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《山西省名校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
高二數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊占30%，選擇性必修第二冊第四章?第五章占70%．一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.在數(shù)列中,,則（）A.4B.6C.8D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式分別將代入,即可得出結(jié)果.【詳解】解:由題知,所以,,將代入可得:,解得:.故選:B2.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）
A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上有且僅有2個極值點C.在區(qū)間上有且僅有3個零點D.在區(qū)間上存在極大值點【答案】D【解析】【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)圖像的正負性，判斷原函數(shù)的單調(diào)性，進而逐一對選項辨析即可.【詳解】由圖可知，在區(qū)間為負，單調(diào)遞減，在區(qū)間為正，單調(diào)遞增，故A錯誤；在區(qū)間上有3個零點，且零點附近左右兩邊的值一正一負，故有3個極值點，故B錯誤；由選項B可知，只能判斷在區(qū)間上有3個極值點，當(dāng)?shù)?個極值都小于0時，至多只有1個零點，當(dāng)?shù)?個極值有正有負時，至少有1個零點，所以無法判斷零點個數(shù)，故C錯誤；在區(qū)間上為正，單調(diào)遞增，在區(qū)間上為負，單調(diào)遞減，則為極大值點，故D正確；故選：D.3.已知橢圓C：+=1的離心率為，則C的長軸長為（）A.8B.4C.2D.4
【答案】B【解析】【分析】直接利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程性質(zhì)和離心率的定義即可求解.【詳解】依題意，因為橢圓C的離心率為，所以=，得m=2，故長軸長為2=4．故選：B.4.設(shè)等差數(shù)列的前項和分別為，若,則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和與通項之間的關(guān)系,將數(shù)列的項之比化為前n項和之比,代入等式計算即可得出答案.【詳解】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),,選項A正確.故選:A.5.拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間上的圖象連續(xù)不間斷，在開區(qū)間內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為，那么在區(qū)間內(nèi)至少存在一點，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值點”．根據(jù)這個定理，可得函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”的個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，設(shè)為“拉格朗日中值點”，由題意得到，構(gòu)造，研究其單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理得到答案.
【詳解】，令為函數(shù)在上的“拉格朗日中值點”，則，令，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，由零點存在性定理可得：存在唯一的，使得.故選：B6.若過點且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個交點，則實數(shù)k的值不可能是()AB.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)半圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點到直線距離公式進行求解，然后根據(jù)圖象即可求解【詳解】如圖，曲線即表示以O(shè)為圓心，2為半徑的上半圓，因為直線即與半圓相切，所以，解得．因為所以，又直線l與曲線有且只有一個交點，所以或，所以實數(shù)k的取值范圍是故選：B
7.已知數(shù)列，若數(shù)列的前項和為，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)求出，即，代入數(shù)列，再利用裂項相消法即可求解.【詳解】依題意，因為，所以，所以，而，故，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以，即，所以，故選：D.8.已知函數(shù)的定義域均為，為的導(dǎo)函數(shù)，且，若為偶函數(shù)，則（）A.0B.1C.2D.4【答案】C【解析】
【分析】根據(jù)為偶函數(shù)，得出為奇函數(shù)，再根據(jù)已知式中對自變量賦值求出，的周期即可求解.【詳解】依題意，因為為偶函數(shù)，所以，所以，所以為奇函數(shù)且，因為，令，則有，解得，因為，所以，又所以由，得，所以是以4為周期的周期函數(shù)，所以，由，得，又，所以，所以所以是以4為周期的周期函數(shù)，所以，所以.故選：C.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20
分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知為等差數(shù)列，，，則（）A.的公差為2B.的公差為3C.的前50項和為1390D.的前50項和為1290【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到公差，進而得到通項公式，設(shè)的前項和為，求出，，從而利用得到的前50項和.【詳解】因為為等差數(shù)列，故，，所以，，故，，設(shè)公差為，則，A正確，B錯誤；，，令，解得，令，解得，設(shè)的前項和為，則，，故的前50項和為，C錯誤，D正確.故選：AD10.如圖，在四棱錐中，平面為的中點，則（）
A.直線與所成角的余弦值為B.直線與平面所成角的正弦值為C.二面角的余弦值為D.點到直線的距離為【答案】BC【解析】【分析】構(gòu)造空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，分別利用空間向量中向量的夾角即可求解異面直線,線面夾角以及二面角，即可判斷ABC，根據(jù)點線距離的向量求解即可判斷D.【詳解】如圖所示，以為原點，中點和的連線所在直線，所在直線，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系：則,,設(shè)所成的角為，則,故A錯誤，所以，，，設(shè)平面的法向量，可得，解得,，令，則，所以，
即直線與平面所成角的正弦值為,故B正確．設(shè)平面的法向量為，,解得,，令，則,設(shè)二面角的平面角為，由幾何體的特征可知為銳角，則，故C正確，設(shè)點到直線的距離為，，則，故D錯誤，故選：BC11.已知函數(shù)，若與的圖象上有且僅有兩對關(guān)于原點對稱的點，則的取值可能是（）A.eB.eC.3D.4【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)與的圖象上有且僅有兩對關(guān)于原點對稱的點，可轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點，分離參數(shù)構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論單調(diào)性求最值即可求解.【詳解】依題意，因為與的圖象上有且僅有兩對關(guān)于原點對稱的點，所以與在上有兩個交點，即有兩個零點，整理得，只需滿足與有兩個交點即可.令，則有，所以在時，，單調(diào)遞減；
在時，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，所以只需即可滿足題設(shè)要求，故選：BD.12.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：．該數(shù)列的特點如下：前兩個數(shù)均為1，從第三個數(shù)起，每一個數(shù)都等于它前面兩個數(shù)的和．人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將中的各項除以2所得的余數(shù)按原來的順序構(gòu)成的數(shù)列記為，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，下列說法正確的是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】A選項，根據(jù)的性質(zhì)得到，從而得到；B選項，根據(jù)的特征分組求和即可；C選項，利用，得到C正確；D選項，根據(jù)得到，D錯誤.【詳解】由題意得：每隔兩項奇數(shù)，出現(xiàn)一項偶數(shù)，故各項為，即，，A錯誤；，B正確；因為，且，所以，C正確；，
故，D錯誤.故選：BC【點睛】斐波那契數(shù)列的性質(zhì)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為__________．【答案】【解析】【分析】先計算，在借助導(dǎo)數(shù)得，即可求解切線方程.【詳解】,又，，故切線方程為，即，故答案為：.
14.古希臘哲學(xué)家芝諾提出了如下悖論：一個人以恒定的速度徑直從點走向點，先走完總路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，會產(chǎn)生無限個“剩下的路程”，因此他有無限個“剩下路程的二分之一”要走，這個人永遠走不到終點，因古代人們對無限認(rèn)識的局限性，所以芝諾得到了錯誤的結(jié)論．設(shè)，這個人走的第段距離為，則滿足這個人走的前段距離的總和的的一個值可以為__________．【答案】7（7、8、9，只需寫出一個答案即可）【解析】【分析】根據(jù)題意知數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，求出前n項和，列出不等式即可求正整數(shù)n的取值.【詳解】由題意得且，當(dāng)時，，所以，化簡得，由等比數(shù)列定義知數(shù)列是公比為，首項為的等比數(shù)列，所以，因為，所以，即，所以，又，所以的取值可以為7、8、9.故答案：7（7、8、9，只需寫出一個答案即可）15.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”．現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱奇．衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若是的導(dǎo)函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，則曲線在點處的曲率．若曲線和在處的曲率分別為，則__________．
【答案】【解析】【分析】由函數(shù)和，分別求出，以及和，代入曲率公式計算，化簡求值即可．【詳解】，則，，，；，則，，，；則故答案為：16.已知拋物線的焦點為為拋物線內(nèi)側(cè)一點，為上的一動點，的最小值為，則__________，該拋物線上一點A（非頂點）處的切線與圓相切，則__________．【答案】①.3②.【解析】【分析】設(shè)點M在準(zhǔn)線上的投影為D，根據(jù)拋物線的定義可知，當(dāng)M，P，D三點共線時有最小值，結(jié)合圖像列出方程即可求出p的值；由①得拋物線方程和焦點坐標(biāo)，在拋物線上取一點，設(shè)拋物線在點A的切線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用求出斜率，得到切線方程，再根據(jù)圓心到切線方程的距離等于半徑，列出等式求得a的值，得到A點坐標(biāo)，同理，點A關(guān)于x
軸的對稱點也符合題意，利用兩點間距離公式即可求解.【詳解】解：由題意，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)點M在準(zhǔn)線上的投影為D，根據(jù)拋物線的定義可知，則，當(dāng)M，P，D三點共線時有最小值，結(jié)合圖像可知的最小值即為點P到準(zhǔn)線的距離，可得拋物線，焦點，拋物線上取一點，設(shè)拋物線在點A的切線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，，解得切線l的方程為，整理得，又因為切線與圓相切，設(shè)切點為B，由圓M的方程可知圓心，，
則，解得（舍去）或，所以，同理，點A關(guān)于x軸的對稱點，也符合題意則故答案：3；.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟．17.在數(shù)列中,.（1）求;（2）設(shè),求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用累加法求出數(shù)列的通項公式;（2）由（1）可得,利用裂項相消法計求和即可.【小問1詳解】因為,,所以,又,所以.因為也滿足,所以.【小問2詳解】
因為,所以,即.18.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，試問過點向曲線可作幾條切線？【答案】（1）（2）2【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得出關(guān)于實數(shù)的不等式，求解即可.（2）設(shè)出切點，根據(jù)切線的幾何意義得出斜率，求出切線方程，聯(lián)立求出關(guān)于切點橫坐標(biāo)的方程，求出的個數(shù)即可求解.【小問1詳解】依題意，因為，所以的定義域為，，若在上單調(diào)遞減，則有在上恒成立，即恒成立，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為：.【小問2詳解】
當(dāng)時，且點不在上，所以，設(shè)切線方程的斜率為，切點為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，則有，又切線過點，所以切線方程可設(shè)為，則有，，所以，整理得，令，則，所以在時，，單調(diào)遞減；在，，單調(diào)遞增；所以在處取得最小值，又，所以在有一零點，又因為，，由零點存在性定理可知，在必有一個根，使得成立，綜上，方程有兩個解，所以過點向曲線可作2條切線.19.如圖，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側(cè)棱A1A⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=2，AA1=AB=4，E為棱AA1的中點．
（1）證明：BC⊥C1E．（2）設(shè)=λ（0<λ<1），若C1到平面BB1M的距離為，求λ．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法證明直線垂直；（2）用空間向量法求點面距，根據(jù)條件列方程求出參數(shù)值．【小問1詳解】以A為坐標(biāo)原點，AD，AA1，AB所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，,所以=，=，所以·=2×2+0+2×=0，所以⊥，故BC⊥C1E；【小問2詳解】因=，=，所以=+=+λ=，
設(shè)平面BB1M的法向量為，則，令x=1+λ，則，因為=，所以C1到平面BB1M的距離，解得．20.已知等比數(shù)列滿足是的等差中項，數(shù)列的前項和為．（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等差中項性質(zhì)列式計算求出公比，即可求出通項公式；（2）求出的通項公式，寫出通項，通過分組求和和錯位相減求和即可得到.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為q，因為是的等差中項，所以可列式：，化簡可得，解得，故小問2詳解】由（1）可知，則設(shè)，數(shù)列的前n項和為①②得
21.法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾·蒙日創(chuàng)立的《畫法幾何學(xué)》對世界各國科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響深遠．在雙曲線-=1（a>b>0）中，任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，它的圓心是雙曲線的中心，半徑等于實半軸長與虛半軸長的平方差的算術(shù)平方根，這個圓被稱為蒙日圓．已知雙曲線C：-=1（a>b>0）的實軸長為6，其蒙日圓方程為x2+y2=1．（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)D為雙曲線C的左頂點，直線l與雙曲線C交于不同于D的E，F(xiàn)兩點，若以EF為直徑的圓經(jīng)過點D，且DG⊥EF于G，證明：存在定點H，使|GH|為定值．【答案】（1）-=1（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線性質(zhì)與蒙日圓的定義即可求解；（2）設(shè)出直線與雙曲線聯(lián)立消，求出韋達定理的表達式，根據(jù)DG⊥EF求出的關(guān)系式，代入直線即可求出定點H.【小問1詳解】由題意知a=3，因為雙曲線C的蒙日圓方程為x2+y2=1，所以a2-b2=1，所以b=2，故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1，【小問2詳解】證明：設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2）．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l的方程為y=kx+m，
聯(lián)立方程組化簡得（8-9k2）x2-18kmx-（9m2+72）=0，則Δ=（18km）2+4（9m2+72）（8-9k2）>0，即m2-9k2+8>0，且因為·=（x1+3）（x2+3）+y1y2=0，所以（k2+1）·x1x2+（km+3）（x1+x2）+m2+9=（k2+1）·+（km+3）·+m2+9=0，化簡得m2-54km+153k2=（m-3k）（m-51k）=0，所以m=3k或m=51k，且均滿足m2-9k2+8>0當(dāng)m=3k時，直線l的方程為y=k（x+3），直線過定點（-3，0），與已知矛盾，當(dāng)m=51k時，直線l的方程為y=k（x+51），過定點M（-51，0）當(dāng)直線l的斜率不存在時，由對稱性不妨設(shè)直線DE：y=x+3，聯(lián)立方程組得x=-3（舍去）或x=-51，此時直線l過定點M（-51，0）．因為DG⊥EF，所以點G在以DM為直徑的圓上，H為該圓圓心，|GH|為該圓半徑．故存在定點H（-27，0），使|GH|為定值24.【點睛】（1）解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去或建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.（2）涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.22.已知函數(shù)．（1）求在上的極值；（2）若，求的最小值．【答案】（1）為極小值，無極大值.
（2）【解析】【分析】(1)求導(dǎo)后，借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，借助單調(diào)性分析極值的情況；(2)令,令，設(shè)，再借助導(dǎo)函數(shù)的正負性，分析原函數(shù)的單調(diào)性確定極值，再反推的單調(diào)性，判斷極大值情況.【小問1詳解】，令，得，在為負，單調(diào)遞減，在為正，單調(diào)遞增，故為極小值，無極大值.【小問2詳解】由題知,令，令，則，設(shè)則，，為正，在單調(diào)遞增，，為負，在單調(diào)遞減，故為極大值，若，即，此時，則在單調(diào)遞減，又，所以時，在單調(diào)遞增，時，，在單調(diào)遞減，故為極大值，所以，則當(dāng)時，符合條件；，即此時，
存在，在上；，則在單調(diào)遞增，又，則在區(qū)間上所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，則，不滿足條件.綜上所述的最小值為.
