檫吷系闹芯€所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，所以，解得，即的坐標(biāo)為．設(shè)，因?yàn)檫吷系闹芯€所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，所以，解得，即的坐標(biāo)為．【小問2詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)檫吽谥本€的方程為，即， 所以點(diǎn)到邊的距離為，即邊上的高為，故的面積為．19.已知直三棱柱，側(cè)面是正方形，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，．（1）求異面直線與所成的角；（2）求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用直棱柱的結(jié)構(gòu)特征?，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用直線與直線所成角的向量求法，計(jì)算得結(jié)論；（2）分別求出兩個(gè)平面的法向量，利用平面與平面所成角的向量求法，即可得到結(jié)果．【小問1詳解】因?yàn)閭?cè)面是正方形，，，所以，因?yàn)槿庵比庵?，所以面，而，平面，因此，，所以，，兩兩垂直．以為坐?biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖： 因此，，，，而點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)樵诰€段上，所以設(shè)，因此，因?yàn)?，所以解得，因此，即，因?yàn)?，所以，因此異面直線與所成的角為.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，而，因此由得，取得，，所以是平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，，，因此由得，取得，， 所以是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面夾角為，則，因此，所以平面與平面夾角的余弦值為．20.已知雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，實(shí)軸長(zhǎng)為4，（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若雙曲線上存在一點(diǎn)使得，求的面積．【答案】（1）；（2）1．【解析】【分析】（1）由題可知的值即可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由雙曲線的定義及面積公式即可求出.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由條件知，，∴，∴雙曲線的方程為．（2）由雙曲線的定義可知，．∵，∴，即∴，∴的面積．21.在四棱錐中，底面為直角梯形，，，側(cè)面底面，，. （1）若的中點(diǎn)為，求證：平面；（2）若與底面所成的角為，求與平面的所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接.先證明四邊形是平行四邊形，即可得出，然后即可證明線面平行；（2）先證明平面，即可得出.然后建立空間直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)以及向量的坐標(biāo)，求出平面的法向量，根據(jù)向量求得與平面的所成角的正弦值，進(jìn)而求得余弦值.【小問1詳解】如圖1，取的中點(diǎn)，連接，分別為的中點(diǎn)，，且.且，且，四邊形是平行四邊形，.平面，平面，平面. 【小問2詳解】若是中點(diǎn)，取中點(diǎn)為，連結(jié).分別是的中點(diǎn)，.，.由底面為直角梯形且，，.，.由側(cè)面底面，平面平面，面，平面，在平面的投影在直線上.又與底面所成的角為，與底面所成角的平面角，為等邊三角形，.以為原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸，如圖2建空間直角坐標(biāo)系，則，，，，則，，.設(shè)平面PBD的法向量， 則，即，取，得，.設(shè)與平面的所成角為，則.，，與平面的夾角的余弦值為.22.已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，斜率為1的直線l經(jīng)過F，且與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，．（1）求拋物線C的方程；（2）過拋物線C上一點(diǎn)作兩條互相垂直的直線與拋物線C相交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)P），證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件，得到直線l方程為，設(shè)，聯(lián)立拋物線方程，根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)求得p，即得答案；（2）求得a的值，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得根與系數(shù)的關(guān)系，利用，得到或，代入直線方程，分離參數(shù)，求得定點(diǎn)坐標(biāo)，證明結(jié)論.【小問1詳解】 設(shè)，由題意知，則直線l方程為，代入，得，，∴，由拋物線定義，知，，∴，∴，∴拋物線的方程為.【小問2詳解】證明：在拋物線上，，由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，則，且，又，，由題意，可知,,故，故，整理得，即，或，即或．若，則，此時(shí)直線過定點(diǎn)，不合題意；若，則， 此時(shí)直線過定點(diǎn)，符合題意，綜上，直線過異于P點(diǎn)的定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：直線和拋物線的位置關(guān)系中，證明直線過定點(diǎn)問題，一般是設(shè)出直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，求得參數(shù)之間的關(guān)系式，再對(duì)直線分離參數(shù)，求得定點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而證明直線過定點(diǎn).