湖南省邵陽市2022-2023學年高二下學期7月期末聯(lián)考數(shù)學試題 Word版含解析.docx

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2023年邵陽市高二聯(lián)考試題卷數(shù)學試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則，得到，結(jié)合共軛復數(shù)的定義，即可求解.【詳解】由，可得，可得.故選：C.2.已知全集，設集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)不等式的解法，分別求得，結(jié)合集合的補集與并集的運算，即可求解.【詳解】由集合，可得，所以.故選：C.3.若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】先觀察到，代入原式，利用誘導公式求解.【詳解】因為,所以，故選：A.4.函數(shù)在區(qū)間的圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性與特殊點法判斷即可.【詳解】因為的定義域為，又，所以是奇函數(shù)，故BC錯誤；而，故D錯誤；由于排除了BCD，而A又滿足上述性質(zhì)，故A正確.故選：A.5.“基礎學科拔尖學生培養(yǎng)試驗計劃”簡稱“珠峰計劃”，是國家為回應“錢學森之問”而推出的一項人才培養(yǎng)計劃，旨在培養(yǎng)中國自己的學術大師.浙江大學?復旦大學?武漢大學? 中山大學均有開設數(shù)學學科拔尖學生培養(yǎng)基地.已知某班級有共5位同學從中任選一所學校作為奮斗目標，每所學校至少有一位同學選擇，則同學選擇浙江大學的不同方法共有（）A.24種B.60種C.96種D.240種【答案】B【解析】【分析】依題意，有兩位同學選擇了同一所學校，分有兩位同學選擇了浙江大學和只有A同學選擇了浙江大學這兩種情況討論，結(jié)合排列組合的原理計算.【詳解】5位同學選擇4所學校，每所學校至少有一位同學選擇，則有兩位同學選擇了同一所學校，已知同學選擇浙江大學，當有兩位同學選擇了浙江大學時，則這4位同學在4所大學中分別選了一所，共種選法；當只有A同學選擇了浙江大學時，則這4位同學在其余3所大學中選擇，每所學校至少有一位同學選擇，則有兩位同學選擇了同一所學校，共種選法；所以同學選擇浙江大學的不同方法共有種.故選：B6.設非零向量滿足，則在上的投影向量為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的運算法則，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由非零向量滿足，因為，可得，解得，所以在上的投影的向量為.故選：A.7.已知點在直線上運動，是圓上的動點，是圓上的動點，則的最小值為（） A.13B.11C.9D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，再根據(jù)點關于線對稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設關于直線的對稱點為，設坐標為，則，解得，故，因為，可得，當三點共線時，等號成立，所以的最小值為.故選：D.8.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，對任意的均有成立.若，則不等式 的解集為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知得，所以構(gòu)造函數(shù)，求導后可得，可得在上單調(diào)遞增，然后對變形得，再利用其單調(diào)性可求得結(jié)果.【詳解】由，得，設，則.在上單調(diào)遞增.又為奇函數(shù)，..故選：B.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查利用單調(diào)性解不等式，解題的關鍵是根據(jù)已知條件合理構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.若正實數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的有（）A.的最大值為1B.的最大值為2C.的最小值為2D.的最小值為2【答案】AD 【解析】【分析】根據(jù)進行計算然后可判斷A項；利用“1”的妙用及均值不等式計算可判斷B項；根據(jù)可判斷C項，將變形為，然后結(jié)合的范圍可判斷D項.【詳解】對于A項，因為，當且僅當時取等號，則的最大值為1，故A項正確；對于B項，因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為2，故B項錯誤；對于C項，，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以的最大值為2，故C項錯誤；對于D項，因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為2，故D項正確.故選：AD.10.下列說法中，錯誤的是（）A.若事件滿足：，且，則與相互獨立B.某醫(yī)院住院的8位新冠患者的潛伏天數(shù)分別為，則該樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為8C.若隨機變量，則方差D.在回歸模型分析中，殘差平方和越小，模型的擬合效果越好【答案】BC 【解析】【分析】對于A，根據(jù)相互獨立事件的定義和性質(zhì)可得A正確；對于B，按照求百分位數(shù)的方法計算可知B錯誤；對于C，根據(jù)二項分布的方差公式和方差的性質(zhì)計算可知C錯誤；對于D，根據(jù)回歸模型分析可知D正確.【詳解】對于A，若，且，則與相互獨立，則與相互獨立，故A正確；對于B，將8個樣本數(shù)據(jù)按從小到大順序排列為：，因為為整數(shù)，所以該樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為，故B錯誤；對于C，若隨機變量，則，則方差，故C錯誤；對于D，顯然正確.故選：BC11.設是拋物線上的兩點，是拋物線的焦點，則下列命題中正確的是（）A.若直線過拋物線的焦點，則的最小值為2B.若點的坐標為，則C.過點且與拋物線只有一個公共點的直線有且只有兩條D.若（點在第一象限），則直線的傾斜角為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的弦長公式可判定A選項；點到點的距離公式可得出B選項；直線與拋物線只有一個公共點一定要考慮斜率為0和斜率不存在的特殊情況，不僅僅是；D選項利用向量的坐標運算，得到，再帶入韋達定理求解即可.【詳解】由題，，設直線 聯(lián)立，（※），故的最小值為2，A選項正確；點的坐標為，則，故B選項正確；設過點的直線方程為或或，時，與拋物線只有一個公共點；時，與拋物線只有一個公共點；時，聯(lián)立解得，故與拋物線只有一個公共點的直線有3條，C選項錯誤；因為（點在第一象限），所以直線AB經(jīng)過點F，帶入（※）式得：且,故直線的傾斜角為.故選：ABD.12.《九章算術·商功》中記載：“ 斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也，合兩鱉臑三而一，驗之以棊，其形露矣”，文中“塹堵”是指底面是直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面三棱柱；文中“陽馬”是指底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐；文中“鱉臑”是指四個面都是直角三角形的三棱錐，如圖所示，在塹堵中，若，則下列說法中正確的有（）A.四棱錐為陽馬，三棱錐為鱉臑B.點在線段上運動，則的最小值為C.分別為的中點，過點的平面截三棱柱，則該截面周長為D.點在側(cè)面及其邊界上運動，點在棱上運動，若直線，是共面直線，則點的軌跡長度為【答案】ABC【解析】【分析】對于A，根據(jù)陽馬、鱉臑的定義判斷即可；對于B，利用展開面求得的最小值即可判斷；對于C，作出截面，利用三角形重心的性質(zhì)與勾股定理求解即可判斷；對于D，利用平面的性性求得點的軌跡，從而得以判斷.【詳解】對于,由題意，易知面，四邊形為長方形，所以四棱錐為“陽馬”，在棱錐中，為直角三角形，所以三棱錐為鱉臑，故正確，對于選項：將沿旋轉(zhuǎn)與共面且位于異側(cè)，如圖所示， ，故B正確，對于選項：過的截面如圖所示，因為，是的中點，故是的中點，又分別為的中點，所以為的重心，，，所以截面周長為，故正確，對于D選項：面，共面，所以面，又點在側(cè)面及其邊界上運動，面面，所以點的軌跡為線段，且，故D錯誤， 故選：ABC.【點睛】關鍵點睛：本題C選項解決的關鍵在于判斷得為的重心，從而利用勾股定理可求得截面各線段的長.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在等比數(shù)列中，，則公比為__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，即可求解.【詳解】由等比數(shù)列中，，可得，解得.故答案為：.14.已知函數(shù)的最小正周期為，則函數(shù)在區(qū)間上的最小值為__________.【答案】##.【解析】【分析】根據(jù)周期求出，再利用正弦函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】依題意可得，得，所以.令，則，因為，所以，所以當時，取得最小值為.所以在區(qū)間上的最小值為.故答案為：.15.某市2022年高二數(shù)學聯(lián)考學生成績，且.現(xiàn)從參考的學生中隨機抽查3名學生，則恰有1名學生的成績超過100分的概率為__________. 【答案】##.【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出成績超過100分的概率，再根據(jù)獨立重復試驗的概率公式可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，因為，所以，所以，所以恰有1名學生的成績超過100分的概率為.故答案為：16.已知雙曲線的右焦點為，點在雙曲線上，且關于原點對稱.若的面積為，則雙曲線的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】設雙曲線的左焦點為，連，可得四邊形為矩形，然后結(jié)合雙曲線的定義，三角形的面積和勾股定理列方程組可求出的關系，從而可求出離心率.【詳解】設雙曲線的左焦點為，連，因為所以四邊形為矩形.不妨設點在雙曲線的右支上，設，則 由①得：所以，即，所以，所以離心率.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知等差數(shù)列的公差不為，，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的前項和；（2）記，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由等比中項可得出，轉(zhuǎn)化為和的關系，求解出通項公式，進而求解出前項和.（2）先表示出的通項公式，利用裂項求和求出，再根據(jù)表達式進行范圍判斷，進而證明出結(jié)果.【小問1詳解】由題意可知，，故，即，解得（舍去）或.，.【小問2詳解】 由（1）知，故，又，，，從而得證.18.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）方法一：由，得，再利用正弦定理化邊為角，進而可得出答案；方法二：利用正余弦定理化角為邊，化簡即可得解；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及二倍角公式求出，再利用正弦定理解三角形，再根據(jù)三角形的面積公式即可得解.【小問1詳解】方法一：由，得，由正弦定理得，即，又，故， 解得；方法二：由，及正?余弦定理可得，整理得，解得；【小問2詳解】由，得，又，故，，由正弦定理可得，，的面積.19.如圖所示，在三棱臺中，平面平面，，.（1）證明：；（2）當二面角為時，求三棱臺的體積. 【答案】（1）證明見解析（2）7【解析】【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)：一個平面內(nèi)，垂直于交線的直線垂直于另一個平面，再由線面垂直判定線線垂直；（2）法一：建立空間直角坐標系，根據(jù)二面角為，找到，從而求得三棱臺的體積.法二：通過定義法找到即為二面角的平面角，即，從而找到，進而找到三棱臺的體積.【小問1詳解】平面平面，平面平面，又平面，平面，又平面，.【小問2詳解】方法一：（坐標法）過作交于點，平面平面，平面平面，又平面，所以平面，且，設.以點為原點建立如圖所示空間直角坐標系， .設平面的一個法向量為，又，由則.由（1）知平面，故平面的一個法向量....方法二：（幾何法）連接，如圖所示.由，易得，且，. 面平面，又平面，平面.故即為二面角的平面角，即.在Rt中，.過作交于點，平面平面，平面平面，又平面，所以平面，且，..20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是（2）【解析】【分析】（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由不等式恒成立，分離參數(shù)得，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)求最小值的方法求實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，. 由，得，由，得.的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】，即得.設，則..設，，在上單調(diào)遞增.而，.在上存在唯一零點，，由，有，可得.當時，，單調(diào)遞減.當時，，在上單調(diào)遞增.，，故的取值范圍是.21.已知是橢圓上的一點，為橢圓的左?右焦點，為其短軸的兩個端點，是與的等差中項.（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于點，與圓切于點，問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由. 【答案】（1）（2）為定值，【解析】【分析】（1）由橢圓定義得到，結(jié)合在橢圓上，得到方程組，求出，得到橢圓方程；（2）考慮直線的斜率不存在和存在兩種情況，設出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，計算出，從而得到為定值.【小問1詳解】將點代入橢圓方程得①，由題意可知：，由橢圓定義可知②，由①②得.橢圓的方程為.【小問2詳解】當直線斜率不存在時，不妨取直線的方程為：，，∵，在Rt中，.當直線的斜率存在時，設的方程為：. 直線與圓相切，.即.由得，.從而在Rt中，.由①②得，為定值.【點睛】方法點睛：定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定22.新寧崀山景區(qū)是世界自然遺產(chǎn)?國家5A級景區(qū)，其中“八角寨”景區(qū)和“天下第一巷”景區(qū)是新寧崀山景區(qū)的兩張名片.為了合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽“八角寨”景區(qū)且尚未游覽“天下第一巷”景區(qū)的游客進行隨機調(diào)查，若不游覽“天下第一巷”景區(qū)記2分，若繼續(xù)游覽“天下第一巷”景區(qū)記4分，假設每位游客選擇游覽“天下第一巷”景區(qū)的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨立.（1）從游客中隨機抽取2人，記總得分為隨機變量，求的數(shù)學期望；（2）（i）記表示“從游客中隨機抽取人，總分恰為分”的概率，求的前4項和； （ii）在對游客進行隨機問卷調(diào)查中，記表示“已調(diào)查過的累計得分恰為分”的概率，探求與的關系，并求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）（2）（i）；（ii），【解析】【分析】（1）寫出隨機變量的所有可能取值，求出對應概率，再根據(jù)期望公式求解即可；（2）（i）根據(jù)題意可得“總分恰為分”的概率為，再根據(jù)等比數(shù)列前項和公式求解即可；（ii）方法一：“已調(diào)查過的累計得分恰為分”的概率為，得不到分的情況只有先得分，再得4分，概率為，則，再利用構(gòu)造法求解即可.方法二：得分分可以先得分，再得2分，也可以先得分，再得4分，“已調(diào)查過的累計得分恰為分”的概率為，則“得分的概率為”，“得分”的概率為，根據(jù)題意可出的關系，再利用構(gòu)造法求解即可.【小問1詳解】可能取值為，，，，的數(shù)學期望；【小問2詳解】（i）“總分恰為分”的概率為，數(shù)列是以首項為，公比為的等比數(shù)列，記前項和為， 則前4項和；（ii）方法一：“已調(diào)查過的累計得分恰為分”的概率為，得不到分的情況只有先得分，再得4分，概率為，所以，即，，∴數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，方法二：得分分可以先得分，再得2分，也可以先得分，再得4分，“已調(diào)查過的累計得分恰為分”的概率為，則“得分”的概率為，“得分”的概率為，所以，由，得，，，（后面同方法一）另解：由，得，，. 又