甘肅省蘭州市2024屆高三下學(xué)期診斷考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）.docx

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2024年蘭州市高三診斷考試數(shù)學(xué)試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后.用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號框涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號框.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)化簡集合，即可由集合的并運算求解.【詳解】由得，所以，故選：D2.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點Z在第二象限，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點所在象限為（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】【分析】設(shè)，，利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷即可.詳解】設(shè)，，則，則，第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即復(fù)數(shù)對應(yīng)的點，位于第一象限.故選：A3.某校為了提高學(xué)生的安全意識，組織高一年級全體學(xué)生進(jìn)行安全知識競賽答題活動，隨機(jī)抽取8人的得分作為樣本，分?jǐn)?shù)從低到高依次為:84，85，87，87，90，a，b，99，若這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為94，則利用樣本估計此次競賽的平均分約為（）A.85B.86C.90D.95【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)以及平均數(shù)的計算即可求解.【詳解】由于，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為第六個和第七個數(shù)的平均數(shù)，故，故，故平均數(shù)為，故選：C4.已知，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用二倍角公式得到關(guān)于的方程，解得即可.【詳解】因為，則，又，所以，解得或（舍去）.故選：A5.已知雙曲線與雙曲線的離心率相同，雙曲線的頂點是雙曲線的焦點，則雙曲線的虛軸長為（）A.B.C.D.10第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出焦點坐標(biāo)與離心率，即可得到，，從而求出，即可得解.【詳解】雙曲線，則，，所以，即離心率，焦點坐標(biāo)為，依題意，，所以，則，所以雙曲線的虛軸長為.故選：B6.球面上兩點間距離的定義為：經(jīng)過球面上兩點的大圓在這兩點間劣弧的長度（大圓就是經(jīng)過球心的平面截球面所得的圓）．設(shè)地球的半徑為，若甲地位于北緯東經(jīng)，乙地位于北緯西經(jīng)，則甲、乙兩地的球面距離為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】分析甲、乙兩地的球心角，即可得解.【詳解】甲、乙兩地在北緯線上，所對圓心角為，即甲、乙兩地在北緯線所在小圓的直徑的兩端，且小圓的半徑，則，所以甲、乙兩地的球心角為，故甲、乙兩地的球面距離為.故選：C.7.數(shù)列滿足，，則（）A.5B.4C.2D.1【答案】B【解析】第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】由遞推公式得到，，，，即可找到規(guī)律，從而求出.【詳解】因為，，所以，，，，，，，，，又，所以.故選：B8.已知是定義在上的奇函數(shù)，且對于任意均有，當(dāng)時，，若（是自然對數(shù)的底），則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先分析函數(shù)的周期性與對稱性，畫出函數(shù)在上的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象可知在內(nèi)要滿足，只需，即可求出的范圍，再結(jié)合周期性即可得解.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以且圖象關(guān)于原點對稱，又，所以，所以，，，所以函數(shù)的周期為且函數(shù)圖象關(guān)于和對稱，又當(dāng)時，，所以在區(qū)間上的圖象如下所示：第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由圖可知，在內(nèi)要滿足，則，即，再根據(jù)函數(shù)的周期性可知.故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是由題意分析出函數(shù)的周期為且函數(shù)圖象關(guān)于和對稱，再結(jié)合函數(shù)在上的圖象.二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得3分，有選錯的得0分）9.某學(xué)校開展測量旗桿高度的數(shù)學(xué)建?；顒?，學(xué)生需通過建立模型、實地測量，迭代優(yōu)化完成此次活動．在以下不同小組設(shè)計的初步方案中，可計算出旗桿高度的方案有A.在水平地面上任意尋找兩點，，分別測量旗桿頂端的仰角，，再測量，兩點間距離B.在旗桿對面找到某建筑物（低于旗桿），測得建筑物的高度為，在該建筑物底部和頂部分別測得旗桿頂端的仰角和C.在地面上任意尋找一點，測量旗桿頂端的仰角，再測量到旗桿底部的距離D.在旗桿的正前方處測得旗桿頂端的仰角，正對旗桿前行5m到達(dá)處，再次測量旗桿頂端的仰角【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)各選項的描述，結(jié)合正余定理的邊角關(guān)系判斷所測數(shù)據(jù)是否可以確定旗桿高度即可.【詳解】對于A：如果，兩點與旗桿底部不在一條直線上時，就不能測量出旗桿的高度，故A不正確．對于B：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故B正確；第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 對于C：在直角三角形直接利用銳角三角函數(shù)求出旗桿的高，故C正確；對于D：如下圖，中由正弦定理求，則旗桿的高，故D正確；故選：BCD.10.英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，經(jīng)他研究，隨機(jī)事件，存在如下關(guān)系:．對于一個電商平臺，用戶可以選擇使用信用卡、支付寶或微信進(jìn)行支付．已知使用信用卡支付的用戶占總用戶的，使用支付寶支付的用戶占總用戶的，其余的用戶使用微信支付．平臺試運營過程中發(fā)現(xiàn)三種支付方式都會遇到支付問題，為了優(yōu)化服務(wù)，進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)：出現(xiàn)支付問題的概率是，若一個遇到支付問題的用戶，使用三種支付方式支付的概率均為，則以下說法正確的是（）A.使用信用卡支付的用戶中有的人遇到支付問題B.使用支付寶支付遇到支付問題與使用微信支付遇到支付問題的概率不同C.要將出現(xiàn)支付問題的概率降到，可以將信用卡支付通道關(guān)閉D.減少微信支付的人數(shù)有可能降低出現(xiàn)支付問題的概率【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)貝葉斯公式分別求出使用信用卡，支付寶、微信支付出現(xiàn)支付問題的概率即可判斷.第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【詳解】設(shè)、、分別表示事件使用信用卡支付、使用支付寶支付、使用微信支付，表示事件出現(xiàn)支付問題，則，，，所以，即使用信用卡支付的用戶中有的人遇到支付問題，故A正確；因為，，即使用支付寶支付遇到支付問題與使用微信支付遇到支付問題的概率相同，故B錯誤；因為使用信用卡支付的用戶中有的人遇到支付問題，而使用微信支付的用戶中只有的人遇到支付問題，故減少信用卡支付的人數(shù)有可能降低出現(xiàn)支付問題的概率，故D錯誤；要將出現(xiàn)支付問題的概率降到，可以將信用卡支付通道關(guān)閉，故C正確；故選：AC11.半徑長為1米的車輪勻速在水平地面上向前滾動（無滑動），輪軸每秒前進(jìn)米．運動前車輪著地點為，若車輪滾動時點距離地面的高度（米）關(guān)于時間t（秒）的函數(shù)記為，則以下判斷正確的是（）A.對于，都有B.在區(qū)間上為增函數(shù)C.D.對于，都有【答案】BD【解析】【分析】首先求出周期，即可判斷A，記車輪運動時著地點為，則秒時，從而得到的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】因為車輪的半徑為米，則周長為米，又輪軸每秒前進(jìn)米，第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以的最小正周期，所以對于，都有，故A錯誤；記車輪運動時著地點為，則秒時，所以，令，，解得，，所以在區(qū)間上為增函數(shù)，故B正確；又，所以在區(qū)間內(nèi)圖象關(guān)于對稱，即對于，都有，故D正確；又，故C錯誤.故選：BD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數(shù)（e是自然對數(shù)的底）在處的切線方程是________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)可得斜率，即可求解直線方程.【詳解】因為，故，，所以切線方程為，故答案為：13.等邊三角形ABC中，點D是AC的中點，點E是BC上靠近點C的三等分點，________．第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量數(shù)量積公式求解.【詳解】以邊所在的直線為軸，過點且與垂直的直線為軸，設(shè)等邊三角形的邊長為，則，，，，即，,∴，故答案為：.14.如圖在四棱柱中，側(cè)面為正方形，側(cè)面為菱形，，、分別為棱及的中點，在側(cè)面內(nèi)（包括邊界）找到一個點，使三棱錐與三棱錐的體積相等，則點P可以是________（答案不唯一），若二面角的大小為，當(dāng)取最大值時，線段長度的取值范圍是________．【答案】①.的中點，（答案不唯一，點在與的中點的連線段上即可）②.第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】【分析】取棱及的中點、，連接、，、，，即可證明平面平面，即可得到點在線段上，過點作交于點，在平面內(nèi)過點作，即可得到為二面角為平面角，易知，即可求出的最大值，此時，即為正方形，從而求出，，，即可求出線段長度的取值范圍.【詳解】取棱及的中點、，連接、，、，，因為、分別為棱及中點，所以，，則，又且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又點在側(cè)面內(nèi)（包括邊界），且三棱錐與三棱錐的體積相等，當(dāng)點在線段上時，點到平面的距離與點到平面的距離相等，此時三棱錐與三棱錐的體積相等，所以點在線段上，即點在與的中點的連線段上.過點作交于點，在平面內(nèi)過點作，因為側(cè)面為正方形，所以，所以為二面角為平面角，又二面角的大小為，所以，易知，又側(cè)面為菱形，，所以，所以，所以當(dāng)取最大值時，，即為正方形，在中，，所以，第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在中，，所以，又，所以，所以，即為直角三角形且，所以當(dāng)點在線段上運動時，即線段長度的取值范圍為.故答案為：的中點，（答案不唯一，點在與的中點的連線段上即可），．【點睛】關(guān)鍵點點睛：第一問關(guān)鍵是構(gòu)造面面平行，從而確定點的軌跡，第二問關(guān)鍵是確定二面角的平面角，從而得到的最大值，以及此時所滿足的幾何關(guān)系.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）15.若一個平面多邊形任意一邊所在的直線都不能分割這個多邊形，則稱這樣的多邊形為凸多邊形，凸多邊形不相鄰兩個頂點的連線段稱為凸多邊形的對角線．用表示凸邊形對角線的條數(shù)．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前n項和為，求數(shù)列的前n項和，并證明．【答案】15.；16.，證明見詳解.【解析】【分析】（1）利用組合數(shù)公式依據(jù)題意求解數(shù)列通項公式；（2）利用數(shù)列前項和與通項的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，接著根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式求出數(shù)列的前n項和即可.第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【小問1詳解】從個頂點中任選兩個頂點共有種選法，減去凸邊形的邊數(shù)即為該凸邊形對角線的條數(shù)，所以；【小問2詳解】設(shè)數(shù)列的前n項和，則，當(dāng)時，，當(dāng)時滿足，∴數(shù)列的通項公式為，∵，∴，.16.如圖，四棱錐中，底面，，，，，，，分別為，上一點，，．（1）當(dāng)平面時，求的值；（2）當(dāng)二面角的余弦值為時，求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由，即可得到第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，再由線面垂直得到，由計算可得；（2）利用空間向量法求出，從而求出平面的法向量，再計算線面角的正弦值.【小問1詳解】依題意如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，由，可得，所以，即，所以，因為平面，平面，所以，又，，所以，解得.【小問2詳解】設(shè)平面的法向量為，，，所以，取，又平面的法向量可以為，因為二面角的余弦值為，所以，解得，所以，又，設(shè)直線與平面所成角為，則，第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以與平面所成角的正弦值為.17.2024年高三數(shù)學(xué)適應(yīng)性考試中選擇題有單選和多選兩種題型組成．單選題每題四個選項，有且僅有一個選項正確，選對得5分，選錯得0分，多選題每題四個選項，有兩個或三個選項正確，全部選對得6分，部分選對得3分，有錯誤選擇或不選擇得0分．（1）已知某同學(xué)對其中4道單選題完全沒有答題思路，只能隨機(jī)選擇一個選項作答，且每題的解答相互獨立，記該同學(xué)在這4道單選題中答對的題數(shù)為隨機(jī)變量X．（i）求；（ii）求使得取最大值時的整數(shù)；（2）若該同學(xué)在解答最后一道多選題時，除確定B，D選項不能同時選擇之外沒有答題思路，只能隨機(jī)選擇若干選項作答．已知此題正確答案是兩選項與三選項的概率均為，求該同學(xué)在答題過程中使得分期望最大的答題方式，并寫出得分的最大期望．【答案】17.（i）；（ii）18.該同學(xué)選擇單選A或單選C的得分期望最大，最大值為分【解析】【分析】（1）（i）易知服從二項分布，據(jù)此計算；（ii）令，結(jié)合二項分布的概率公式得到不等式組，解得的取值范圍，再由為整數(shù)確定取值；（2）算出單選、雙選和三選條件下的數(shù)學(xué)期望，比較大小即可.【小問1詳解】（i）因為，所以．（ii）因為．依題意，即，解得，第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又為整數(shù)，所以，即時取最大值.【小問2詳解】由題知，選項不能同時選擇，故該同學(xué)可以選擇單選、雙選和三選．正確答案是兩選項的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率均為．正確答案是三選項的可能情況為，每種情況出現(xiàn)的概率為．若該同學(xué)做出的決策是單選，則得分的期望如下：（分），（分），若該同學(xué)做出的決策是雙選，則得分的期望如下：（分），（分）．若該同學(xué)做出的決策是三選，則得分的期望如下：（分）．經(jīng)比較，該同學(xué)選擇單選A或單選C的得分期望最大，最大值為分.【點睛】方法點睛：根據(jù)正確答案的所有可能結(jié)果，對答題情況進(jìn)行分類討論，計算每種答題情況的得分期望值，選擇最優(yōu)方案.18.已知圓過點，和，且圓與軸交于點，點是拋物線的焦點.（1）求圓和拋物線的方程；（2）過點作直線與拋物線交于不同的兩點，，過點，分別做拋物線的切線，兩條切線交于點，試判斷直線與圓的另一個交點是否為定點，如果是，求出點的坐標(biāo)；如果不是，說明理由．【答案】（1）圓：，拋物線：（2）是定點，【解析】第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】（1）依題意可知圓心在直線上，設(shè)圓心為，半徑為，再由圓過點，即可得到，，從而求出圓的方程，再令求出點坐標(biāo)，即可求出拋物線方程；（2）設(shè)直線的方程為，，過，點的拋物線的切線的斜率分別為、，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出過、點的切線方程，再聯(lián)立即可求出點坐標(biāo)，即可得到直線的方程，最后與圓的方程聯(lián)立求出交點坐標(biāo).【小問1詳解】因為圓過點和，所以圓心在直線上，設(shè)圓心為，半徑為，又圓過點，所以，，則圓的方程為，令，解得，所以，則，所以，所以拋物線的方程為.【小問2詳解】依題意直線的斜率必存在，不妨設(shè)為，則直線的方程為，即，由整理得，其中，解得或，則，，設(shè)，，過，點的拋物線的切線的斜率分別為、，又，所以，則、，所以過點的切線方程為，即，同理可得過點的切線方程為，由，解得，即，第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以點在直線上，而點也在直線上，所以直線與圓的另一個交點就是直線與圓的交點，由，解得或，所以直線與圓的另一個交點為定點.【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解19.定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點A，B的坐標(biāo)分別為，，那么稱為A，B兩點間的曼哈頓距離．（1）已知點，分別在直線，上，點與點，的曼哈頓距離分別為，，求和的最小值；（2）已知點N是直線上的動點，點與點N的曼哈頓距離的最小值記為，求的最大值；（3）已知點，點（k，m，，e是自然對數(shù)的底），當(dāng)時，第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 的最大值為，求的最小值．【答案】（1）的最小值為；的最小值為（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由曼哈頓距離的定義，代入計算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由曼哈頓距離的定義即可得到，從而得到的最大值；（3）根據(jù)題意，令，然后分別構(gòu)造函數(shù)，即可得到，從而得到結(jié)果.【小問1詳解】，則，即的最小值為；，則，即的最小值為.【小問2詳解】當(dāng)時，，點為直線上一動點，則當(dāng)時，第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 即；當(dāng)時，，即；所以，又當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的最大值為.【小問3詳解】令，則，，，令，則在區(qū)間內(nèi)成立，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則，令，則在區(qū)間內(nèi)成立，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以，所以，當(dāng)且時，取最小值，的最小值【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了新概念問題，難度較大，解答問題的關(guān)鍵在于理解題中曼哈頓距離的定義，然后轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識求解問題.第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 第20頁/共20頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司