安徽省皖豫聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

《安徽省皖豫聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫(kù)。

2023—2024學(xué)年大聯(lián)考安徽高二（上）期中考試皖豫名校聯(lián)盟&安徽卓越縣中聯(lián)盟數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知A，B，C，D是空間中互不相同的四個(gè)點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】運(yùn)用向量加法法則、減法法則計(jì)算即可.詳解】.故選：B.2.直線的傾斜角是（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】先求解出直線的斜率，然后根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系求解出傾斜角的大小.【詳解】因?yàn)橹本€方程為，所以斜率，設(shè)傾斜角為，所以，所以，故選：C.3.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為圓心的圓的一般方程為（）A.B.CD.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓的半徑，結(jié)合圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程之間的轉(zhuǎn)化，即可求解. 【詳解】由題意得，圓的半徑，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓的一般方程為．故選：A.4.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線平行的條件和充分必要條件的概念可判斷結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行的充要條件是且，解得或．所以由充分必要條件的概念判斷可知：“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件，故選：A5.已知向量，若，且，則的值為（）A.0B.4C.0或4D.1或4【答案】C【解析】【分析】由向量的模求出的值，再由向量垂直求出的值，最后求出即可.【詳解】因?yàn)榍?，所以，解得，又因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)解得，此時(shí)，當(dāng)時(shí)解得，此時(shí)，故選：C6.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，且焦距為4，點(diǎn)在上，若 的最大值為25，則的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由橢圓定義利用不等式可知當(dāng)時(shí)，取得最大值，可得，由焦距為4可知，即可得離心率.【詳解】由橢圓定義可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．由題可知的半焦距，所以離心率．故選：B7.若直線與曲線有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】作出曲線，它是半圓，直線過(guò)定點(diǎn)，由圖可知四條直線產(chǎn)生臨界條件，兩條過(guò)半圓的兩個(gè)端點(diǎn)，兩條是半圓的切線，求出其斜率后可得結(jié)論．【詳解】直線過(guò)定點(diǎn)，又曲線可化為：，，畫(huà)出直線與曲線圖象如圖所示： 數(shù)形結(jié)合可得直線在，，，處產(chǎn)生臨界條件，設(shè)直線，，，的斜率分別為則設(shè)直線的方程為，圓心到直線的距離為，解得舍去或，要使兩圖象有個(gè)不同交點(diǎn)，則故選：D．8.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)在圓上，則該橢圓的離心率不可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出圓與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)，再分情況討論結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解.【詳解】設(shè)橢圓的半焦距為，中，令，則，令，則或， 故圓與坐標(biāo)軸的公共點(diǎn)為，，，又橢圓的焦點(diǎn)在軸上，①若橢圓的上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為或，即，或，則或，離心率或；②若橢圓的左頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，則，，離心率，綜上所述，該橢圓的離心率為或或.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.過(guò)點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線方程為（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用截距式的求法，討論截距的絕對(duì)值相等的情況，在進(jìn)行截距式假設(shè)時(shí)，分截距為0，截距不為0進(jìn)行假設(shè).【詳解】當(dāng)直線的截距不為0時(shí)，設(shè)直線的截距式方程為，由題可得所以或解得或所以直線方程為或，故A，C正確；當(dāng)直線的截距為0時(shí)，設(shè)直線方程為， 由題可知，故直線方程為，D正確．故選：ACD10.下列結(jié)論中正確的是（）A.若，分別為直線l，m的方向向量，則B.若為直線的方向向量，為平面的法向量，則或C.若，分別為兩個(gè)不同平面，的法向量，則D.若向量是平面的法向量，向量，，則【答案】BD【解析】【分析】由直線的方向向量垂直得直線垂直，由直線的方向向量與平面的法向量垂直得直線與平行的位置關(guān)系，由兩平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量與平面內(nèi)的向量垂直得參數(shù)關(guān)系，從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】，，，直線與不垂直，故A錯(cuò)誤；，或，故B正確；，與不共線，不成立，故C錯(cuò)誤；由題可知即解得，故D正確．故選：BD.11.已知圓與圓，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓的圓心恒在直線上B.若圓經(jīng)過(guò)圓的圓心，則圓的半徑為C.當(dāng)時(shí)，圓與圓有條公切線D.當(dāng)時(shí)，圓與圓的公共弦長(zhǎng)為【答案】BC 【解析】【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，由此即可判斷A；將圓的圓心坐標(biāo)代入圓的方程即可求出參數(shù)，從而可得圓的半徑，由此即可判斷B；判斷此時(shí)兩圓的位置關(guān)系即可判斷C；先求出公共弦方程，然后由圓的弦長(zhǎng)公式計(jì)算判斷D即可.【詳解】，即，所以圓的圓心為，恒在直線上，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤因?yàn)榈膱A心為在圓上，所以，解得，所以的半徑為，故選項(xiàng)B正確；當(dāng)時(shí)，圓：，圓心為，半徑為，此時(shí)圓與圓的圓心距，即大于兩圓半徑和，所以圓與圓外離，圓與圓有條公切線，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時(shí)，圓，圓，兩圓相交，公共弦方程為，圓的圓心到公共弦的距離，所以圓與圓的公共弦長(zhǎng)為，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：BC．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于ABD選項(xiàng)的判斷比較常規(guī)，關(guān)鍵是判斷C時(shí)，只需要判斷兩圓的位置關(guān)系即可.12.法國(guó)數(shù)學(xué)家蒙日在研究圓錐曲線時(shí)發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓，這個(gè)圓稱(chēng)為蒙日?qǐng)A．若矩形的四邊均與橢圓相切，則下列說(shuō)法正確的是（）A.的蒙日?qǐng)A的方程為 B.若為正方形，則的邊長(zhǎng)為C.若圓與的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則D.過(guò)直線上一點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)為直角時(shí)，直線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)已知定義可判斷A項(xiàng)，由正方形的對(duì)角線為的蒙日?qǐng)A的直徑列方程即可判斷B項(xiàng)，由兩圓外切列方程即可判斷C項(xiàng)，由點(diǎn)在直線與橢圓C的蒙日?qǐng)A的交點(diǎn)處，列方程組求交點(diǎn)即可判斷D項(xiàng).【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由題可知的蒙日?qǐng)A的半徑為，則蒙日?qǐng)A的方程為，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，若為正方形，則為的蒙日?qǐng)A的內(nèi)接正方形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，由題可知，解得，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，易知點(diǎn)在圓外部，所以若圓與的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切，所以，解得，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，如圖所示，因?yàn)闉橹苯牵?、是橢圓C的兩條切線，所以在橢圓C的蒙日?qǐng)A上，又因?yàn)樵谥本€：上，所以點(diǎn)在直線與橢圓C的蒙日?qǐng)A的交點(diǎn)處.設(shè)直線與圓交于A，B兩點(diǎn)， 聯(lián)立，可得或，不妨設(shè)，，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A或B重合時(shí)，為直角，且，，所以直線的斜率為或0，故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：ABC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)，在平面內(nèi)，則__________．【答案】6【解析】【分析】根據(jù)法向量定義列式求參即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解得．故答案為?.14.橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離是__________．【答案】##【解析】【分析】由橢圓方程可得右焦點(diǎn)為，代入點(diǎn)到直線距離公式即可得出結(jié)果.【詳解】由題可知橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以右焦點(diǎn)到直線的距離是．故答案為：15.已知是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 __________．【答案】【解析】【分析】由的幾何意義可知其表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)所在直線的斜率，求出過(guò)點(diǎn)A的切線的斜率，結(jié)合圖象即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)，由題知圓的圓心為，半徑，表示直線的斜率，不妨設(shè)過(guò)點(diǎn)A的圓的切線方程為，則圓心到切線的距離，解得或，結(jié)合圖可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，是上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，的平分線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積為時(shí)，__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)定義結(jié)合中位線及面積公式計(jì)算正弦值即可. 【詳解】由題可知，．因?yàn)槠椒?，所以到，的距離相等，設(shè)為，則．易知是的中位線，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，過(guò)作于，易得，則，從而．故答案為：四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．（1）求圓的半徑；（2）判斷圓（且）與圓的位置關(guān)系．【答案】（1）2（2）圓與圓外離【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件可求得a、b的值，再將圓的一般方程標(biāo)準(zhǔn)化后即可求得結(jié)果.（2）比較兩圓心距與即可判斷.【小問(wèn)1詳解】由題可得，解得，所以圓的一般方程為，則標(biāo)準(zhǔn)方程為，故圓的半徑為2．【小問(wèn)2詳解】由（1）可知圓的圓心．半徑， 又圓N的圓心，半徑，所以，，又因?yàn)椋?，所以圓與圓外離．18已知直線和圓．（1）求與直線垂直且經(jīng)過(guò)圓心的直線的方程；（2）求與直線平行且與圓相切的直線的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）先根據(jù)垂直關(guān)系設(shè)直線,再結(jié)合直線過(guò)圓心求參即可;（2）先根據(jù)平行設(shè)直線方程，再根據(jù)圓心到直線距離為半徑求參得出直線方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)與直線垂直的直線的方程為．圓可化為，圓心為，因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)圓心，所以，即，故所求直線的方程為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)與直線平行的直線的方程為．因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，所以或10，故所求直線的方程為或．19.已知空間中三點(diǎn)，，.設(shè)，.（1）求； （2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出向量的坐標(biāo)，然后利用向量模的計(jì)算公式求解即可；（2）先求出兩向量的坐標(biāo)，再利用垂直的坐標(biāo)形式列式求解即可.【小問(wèn)1詳解】，，，，，，，于是，.【小問(wèn)2詳解】，，又與互相垂直，，即，，解得.20.已知圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，面積為．（1）求圓的方程；（2）若直線，都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且，直線交圓于，兩點(diǎn)，直線交圓于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）（2）14【解析】【分析】（1）根據(jù)面積解出半徑，再應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可； （2）根據(jù)幾何法求出弦長(zhǎng)，再應(yīng)用面積公式計(jì)算，最后應(yīng)用基本不等式求最值即可.【小問(wèn)1詳解】由題可知圓的圓心為，半徑．所以圓的方程為．【小問(wèn)2詳解】當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)直線的方程為，圓心到直線的距離為，則，，同理可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，此時(shí)．當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可得．綜上所述，四邊形面積的最大值為14．21.如圖，在直三棱柱中，，為棱的中點(diǎn)，，二面角的大小為．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值． 【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，則，再由線面平行的判定定理證明即可得；（2）由題意以為原點(diǎn)，分別以直線，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，分別求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求出，再求出直線的方向向量由線面角的向量公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，顯然是的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，，而平面，平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．因?yàn)?，所以，于是有．因?yàn)槿庵侵比庵?，所以平面平面，而平面平面，所以平面．因?yàn)閭?cè)面是矩形，所以．以為原點(diǎn)，分別以直線，，為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，， 于是，．設(shè)平面的法向量為，則有即令，可得．易知平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以，即，解得（?fù)值舍去）．故，，．設(shè)直線與平面所成的角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為．22.已知圓的圓心為（且），，圓與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)（與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合），且線段為圓的一條直徑．（1）求證：的面積為定值；（2）若直線經(jīng)過(guò)圓的圓心，求圓的方程；（3）在（2）的條件下，設(shè)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，，求線段長(zhǎng)度的最小值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）求出圓的方程，分別令，求出，，即可求出的面積，即可證明； （2）因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以，結(jié)合，即可解出，可求出求圓的方程；（3）由題意可得然P，G，C，H四點(diǎn)共圓，且為該圓的一條直徑，設(shè)這四點(diǎn)所在的圓為圓，可得圓的方程，由點(diǎn)到直線的距離、圓的弦長(zhǎng)公式表示出，再由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出求線段長(zhǎng)度的最小值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓的方程為，由題可知點(diǎn)在圓上，則圓的方程為，整理得，因?yàn)閳A與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)（與坐標(biāo)原點(diǎn)不重合），令，解得：；令，解得：；則，．所以，為定值．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)圓的圓心，所以．又，且，解得．所以圓的方程為．【小問(wèn)3詳解】過(guò)點(diǎn)作圓的切線，，切點(diǎn)為，，顯然P，G，C，H四點(diǎn)共圓，且為該圓的一條直徑，設(shè)這四點(diǎn)所在的圓為圓，， 則圓的方程為，即，①又圓的半徑，方程可化為，②①－②，得圓與圓的相交弦所在直線的方程為．點(diǎn)到直線的距離，所以，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故線段長(zhǎng)度的最小值為．