山東省菏澤市2024屆高三下學(xué)期一?？荚嚁?shù)學(xué)試題（解析版）.docx

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2024年高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試題一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知樣本數(shù)據(jù)為、、、、、、，去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，下列數(shù)字特征一定不變的是（）A.極差B.平均數(shù)C.中位數(shù)D.方差【答案】C【解析】【分析】由數(shù)據(jù)特征可直接判斷.【詳解】樣本數(shù)據(jù)為、、、、、、，去掉一個最大值和一個最小值后的數(shù)據(jù)與原來的數(shù)據(jù)相比，假設(shè)從小到大就是從到，極差可能變化，故A錯；平均數(shù)為，可能變，故B錯；中位數(shù)還是按從小到大排序中間位置的數(shù)，故C正確；方差為，有可能變，故D錯.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的虛部為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由，結(jié)合復(fù)數(shù)的化簡式和除法公式可直接求解.【詳解】由得，故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 3.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用交集的定義即可求解.【詳解】依題意，.故選：D.4.，的展開式中項(xiàng)的系數(shù)等于40，則是的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式通式的對應(yīng)關(guān)系求出，再由充分、必要條件判斷即可.【詳解】的展開式中含項(xiàng)為，故，解得，故“”是“”的充分不必要條件.故選：A5.已知向量，，若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由得到，結(jié)合得到方程組，求出，進(jìn)而得到余弦和正切值.【詳解】由得，又，故，即，第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 解得，故，故.故選：B6.已知，其中是奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，繼而判斷的取值范圍和大小關(guān)系，結(jié)合函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可比較大小，即得答案.【詳解】由于是奇函數(shù)且在上為增函數(shù)，故，當(dāng)時，，且為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，故，故選：C7.已知圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】先根據(jù)兩圓相交求出的范圍，然后兩圓方程相減求得直線的方程，進(jìn)而可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得出答案.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因?yàn)閮蓤A相交，則，即，解得，兩圓的方程相減得，即直線的方程為，當(dāng)時，直線的方程為，此時軸，與軸沒有交點(diǎn)，不符題意，當(dāng)時，令，得，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：B.8.若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，記在數(shù)列的前項(xiàng)中任取兩數(shù)都是正數(shù)的概率為，則（）第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用分類討論及通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，再利用組合數(shù)公式和古典概型的概率的計(jì)算公式求出概率的通式即可求解.【詳解】為奇數(shù)時，前項(xiàng)中有個奇數(shù)項(xiàng)，即有個正數(shù)，，，故A錯誤；為偶數(shù)時，前項(xiàng)中有個奇數(shù)項(xiàng)，即有個正數(shù)，，，，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)分類討論，利用組合數(shù)和古典概型的概率的計(jì)算公式求出概率的通式即可.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，令，則下列說法正確的有（）第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A.的最小正周期為B.的對稱軸方程為C.在上的值域?yàn)镈.的單調(diào)遞增區(qū)間為【答案】ACD【解析】【分析】先利用圖象求出的解析式，然后利用三角恒等變形公式化簡，對于A：直接求周期；對于B：令求對稱軸；對于C：求出的范圍，再利用余弦余弦求范圍；對于D：令可求單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】對于函數(shù)，由圖可知，則，所以，又，所以，解得，又，所以；第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，所以，對于A：的最小正周期為，A正確；對于B：對于，令，得的對稱軸方程為，B錯誤；對于C：當(dāng)時，，所以，即在上的值域?yàn)?，C正確；對于D：令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為，D正確；故選：ACD.10.如圖，在棱長為2的正方體中，為側(cè)面上一點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則過P、Q、三點(diǎn)的截面為四邊形B.若點(diǎn)為中點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為C.不存在點(diǎn)，使D.與平面所成角的正切值最小為【答案】AB第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【解析】【分析】全程采用建系法可驗(yàn)證ABCD選項(xiàng)的正確性，由向量平行可驗(yàn)證A；由線面角的正弦公式驗(yàn)證B，由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算驗(yàn)證C，由線面角的正弦公式可求最小值，進(jìn)而求出正切值.【詳解】如圖，以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，對于A項(xiàng)，連接P、、Q、四點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時，，，，，，，，所以為平行四邊形，A正確；對B，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，則與平面所成角的正弦值為，故B正確；對C，可設(shè)，，，，，，令第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，即，顯然能取到，故C錯誤；對D，當(dāng)與平面所成角的正切值最小時，與平面所成角的正弦值也最小，，設(shè)的法向量為，則與平面所成角的正弦值為，當(dāng)或2，時，，由三角函數(shù)可得與平面所成角的正切值最小為，故D錯誤.故選：AB11.如圖，過點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，連接、，并延長，分別交直線于M，N兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中一定成立的有（）A.B.以為直徑的圓與直線相切C.D.【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)出直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率公式，結(jié)合三角形的面積公式及直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法即可求解.【詳解】對于A，令，聯(lián)立，消可得，第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，，，則故，同理，故A正確；對于C，設(shè)與軸交于，，則，，故C正確；對于D，則，而，所以，故D正確；對于B，中點(diǎn)，即則到直線的距離，以為直徑的圓的半徑，第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 所以，當(dāng)時相切，當(dāng)時不相切，故B錯誤.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及斜率公式，結(jié)合三角形的面積公式及直線與圓的位置關(guān)系的判斷即可.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.如圖，在正四棱臺中，，，該棱臺體積，則該棱臺外接球的表面積為__________．【答案】【解析】【分析】作出輔助線，找到球心的位置，求出外接球半徑，得到外接球表面積.【詳解】連接，取的中點(diǎn)，連接，則外接球球心在直線上，設(shè)球心為，如圖所示，則，則⊥平面，因?yàn)檎睦馀_中，，，故，所以，設(shè)四棱臺的高為，第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 故，解得，故，設(shè)，則，，故，解得，故半徑，故該棱臺外接球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接的問題時，解題的關(guān)鍵是確定球心的位置．對于外切的問題要注意球心到各個面的距離相等且都為球半徑；對于球的內(nèi)接幾何體的問題，注意球心到各個頂點(diǎn)的距離相等，解題時要構(gòu)造出由球心到截面圓的垂線段、小圓的半徑和球半徑組成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半徑13.已知斜率為的直線過雙曲線的右焦點(diǎn)且交雙曲線右支于A、B兩點(diǎn)，在第一象限，若，則的離心率為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及直線的斜率公式，利用銳角三角函數(shù)及點(diǎn)在雙曲線上，結(jié)合齊次式及雙曲線的離心率的公式即可求解.【詳解】過作軸，垂足為.如圖所示的斜率為，則,,第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在雙曲線上，即，于是有，進(jìn)而得出，解得或（舍），，即（負(fù)舍），故的離心率為.故答案為：.14.關(guān)于的不等式恒成立，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】由，得，利用導(dǎo)數(shù)證明，則問題轉(zhuǎn)化為恒成立，即可得解.【詳解】令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，由，得，而，令，則，所以，若，如圖作出函數(shù)的圖象，第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 由函數(shù)圖象可知，方程有唯一實(shí)數(shù)根，即，由，得，即，當(dāng)時，，即，又，，所以，所以不成立，即當(dāng)時，不恒成立，綜上所述，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：（1）通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；（2）利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．（3）根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，，求證：．【答案】（1）第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）證明見解析【解析】【分析】（1）利用與項(xiàng)的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式即可求解；（2）利用（1）的結(jié)論及對數(shù)的運(yùn)算，利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前項(xiàng)和即可求解.小問1詳解】由①，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，②，①-②，得，數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，．經(jīng)驗(yàn)證符合上式，所以．【小問2詳解】由（1）知，，．則，故，所以，，，故.16.某商場舉行“慶元宵，猜謎語”的促銷活動，抽獎規(guī)則如下：在一個不透明的盒子中裝有若干個標(biāo)號為1，2，3的空心小球，球內(nèi)裝有難度不同的謎語．每次隨機(jī)抽取2第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 個小球，答對一個小球中的謎語才能回答另一個小球中的謎語，答錯則終止游戲．已知標(biāo)號為1，2，3的小球個數(shù)比為1：2：1，且取到異號球的概率為．（1）求盒中2號球的個數(shù)；（2）若甲抽到1號球和3號球，甲答對球中謎語的概率和對應(yīng)獎金如表所示，請幫甲決策猜謎語的順序（猜對謎語的概率相互獨(dú)立）球號1號球3號球答對概率0.80.5獎金100500【答案】（1）4個（2）推薦甲先回答3號球中的謎語再回答1號球中的謎語【解析】【分析】（1）由取到異號球的概率為，設(shè)1，2，3號球的個數(shù)分別為n，，n，列方程求解；（2）分先回答1號球中的謎語和先回答3號球中的謎語兩種情況，分別計(jì)算獎金的數(shù)學(xué)期望，比較后得結(jié)論.【小問1詳解】由題意可設(shè)1，2，3號球的個數(shù)分別為n，，n，則取到異號球的概率，，即．解得．所以盒中2號球的個數(shù)為4個．【小問2詳解】若甲先回答1號球再回答3號球中的謎語，因?yàn)椴聦χi語的概率相互獨(dú)立，記為甲獲得的獎金總額，則可能的取值為0元，100元，600元，，，第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ．X的分布列為X0100600P0.20.40.4的均值為，若甲先回答3號球再回答1號球，因?yàn)椴聦χi語的概率相互獨(dú)立，記Y為甲獲得的獎金總額，則Y可能的取值為0元，500元，600元，．Y的分布列為Y0500600P0.50.10.4的均值為，因?yàn)?，所以推薦甲先回答3號球中的謎語再回答1號球中的謎語．17.如圖，已知為等腰梯形，點(diǎn)為以為直徑的半圓弧上一點(diǎn)，平面平面，為的中點(diǎn)，，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）．【解析】第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，即可證明為平行四邊形，從而得到，即可得證；（2）取中點(diǎn)為，連接，由面面垂直的性質(zhì)得到平面，過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.【小問1詳解】取的中點(diǎn)，連接，，則且，又且，且．為平行四邊形，．又平面，平面，平面．【小問2詳解】取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)闉榈妊菪危?，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，過點(diǎn)作直線的垂線交于點(diǎn)，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．為直徑，，，，．在等腰梯形中，，，所以，，，，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 則，，令則，．，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面與平面所成的角為，則，平面與平面所成角的余弦值為．18.如圖，已知橢圓與軸的一個交點(diǎn)為，離心率為，，為左、右焦點(diǎn)，M，N為粗圓上的兩動點(diǎn)，且．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)，的斜率分別為，，求的值；（3）求△面積的最大值．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)離心率、的值以及，求出和，即可求得橢圓方程；第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）設(shè)直線、傾斜角分別為、，根據(jù)圖中的幾何關(guān)系可知，即可求得的值，（3）將直線與橢圓方程聯(lián)立可求出和的坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式以及數(shù)量積公式將△面積表示為含有的表達(dá)式，利用換元法求出最值即可.【小問1詳解】由題意得，，解之得，∴橢圓的方程為；【小問2詳解】由（1）知，所以，設(shè)直線、、傾斜角分別為、、、，則，，，則，所以，所以，所以，即．【小問3詳解】設(shè)直線，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，，∴，同理得，由（2）知，，第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 又，同理，，，∴，∴，，，令，則，當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值是．19.帕德近似是法國數(shù)學(xué)家亨利．帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，．（注：，，，，…；為的導(dǎo)數(shù)）已知第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 在處的階帕德近似為．（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）比較與的大??；（3）若在上存在極值，求的取值范圍．【答案】（1），；（2）答案見解析；（3）．【解析】【分析】（1）由，，列方程組求實(shí)數(shù)a，b的值；（2）令利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，又，可比較與的大??；（3）由在上存在極值，所以在上存在變號零點(diǎn)，通過構(gòu)造函數(shù)分類討論，對的零點(diǎn)進(jìn)行分析．【小問1詳解】由，，有，可知，，，，由題意，，，所以，所以，．【小問2詳解】由（1）知，，令，則，所以在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，又，第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 時，；時，；所以時，；時，．【小問3詳解】由，．由在上存在極值，所以在上存在變號零點(diǎn)．令，則，．①時，，為減函數(shù)，，在上為減函數(shù)，，無零點(diǎn)，不滿足條件．②當(dāng)，即時，，為增函數(shù)，，在上為增函數(shù)，，無零點(diǎn)，不滿足條件．③當(dāng)，即時，令即，．當(dāng)時，，為減函數(shù)；時，，為增函數(shù)，；令，，，在時恒成立，在上單調(diào)遞增，，恒成立；，，，則，，第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ；，令，令，，則在是單調(diào)遞減，，所以，，令，則，，．，即．由零點(diǎn)存在定理可知，在上存在唯一零點(diǎn)，又由③知，當(dāng)時，，為減函數(shù)，，所以此時，，在內(nèi)無零點(diǎn)，在上存在變號零點(diǎn)，綜上所述實(shí)數(shù)m的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，而構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.第24頁/共24頁學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司