湖南省多校2022-2023學年高二下學期期末聯考數學 Word版含解析.docx

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高二數學試卷注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4．本試卷主要考試內容：高考全部內容.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】計算并求解集合，，利用交集的定義求解.【詳解】，解得；，解得，所以集合，，所以．故選：B2.已知，復數是實數，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】對已知化簡后，由虛部等于零可求得結果.【詳解】因為為實數， 所以，解得．故選：C3.函數的部分圖象大致為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據函數解析式確定函數性質，利用排除法去掉不符合的選項即可.【詳解】定義域為，因為，所以奇函數，排除C，D．當時，，則，，所以，排除B．故選：A．4.某高?，F有400名教師，他們的學歷情況如圖所示，由于該高校今年學生人數急劇增長，所以今年計劃招聘一批新教師，其中博士生80名，碩士生若干名，不再招聘本科生，且使得招聘后碩士生的比例下降了，招聘后全校教師舉行植樹活動，樹苗共1500棵，若樹苗均按學歷的比例進行分配，則該高校本科生教師共分得樹苗的棵數為（） A.100B.120C.200D.240【答案】B【解析】【分析】設招聘名碩士生，然后根據題意結合扇形統計圖列方程可求出的值，再根據比例可求得結果.【詳解】設招聘名碩士生，由題意可知，，解得，所以本科生教師共分得樹苗棵．故選：B5.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據充分條件和必要條件的定義結合余弦函數的性質分析判斷即可.【詳解】若，，則，而，所以“”推不出“”；若，又，則，所以，即“”可以推出“”．所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B 6.若，，，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由指數函數、對數函數、三角函數的性質可得，，，即可得答案.【詳解】因為，，，所以．故選：C.7.已知正三棱柱的頂點都在球的球面上，若正三棱柱的側面積為，底面積為，則球的表面積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】設正三棱柱的底面邊長為，高為，根據題意里程方程組求得，設的外接圓半徑為，求得，結合球的截面圓的性質，列出方程求得球的半徑為，進而求得球的表面積.【詳解】由正三棱柱是直三棱柱，設其高為，，因為正三棱柱的側面積為，底面積為，可得，且，解得，設的外接圓半徑為，則，解得，設球的半徑為，則，所以球的表面積為．故選：A. 8.弘揚國學經典，傳承中華文化，國學乃我中華民族五千年留下的智慧精髓，其中“五經”是國學經典著作，“五經”指《詩經》《尚書》《禮記》《周易》《春秋》．小明準備學習“五經”，現安排連續(xù)四天進行學習且每天學習一種，每天學習的書都不一樣，其中《詩經》與《禮記》不能安排在相鄰兩天學習，《周易》不能安排在第一天學習，則不同安排的方式有（）A.32種B.48種C.56種D.68種【答案】D【解析】【分析】利用排列組合分別討論不排《周易》，排《周易》且《詩經》與《禮記》都安排，排《周易》且《詩經》與《禮記》只安排一個，三種情況，再利用分類加法計數原理將所有情況相加即可.【詳解】①若《周易》不排，先將《詩經》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經》與《禮記》插空，則共有種安排方式．②若排《周易》且《詩經》與《禮記》都安排，在《尚書》和《春秋》中先選1種，然后將《詩經》與《禮記》以外的另外2種排列，再將《詩經》與《禮記》插空，減去將《周易》排在第一天的情況即可，共有種安排方式；③若排《周易》且《詩經》與《禮記》只安排一個，先在《詩經》與《禮記》中選1種，然后將《周易》排在后三天的一天，最后將剩下的3種書全排列即可，共有種安排方式．所以共有種安排方式．故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知直線：與圓：相交于，兩點，則（）A.圓心到直線的距離為1B.圓心到直線的距離為2C.D.【答案】BD【解析】 【分析】根據點到直線的距離公式計算可知A錯誤，B正確；利用幾何法求出弦長可知C錯誤，D正確．【詳解】因為圓心到直線的距離，所以A錯誤，B正確．因為，所以C錯誤，D正確．故選：BD10.已知函數，下列說法正確的是（）A.的最小正周期為B.的極值點為C.的圖象可由函數的圖象向右平移個單位長度得到D.若，則【答案】BC【解析】【分析】由正弦函數的最小正周期的計算公式可判斷A；對求導，令可判斷B；由三角函數的平移變換可判斷C；由，求出或可判斷D.【詳解】的最小正周期為，所以A錯誤；由，得，由三角函數的性質可驗證的極值點為，所以B正確；將的圖象向右平移個單位長度得到的圖象，所以C正確；若，則，所以，則或，則或，所以D錯誤． 故選：BC.11.已知雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為，為上一點，下列說法正確的是（）A.的離心率為B.的最小值為C.若，為的左、右頂點，與，不重合，則直線，的斜率之積為D.設的左焦點為，若的面積為，則【答案】ACD【解析】【分析】根據題意列關于的等式，從而可得雙曲線的方程，計算離心率，的最小值，結合動點滿足的方程，列式計算，在焦點三角形中，由雙曲線的定義，余弦定理以及三角形面積公式列式即可計算出.【詳解】由已知可得，，所以，則的方程為，離心率為，A正確；因為的最小值為，所以B錯誤；設，則，，，所以C正確；設，由 可得，得，則，所以D正確．故選：ACD12.已知函數，若，，則實數的取值可能為（）A.2B.C.D.1【答案】BCD【解析】【分析】對已知不等式進行變形，利用換元法，構造新函數，利用導數的性質判斷其單調性，再利用單調性進行求解判斷即可.【詳解】因為，所以，設，則有，當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，所以，所以原問題轉化為當，恒成立，由，設，，因為，所以，當時，，函數單調遞增，所以有，顯然，恒成立；當時，當時，函數單調遞增，當時，單調遞減，因此有，所以，不恒成立，綜上所述：，故選項BCD符合題意， 故選：BCD【點睛】關鍵點睛：對不等式進行變形，構造函數，利用導數的性質是解題的關鍵.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知向量，，若，則________．【答案】##【解析】【分析】由平行向量的坐標運算求解即可.【詳解】因為，所以，解得．故答案為：.14已知，則__________【答案】【解析】【分析】利用誘導公式及倍角公式變形計算即可.【詳解】.故答案為：.15.如圖，某圓柱與圓錐共底等高，圓柱側面的展開圖恰好為正方形，則圓柱母線與圓錐母線所成角的正切值為________．【答案】 【解析】【分析】先根據圓柱側面展開圖為正方形得出，然后根據題意找到圓柱母線與圓錐母線所成的角即可求得.【詳解】因為圓柱母線與圓錐旋轉軸平行，所以圓柱母線與圓錐母線所成角的大小等于．因為圓柱側面的展開圖恰好為正方形，所以，所以．故答案為：.16.已知拋物線：的焦點為，直線與交于，兩點，且的中點到軸的距離為，則的最大值為________．【答案】【解析】【分析】根據拋物線的性質，結合梯形中位線定理、兩點間線段最短進行求解即可.【詳解】由題意知，拋物線的準線方程為．設的中點為，分別過點，，作準線的垂線，垂足分別為，，，因為到軸的距離為6，所以．由拋物線的定義知，，所以．因為，所以． 所以當，即直線過焦點時，取最大值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.在等比數列中，，且是和的等差中項．（1）求的通項公式；（2）若，，求數列的前項和．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據等比數列的通項公式和等差中項的含義即可得到關于的方程，解出即可；（2）分析計算得，利用錯位相減法即可得到答案.【小問1詳解】設的公比為，，因為是和的等差中項，所以，則，化簡得，解得或，當時，，當時，．【小問2詳解】因為，所以，，，①則，②則①②得．故．18.已知的內角，，的對邊分別為，，． （1）若，，，求的面積；（2）若，證明：．【答案】（1）9（2）證明見解析【解析】分析】（1）先由求出，然后利用三角形面積公式求解即可；（2）由已知條件結合余弦定理可得，再利用正弦定理統一成角的形式，化簡后可證得結論.【小問1詳解】因為，所以，即，因為，所以解得．所以的面積．【小問2詳解】證明：因為，，所以，化簡得，所以，即，所以，所以．因為，，所以或（舍去），所以．19.某單位準備從8名報名者（其中男性5人，女性3人）中選4人參加4個副主任職位競選．（1）設所選4人中女性人數為，求的分布列與數學期望；（2）若選出的4名副主任分配到，，，這4個科室上任，一個科室分配1名副主任，且每名副主任只能到一個科室，求科室任職的是女性的情況下，科室任職的是男性的概率． 【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）根據題意得的可能取值為0，1，2，3，求出取每個值的概率可得分布列，由期望公式可得期望；（2）根據條件概率公式可求出結果.【小問1詳解】依題意，的可能取值為0，1，2，3，所以，，，，的分布列為0123所以．【小問2詳解】設“科室任職的是女性”，“科室任職的是男性”，則，，所以．20.如圖，四棱錐的底面是邊長為的菱形，為等邊三角形． （1）若，證明：．（2）在（1）條件下，若，，求平面與平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據等邊三角形的三線合一性質，結合線面垂直的判定定理以及性質定理，可得答案；（2）根據題意，建立空間直角坐標系，求得兩平面的法向量，結合夾角的求解公式，可得答案.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，．因為為等邊三角形，所以．又，，平面，所以平面，因為平面，所以，即是線段的中垂線，所以．【小問2詳解】由（1）知，又，所以，且平面．以為坐標原點，分別以，的方向為，軸的正方向，建立空間直角坐標系，則，，．在中，，，由余弦定理易得∠POC為120°，所以點的坐標為，所以，，． 設是平面的法向量，可得令，得．設是平面的法向量，可得令，得．設平面與平面所成的二面角為，則．21.已知是橢圓的左頂點，過點的直線與橢圓交于兩點（異于點），當直線的斜率不存在時，．（1）求橢圓C的方程；（2）求面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據給定條件，確定橢圓C過點，再代入求解作答.（2）設出直線的方程，與橢圓的方程聯立，結合韋達定理求出面積的函數關系，再利用對勾函數的性質求解作答.【小問1詳解】依題意，，當直線的斜率不存在時，由，得直線過點，于是，解得，所以橢圓的方程為．小問2詳解】依題意，直線不垂直于y軸，設直線的方程為， 由消去整理得，則，的面積，令，對勾函數在上單調遞增，則，即，從而，當且僅當時取等號，故面積的取值范圍為．【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的幾何圖形面積范圍或最值問題，可以以直線的斜率、橫(縱)截距、圖形上動點的橫(縱)坐標為變量，建立函數關系求解作答.22.已知函數，且，．（1）討論的單調性；（2）若，函數有三個零點，，，且，試比較與2的大小，并說明理由．【答案】（1）答案見解析（2），理由見解析【解析】【分析】（1）分類討論與，結合導數與函數的關系即可得解；（2）觀察式子先確定，再利用轉化法與換元法得到 ，進而利用雙變量處理方法得到，利用導數證得，從而得解.【小問1詳解】由，得，又，所以，則，所以，．當時，令，得或；令，得；所以在和上單調遞增，在上單調遞減；當時，令，得；令，得或；所以在與上單調遞減，在上單調遞增．【小問2詳解】，理由如下：因為，由，得，解得或．因為，所以，，是的正根，則，又，所以，，兩式相減得．令，，則，得，則．令，則，所以，，可得，．設，則，再設，則， 所以在上為增函數，則，即，則在上為增函數，從而，所以，即，所以，即．