吉林省長春外國語學校2023-2024學年高二下學期開學考試 數(shù)學 Word版含解析.docx

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長春外國語學校2023-2024學年第二學期高二年級開學考試數(shù)學試卷本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共2頁?？荚嚱Y(jié)束后，將答題卡交回。注意事項：1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。第I卷（選擇題）一、單選題（本題共8小題，每題5分，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．已知向量，且，則（????）A．B．C．D．2．在等比數(shù)列中，，，則公比（????）A．B．C．D．3．若直線經(jīng)過點和圓C：的圓心,并且與直線垂直,則m的值為（????）A．-4B．4C．-1D．14．設(shè)點P，Q分別為直線與直線上的任意一點，則的最小值為（????）A．1B．2C．D．5．設(shè)是等差數(shù)列的前項和，若，則（????）A．B．C．D．6．下列命題正確的個數(shù)是（???????）①若A，B，C，D是空間任意四點，則有= ②若向量所在的直線為異面直線，則向量一定不共面③若共線，則與所在直線平行④對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若(其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點共面A．0B．1C．2D．37．正方體的棱長為為棱中點，為正方形內(nèi)（舍邊界）的動點，若，則動點的軌跡長度為（????）A．B．C．D．8．已知橢圓的左、右焦點分別為的上頂點為M，且，雙曲線和橢圓有相同的焦點，P為與的一個公共點.若（O為坐標原點），則的離心率（????）A．B．C．D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，有選錯的得0分。若只有2個正確選頂，每選對一個得3分;若只有3個正確選項，每選對一個得2分。）9．直線，圓，下列結(jié)論正確的是（????）A．直線恒過定點B．直線與圓必有兩個交點C．直線與圓的相交弦長的最大值為D．當時，圓上存在3個點到直線距離等于110．數(shù)列中，，，若，都有恒成立，則（????）A．為等差數(shù)列B．為等比數(shù)列C．D．實數(shù)的最小值為11．已知拋物線的焦點為F，點P在拋物線上，點，點P到點Q和到y(tǒng) 軸的距離分別為，則（????）A．拋物線C的準線方程為B．若，則周長的最小值等于3C．若，則的最小值等于2D．若，則的最小值等于第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12．頂點在原點，焦點在y軸上，且過點的拋物線的標準方程是____________.13．在正方體中，點E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心，若，則______．14．已知，直線上存在點，滿足，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15．（13分）記為數(shù)列的前項和.(1)若為等差數(shù)列，且，求的最小值；(2)若為等比數(shù)列，且，求的值.16．（15分）已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓的離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過拋物線焦點的直線和拋物線相交于M，N兩點，,求直線方程.17．（15分）如圖，在圓錐DO中，D為圓錐頂點，AB為圓錐底面的直徑，O為底面圓的圓心，C為底面圓周上一點，四邊形OAED為矩形． （1）求證：平面BCD⊥平面ACE；（2）若，，，求平面ADE和平面CDE夾角的余弦值18．（17分）己知雙曲線的一條漸近線為，其虛軸長為為雙曲線上任意一點．(1)求雙曲線的方程；(2)求證：到兩條漸近線的距離之積為定值，并求出此定值；(3)若雙曲線的左頂點為，右焦點為，求的最小值．19.（17分）已知數(shù)列中，，（）.（1）求數(shù)列的通項；（2）求數(shù)列的前n項和；（3）若對于，使得恒成立，求實數(shù)的取值范圍.長春外國語學校2023-2024學年第二學期高二年級開學考試數(shù)學試卷答案一、選擇題12345678DACCDBAD91011ABDACBD 二.填空12.13.,14.三.解答題:15.【答案】(1)7(2)2【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列通項公式求得，進而求，解不等式即可；（2）根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列通項公式求得，，進而求，代入運算即可.【詳解】（1）設(shè)的公差為，由條件可得，解得，由，解得或，且，所以的最小值為7.（2）設(shè)的公比為，由條件可得，即，解得，則，所以.16.【答案】（1）（2）或【詳解】（1）拋物線的焦點坐標為，所以橢圓中，因為橢圓的離心率為，即，所以，，所以橢圓方程為（2）設(shè)過拋物線焦點的直線方程為，聯(lián)立得：，設(shè)，則，根據(jù)焦點弦公式可得：，解得：，，所以直線方程為或 17.【答案】(1)略(2)【解析】（1）∵AB為圓錐底面的直徑，C為底面圓周上一點，∴BC⊥AC．∵四邊形OAED為矩形，OD⊥平面ABC，∴AE//OD，AE⊥平面ABC，............................................................2分又平面ABC，，平面ACE，平面ACE，∴BC⊥平面ACE．又平面BCD，∴平面BCD⊥平面ACE．............................................................5分（2）以C為坐標原點，AC，BC所在直線分別為x，y軸，過點C且與OD平行的直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，，．......................................................7分設(shè)平面ADE的法向量為，則，即，令，得，所以．............................................................9分設(shè)平面CDE的法向量為，則，即，令，得，，所以，.....................................................11分所以，所以平面ADE和平面CDE夾角的余弦值為．............................................................12分 18.【答案】(1)(2)(3)-4（1）由題意可得，解得，因此，雙曲線的方程為(2)設(shè)，則，漸近線為，P到兩條漸近線的距離之積..................................................................5分（3）由已知，得，設(shè)或，在雙曲線上，所以，因此或，對稱軸為，由于或，所以當時，取得最小值為.....................12分19.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因為①，當時，②，由①②得，整理得到，又由， 當時，得到，即，............................................................2分故數(shù)列從第二項起，是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，即，又時，，所以.............................................................4分（2）由（1）知，當時，，當時，③，④，............................................................5分由③④得到，整理得，............................................................7分又時，，所以............................................8分（3）因為，等價于，當時.，...................................................9分由（1）知，當時，，設(shè)，則對恒成立，所以，故當時，，又，所以.........................................................................12分