湖南省多校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部內(nèi)容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】計(jì)算并求解集合，，利用交集的定義求解.【詳解】，解得；，解得，所以集合，，所以．故選：B2.已知，復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】對已知化簡后，由虛部等于零可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉閷?shí)數(shù)， 所以，解得．故選：C3.函數(shù)的部分圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式確定函數(shù)性質(zhì)，利用排除法去掉不符合的選項(xiàng)即可.【詳解】定義域?yàn)?，因?yàn)椋云婧瘮?shù)，排除C，D．當(dāng)時(shí)，，則，，所以，排除B．故選：A．4.某高校現(xiàn)有400名教師，他們的學(xué)歷情況如圖所示，由于該高校今年學(xué)生人數(shù)急劇增長，所以今年計(jì)劃招聘一批新教師，其中博士生80名，碩士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后碩士生的比例下降了，招聘后全校教師舉行植樹活動(dòng)，樹苗共1500棵，若樹苗均按學(xué)歷的比例進(jìn)行分配，則該高校本科生教師共分得樹苗的棵數(shù)為（） A.100B.120C.200D.240【答案】B【解析】【分析】設(shè)招聘名碩士生，然后根據(jù)題意結(jié)合扇形統(tǒng)計(jì)圖列方程可求出的值，再根據(jù)比例可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)招聘名碩士生，由題意可知，，解得，所以本科生教師共分得樹苗棵．故選：B5.設(shè)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)分析判斷即可.【詳解】若，，則，而，所以“”推不出“”；若，又，則，所以，即“”可以推出“”．所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B 6.若，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的性質(zhì)可得，，，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，，，所以．故選：C.7.已知正三棱柱的頂點(diǎn)都在球的球面上，若正三棱柱的側(cè)面積為，底面積為，則球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)正三棱柱的底面邊長為，高為，根據(jù)題意里程方程組求得，設(shè)的外接圓半徑為，求得，結(jié)合球的截面圓的性質(zhì)，列出方程求得球的半徑為，進(jìn)而求得球的表面積.【詳解】由正三棱柱是直三棱柱，設(shè)其高為，，因?yàn)檎庵膫?cè)面積為，底面積為，可得，且，解得，設(shè)的外接圓半徑為，則，解得，設(shè)球的半徑為，則，所以球的表面積為．故選：A. 8.弘揚(yáng)國學(xué)經(jīng)典，傳承中華文化，國學(xué)乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經(jīng)”是國學(xué)經(jīng)典著作，“五經(jīng)”指《詩經(jīng)》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》．小明準(zhǔn)備學(xué)習(xí)“五經(jīng)”，現(xiàn)安排連續(xù)四天進(jìn)行學(xué)習(xí)且每天學(xué)習(xí)一種，每天學(xué)習(xí)的書都不一樣，其中《詩經(jīng)》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學(xué)習(xí)，《周易》不能安排在第一天學(xué)習(xí)，則不同安排的方式有（）A.32種B.48種C.56種D.68種【答案】D【解析】【分析】利用排列組合分別討論不排《周易》，排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》只安排一個(gè)，三種情況，再利用分類加法計(jì)數(shù)原理將所有情況相加即可.【詳解】①若《周易》不排，先將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，則共有種安排方式．②若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》都安排，在《尚書》和《春秋》中先選1種，然后將《詩經(jīng)》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經(jīng)》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，共有種安排方式；③若排《周易》且《詩經(jīng)》與《禮記》只安排一個(gè)，先在《詩經(jīng)》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，最后將剩下的3種書全排列即可，共有種安排方式．所以共有種安排方式．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線：與圓：相交于，兩點(diǎn)，則（）A.圓心到直線的距離為1B.圓心到直線的距離為2C.D.【答案】BD【解析】 【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可知A錯(cuò)誤，B正確；利用幾何法求出弦長可知C錯(cuò)誤，D正確．【詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離，所以A錯(cuò)誤，B正確．因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD10.已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的極值點(diǎn)為C.的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由正弦函數(shù)的最小正周期的計(jì)算公式可判斷A；對求導(dǎo)，令可判斷B；由三角函數(shù)的平移變換可判斷C；由，求出或可判斷D.【詳解】的最小正周期為，所以A錯(cuò)誤；由，得，由三角函數(shù)的性質(zhì)可驗(yàn)證的極值點(diǎn)為，所以B正確；將的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，所以C正確；若，則，所以，則或，則或，所以D錯(cuò)誤． 故選：BC.11.已知雙曲線：的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，為上一點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.的離心率為B.的最小值為C.若，為的左、右頂點(diǎn)，與，不重合，則直線，的斜率之積為D.設(shè)的左焦點(diǎn)為，若的面積為，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意列關(guān)于的等式，從而可得雙曲線的方程，計(jì)算離心率，的最小值，結(jié)合動(dòng)點(diǎn)滿足的方程，列式計(jì)算，在焦點(diǎn)三角形中，由雙曲線的定義，余弦定理以及三角形面積公式列式即可計(jì)算出.【詳解】由已知可得，，所以，則的方程為，離心率為，A正確；因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以B錯(cuò)誤；設(shè)，則，，，所以C正確；設(shè)，由 可得，得，則，所以D正確．故選：ACD12.已知函數(shù)，若，，則實(shí)數(shù)的取值可能為（）A.2B.C.D.1【答案】BCD【解析】【分析】對已知不等式進(jìn)行變形，利用換元法，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷其單調(diào)性，再利用單調(diào)性進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，設(shè)，則有，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，所以原問題轉(zhuǎn)化為當(dāng)，恒成立，由，設(shè)，，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以有，顯然，恒成立；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此有，所以，不恒成立，綜上所述：，故選項(xiàng)BCD符合題意， 故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知向量，，若，則________．【答案】##【解析】【分析】由平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，解得．故答案為?14已知，則__________【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式及倍角公式變形計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.15.如圖，某圓柱與圓錐共底等高，圓柱側(cè)面的展開圖恰好為正方形，則圓柱母線與圓錐母線所成角的正切值為________．【答案】 【解析】【分析】先根據(jù)圓柱側(cè)面展開圖為正方形得出，然后根據(jù)題意找到圓柱母線與圓錐母線所成的角即可求得.【詳解】因?yàn)閳A柱母線與圓錐旋轉(zhuǎn)軸平行，所以圓柱母線與圓錐母線所成角的大小等于．因?yàn)閳A柱側(cè)面的展開圖恰好為正方形，所以，所以．故答案為：.16.已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線與交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)到軸的距離為，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)拋物線的性質(zhì)，結(jié)合梯形中位線定理、兩點(diǎn)間線段最短進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為．設(shè)的中點(diǎn)為，分別過點(diǎn)，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，因?yàn)榈捷S的距離為6，所以．由拋物線的定義知，，所以．因?yàn)椋裕?所以當(dāng)，即直線過焦點(diǎn)時(shí)，取最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在等比數(shù)列中，，且是和的等差中項(xiàng)．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和等差中項(xiàng)的含義即可得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）分析計(jì)算得，利用錯(cuò)位相減法即可得到答案.【小問1詳解】設(shè)的公比為，，因?yàn)槭呛偷牡炔钪许?xiàng)，所以，則，化簡得，解得或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．【小問2詳解】因?yàn)?，所以，，，①則，②則①②得．故．18.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，． （1）若，，，求的面積；（2）若，證明：．【答案】（1）9（2）證明見解析【解析】分析】（1）先由求出，然后利用三角形面積公式求解即可；（2）由已知條件結(jié)合余弦定理可得，再利用正弦定理統(tǒng)一成角的形式，化簡后可證得結(jié)論.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以解得．所以的面積．【小問2詳解】證明：因?yàn)?，，所以，化簡得，所以，即，所以，所以．因?yàn)椋?，所以或（舍去），所以?9.某單位準(zhǔn)備從8名報(bào)名者（其中男性5人，女性3人）中選4人參加4個(gè)副主任職位競選．（1）設(shè)所選4人中女性人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）若選出的4名副主任分配到，，，這4個(gè)科室上任，一個(gè)科室分配1名副主任，且每名副主任只能到一個(gè)科室，求科室任職的是女性的情況下，科室任職的是男性的概率． 【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得的可能取值為0，1，2，3，求出取每個(gè)值的概率可得分布列，由期望公式可得期望；（2）根據(jù)條件概率公式可求出結(jié)果.【小問1詳解】依題意，的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，的分布列為0123所以．【小問2詳解】設(shè)“科室任職的是女性”，“科室任職的是男性”，則，，所以．20.如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，為等邊三角形． （1）若，證明：．（2）在（1）條件下，若，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的三線合一性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理，可得答案；（2）根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩平面的法向量，結(jié)合夾角的求解公式，可得答案.【小問1詳解】證明：取的中點(diǎn)，連接，．因?yàn)闉榈冗吶切?，所以．又，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，即是線段的中垂線，所以．【小問2詳解】由（1）知，又，所以，且平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，的方向?yàn)?，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，．在中，，，由余弦定理易得∠POC為120°，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，，． 設(shè)是平面的法向量，可得令，得．設(shè)是平面的法向量，可得令，得．設(shè)平面與平面所成的二面角為，則．21.已知是橢圓的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，．（1）求橢圓C的方程；（2）求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，確定橢圓C過點(diǎn)，再代入求解作答.（2）設(shè)出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理求出面積的函數(shù)關(guān)系，再利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【小問1詳解】依題意，，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，得直線過點(diǎn)，于是，解得，所以橢圓的方程為．小問2詳解】依題意，直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為， 由消去整理得，則，的面積，令，對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，故面積的取值范圍為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動(dòng)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)為變量，建立函數(shù)關(guān)系求解作答.22.已知函數(shù)，且，．（1）討論的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，，，且，試比較與2的大小，并說明理由．【答案】（1）答案見解析（2），理由見解析【解析】【分析】（1）分類討論與，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系即可得解；（2）觀察式子先確定，再利用轉(zhuǎn)化法與換元法得到 ，進(jìn)而利用雙變量處理方法得到，利用導(dǎo)數(shù)證得，從而得解.【小問1詳解】由，得，又，所以，則，所以，．當(dāng)時(shí)，令，得或；令，得；所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，得；令，得或；所以在與上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．【小問2詳解】，理由如下：因?yàn)?，由，得，解得或．因?yàn)椋?，，是的正根，則，又，所以，，兩式相減得．令，，則，得，則．令，則，所以，，可得，．設(shè)，則，再設(shè)，則， 所以在上為增函數(shù)，則，即，則在上為增函數(shù)，從而，所以，即，所以，即．