熱點3-3 正弦定理與余弦定理（8題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）.docx

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熱點3-3正弦定理與余弦定理“解三角形”是每年高考?？純?nèi)容，在選擇題、填空題中考查較多，有時也會出現(xiàn)在解答題中。對于解答題，一是考查正弦定理、余弦定理的簡單應用；而是考查兩個定理的綜合應用，多與三角變換、平面向量等知識綜合命題。以實際生活為背景（如測量、航海、幾何天體運行和物理學上的應用等）考查解三角形問題，此類問題在近幾年高考中雖未涉及，但深受高考命題者的青睞，應給予關注；在高考試題中出現(xiàn)有關解三角形的試題大多數(shù)為容易題、中檔題?！绢}型1正、余弦定理解三角形邊與角】滿分技巧利用正、余弦定理求解三角形的邊角問題，實質(zhì)是實現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化，解題的思路是：1、選定理.（1）已知兩角及一邊，求其余的邊或角，利用正弦定理；（2）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊所對的角，利用正弦定理；（3）已知兩邊及其夾角，求第三邊，利用余弦定理；（4）已知三邊求角或角的余弦值，利用余弦定理的推論；（5）已知兩邊及其一邊的對角，求另一邊，利用余弦定理；2、巧轉(zhuǎn)化：化邊為角后一般要結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理與三角恒等變換進行轉(zhuǎn)化；若將條件轉(zhuǎn)化為邊之間的關系，則式子一般比較復雜，要注意根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特征靈活化簡.3、得結(jié)論：利用三角函數(shù)公式，結(jié)合三角形的有關性質(zhì)（如大邊對大角，三角形的內(nèi)角取值范圍等），并注意利用數(shù)形結(jié)合求出三角形的邊、角或判斷出三角形的形狀等?！纠?】（2024·全國·模擬預測）在中，，則（）A．B．C．D．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式1-1】（2024·全國·模擬預測）在中，，則（）A．B．C．D．【變式1-2】（2023·新疆·校聯(lián)考一模）在中，角的對應邊是，且，則（）A．B．C．D．【變式1-3】（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知在中，，，則（）A．B．C．D．【變式1-4】（2024·吉林長春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預測）在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若，且，求.【題型2正弦定理判定三角形解的個數(shù)】滿分技巧已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定；已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三角形不能被唯一確定。（1）從代數(shù)的角度分析：以已知和，解三角形為例由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質(zhì)可得：①若，則滿足條件的三角形的個數(shù)為0；②若，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1；③若，則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或者2；顯然由若可得有兩個值，一個大于，一個小于學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ，考慮“大邊對大角”、“三角形內(nèi)角和等于”等，此時需進行分類討論。（2）畫圖法：以已知角的對邊為半徑畫圓弧，通過與鄰邊的交點個數(shù)判斷解的個數(shù)在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：當A為銳角時：當A為鈍角時【例2】（2023·山東臨沂·高三?？茧A段練習）（多選）在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（）A．，，，有兩解B．，，，有兩解C．，，，只有一解D．，，，只有一解【變式2-1】（2022·河北張家口·高三校聯(lián)考期中）（多選）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，根據(jù)下列條件解三角形，其中有兩解的是（）A．B．C．D．【變式2-2】（2023·北京順義·高三牛欄山一中校考期中）在中，，，，滿足條件的（）A．有無數(shù)多個B．有兩個C．有一個D．不存在【變式2-3】（2023·浙江·模擬預測）在中，角所對的邊分別為.若，且該三角形有兩解，則的范圍是（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【變式2-4】（2023·安徽·池州市第一中學校聯(lián)考模擬預測）（多選）在中，，若滿足條件的三角形有兩個，則邊的取值可能是（）A．1.5B．1.6C．1.7D．1.8【題型3正、余弦定理判斷三角形形狀】滿分技巧判定三角形形狀的兩種常用途徑1、角化邊：利用正弦定理、余弦定理化角為邊，通過代數(shù)恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；2、邊化角：通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角變換得出三角形內(nèi)角之間的關系進行判斷【例3】（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考模擬預測）記的內(nèi)角的對邊分別為，，，若，則為（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【變式3-1】（2023·全國·高三專題練習）在中，，，分別為角，，的對邊，已知．若，，成等比數(shù)列，則是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形D．不確定【變式3-2】（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）中，，，分別是角，，的對邊，且，則的形狀為（）A．直角三角形B．銳角三角形C．直角或鈍角三角形D．鈍角三角形【變式3-3】（2022·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高三海拉爾第一中學校考階段練習）的內(nèi)角的對邊分別為，且，則的形狀為（）A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等邊三角形或直角三角形【變式3-4】（2024·新疆烏魯木齊·高三烏魯木齊市十二中?？茧A段練習）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則的形狀是（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．等腰三角形或直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等邊三角形【題型4求三角形（四邊形）的面積】滿分技巧1、常用的三角形面積公式：在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為a，b，c，邊，，邊上的高分別記作，，，為內(nèi)切圓半徑，為外接圓半徑，為內(nèi)切圓心。（1）（2）（3）（4）2、與三角形面積有關問題的解題策略（1）利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相關邊、角之后，直接求三角形的面積；（2）把面積作為已知條件之一，與正弦、余弦定理結(jié)合求出三角形的其他量?！纠?】（2024·江西上饒·高三?？茧A段練習）在中，，，分別為，，的對邊，且，，的面積為，那么等于（）A．B．C．D．【變式4-1】（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在中，，，，則的面積為.【變式4-2】（2023·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習）在中，角所對的邊分別為，已知成等差數(shù)列，，則的面積為（）A．3B．C．12D．16【變式4-3】（2024·重慶長壽·高三統(tǒng)考期末）在中，，且的面積為，則（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．2D．3【變式4-4】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）在三角形中，內(nèi)角的對邊分別為，，，已知，，，則的面積為（）A．B．C．D．【題型5三角形的外接圓問題】滿分技巧正弦定理：（其中為外接圓半徑）【例5】（2023·江蘇徐州·高三?？茧A段練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則外接圓的半徑為（）A．B．C．D．【變式5-1】（2023·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習）在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（）.A．B．C．D．3【變式5-2】（2022·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則外接圓的半徑為（）A．B．C．D．【變式5-3】（2022·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）在中,角，，所對的邊分別為，，，，則的外接圓面積為（）A．B．C．D．【變式5-4】（2023·湖南婁底·高三漣源市第一中學校聯(lián)考階段練習）在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，則的外接圓的面積為（）學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【題型6證明三角形中恒等式或不等式】【例6】（2024·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．（1）證明：；（2）記邊AB和BC上的高分別為和，若，判斷的形狀．【變式6-1】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）在中，角，，所對的邊長分別為，，，且滿足.（1）證明：；（2）如圖，點在線段的延長線上，且，，當點運動時，探究是否為定值？【變式6-2】（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．（1）證明：；（2）若，，求．【變式6-3】（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）證明：；（2）若，求的值．【變式6-4】（2024上·海南?？凇じ呷Ｄ现袑W?？茧A段練習）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為﹐已知．學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）若，求B；（2）證明：.【題型7距離、高度、角度的測量】滿分技巧解三角形的實際應用問題的類型及解題策略1、求距離、高度問題（1）選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．有時需設出未知量，從幾個三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的量．（2）確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理．2、求角度問題（1）分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步，畫圖時，要明確仰角、俯角、方位角以及方向角的含義，并能準確找到這些角．（2）將實際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正、余弦定理的綜合應用．【例7】（2023·江蘇南通·高三海門中學?？茧A段練習）如圖，某人為測量塔高，在河對岸相距的，處分別測得，，（其中，與塔底在同一水平面內(nèi)），則塔高（）A．B．C．D．【變式7-1】（2023·福建廈門·高三湖濱中學?？茧A段練習）如圖是隋唐天壇，古叫圜丘，它位于唐長安城明德門遺址東約950米，即今西安市雁塔區(qū)陜西師范大學以南．天壇初建于隋而廢棄于唐末，比北京明清天壇早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之處．某數(shù)學興趣小組為了測得天壇的直徑，在天壇外圍測得AB＝60米，BC＝60米，CD＝40米，∠ABC＝60°，∠BCD＝120°，據(jù)此可以估計天壇的最下面一層的直徑AD大約為(結(jié)果精確到1米)(參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732，≈2.236，學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 ≈2.646)（）A．53B．55C．57D．60【變式7-2】（2023·寧夏石嘴山·石嘴山市第三中學校考模擬預測）某校學生參加課外實踐活動“測量一土坡的傾斜程度”，在坡腳A處測得，沿土坡向坡頂前進后到達D處，測得．已知旗桿，土坡對于地平面的坡角為，則（）A．B．C．D．【變式7-3】（2022·吉林·統(tǒng)考模擬預測）位于燈塔A處正西方向相距nmile的B處有一艘甲船需要海上救援，位于燈塔A處北偏東45°相距nmile的C處的一艘乙船前往營救，則乙船的目標方向線（由觀測點看目標的視線）的方向是南偏西（）A．30°B．60°C．75°D．45°【變式7-4】（2024·全國·高三專題練習）鄂州十景之一“二寶塔”中的文星塔位于文星路與南浦路交匯處，至今已有四百六十多年的歷史，該塔為八角五層樓閣式磚木混合結(jié)構(gòu)塔.現(xiàn)在在塔底共線三點、、處分別測塔頂?shù)难鼋菫?、、，且m，則文星塔高為m.【題型8正余弦定理與三角函數(shù)綜合】【例8】（2024·甘肅蘭州·高三?？茧A段練習）已知函數(shù).學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）求函數(shù)的最值及取得最值時的取值集合；（2）設的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且，求的面積．【變式8-1】（2023·四川綿陽·高三南山中學?？茧A段練習）已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）在中，分別是角的對邊，若，，且的面積為，求外接圓的半徑.【變式8-2】（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系xOy中，點，，，點D是線段EF上靠近點F的三等分點，且．（1）求函數(shù)的最小值；（2）在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，，，的面積為，求a的值．【變式8-3】（2023·福建泉州·高三德化第一中學校聯(lián)考階段練習）已知函數(shù)（1）當，求的最值，及取最值時對應的的值；（2）在中，為銳角，且，求的面積．【變式8-4】（2023·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學?？茧A段練習）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，內(nèi)切圓面積為，求的最小值；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （建議用時：60分鐘）1．（2024·四川自貢·統(tǒng)考一模）在中角所對邊滿足，則（）A．4B．5C．6D．6或2．（2023·海南·校考模擬預測）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，已知，，，則（）A．B．C．D．3．（2022·全國·高三校聯(lián)考專題練習）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c若a，b，c成等比數(shù)列，且，則（）A．B．C．D．4．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期末）若在中滿足：則邊上的高為（）A．B．C．D．5．（2023·新疆·高三校聯(lián)考期中）在中，已知向量，向量，若，則（）A．B．C．D．16．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預測）在中，，，且的面積為，則（）A．B．C．D．7．（2023·全國·模擬預測）在中，，則下列結(jié)論不成立的是（）A．B．C．D．8．（2024·全國·模擬預測）已知中，角的對邊分別是，且，的外接圓半徑為，邊上的高為2，則（）A．5B．6C．8D．9學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 9．（2024·全國·模擬預測）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（）A．B．C．D．10．（2023·江蘇南通·高三?？奸_學考試）塔是一種在亞洲常見的，有著特定的形式和風格的中國傳統(tǒng)建筑.如圖，為測量某塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點C與D，現(xiàn)測得，，米，在C點測得塔頂A的仰角為，則塔的總高度為（）A．B．C．D．11．（2024·遼寧大連·高三統(tǒng)考期末）（多選）在中，角的對邊分別是，若，，則（）A．B．C．D．的面積為12．（2024·廣東肇慶·統(tǒng)考模擬預測）（多選）若的三個內(nèi)角的正弦值為，則（）A．一定能構(gòu)成三角形的三條邊B．一定能構(gòu)成三角形的三條邊C．一定能構(gòu)成三角形的三條邊D．一定能構(gòu)成三角形的三條邊13．（2023·河北石家莊·高三石家莊市第二十七中學?？茧A段練習）（多選）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列四個命題中，正確的有（）A．當時，滿足條件的三角形共有1個B．若是鈍角三角形，則C．若，則D．當時，的周長為14．（2023·浙江湖州·高三湖州市第二中學?？计谥校ǘ噙x）已知的內(nèi)角所對的邊分別為，下列四個命題中正確的是（）A．若，則一定是等腰三角形學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 B．若，則是等腰三角形C．若，則一定是等邊三角形D．若，則是直角三角形15．（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）記△的內(nèi)角的對邊分別為，若，，則．16．（2024·四川攀枝花·統(tǒng)考二模）的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且，則．17．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預測）在中，角A，B，C所對應的邊為a，b，c.若的面積，其外接圓半徑，且，則.18．（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）在中，，，．（1）求A的大小；（2）求外接圓的半徑與內(nèi)切圓的半徑．19．（2023·山西·高三校聯(lián)考階段練習）如圖，在四邊形中，.（1）證明：.（2）證明：.20．（2023·上海靜安·高三?？茧A段練習）已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)在上的最大值；學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且求sinB的值.學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司學科網(wǎng)（北京）股份有限公司