重難點2-5 利用導(dǎo)數(shù)研究零點與隱零點（7題型+滿分技巧+限時檢測）（原卷版）.docx

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重難點2-5利用導(dǎo)數(shù)研究零點與隱零點導(dǎo)數(shù)綜合問題中的零點問題在高考中常以解答壓軸題的形式出現(xiàn)。主要包含函數(shù)零點個數(shù)判斷與證明。主要考查：根據(jù)函數(shù)的零點個數(shù)或零點情況求參數(shù)的取值范圍、與零點相關(guān)的不等式恒成立或證明問題等，在高考中難度偏大?！绢}型1判斷函數(shù)零點的個數(shù)】滿分技巧1、判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法（1）直接研究函數(shù)，求出極值以及最值，畫出草圖。函數(shù)零點的個數(shù)問題即是函數(shù)圖象與軸交點的個數(shù)問題．（2）分離出參數(shù)，轉(zhuǎn)化為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的知識求出函數(shù)在某區(qū)間的單調(diào)性，求出極值以及最值，畫出草圖．函數(shù)零點的個數(shù)問題即是直線與函數(shù)圖象交點的個數(shù)問題．只需要用a與函數(shù)的極值和最值進行比較即可．2、處理函數(shù)與圖像的交點問題的常用方法（1）數(shù)形結(jié)合，即分別作出兩函數(shù)的圖像，觀察交點情況；（2）將函數(shù)交點問題轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)問題，也通過構(gòu)造函數(shù)，把交點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值，并作出草圖，根據(jù)草圖確定根的情況.【例1】（2023·湖北荊門·高三荊門市龍泉中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）的零點的個數(shù)為（）A．0B．1C．2D．3【變式1-1】（2023·四川成都·高三成都列五中學(xué)校考期末）函數(shù)的圖象與直線的交點個數(shù)為.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式1-2】（2024·云南德宏·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（）A．4B．5C．6D．7【變式1-3】（2023·四川攀枝花·統(tǒng)考一模）已知定義在上的奇函數(shù)恒有，當(dāng)時，，已知，則函數(shù)在上的零點個數(shù)為（）A．4B．5C．3或4D．4或5【題型2討論證明函數(shù)零點的個數(shù)】滿分技巧證明函數(shù)零點個數(shù)的方法與判斷零點個數(shù)的方法相似，多在解答題中進行考察。利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值（最值）及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)。注意：單調(diào)性+零點存在=唯一零點【例2】（2023·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，，且函數(shù)的零點是函數(shù)的零點．（1）求實數(shù)a的值；（2）證明：有唯一零點．【變式2-1】（2023·全國·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線；（2）若對任意，當(dāng)時，證明函數(shù)存在兩個零點．【變式2-2】（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中．（1）若的極小值為，求單調(diào)增區(qū)間；學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （2）討論的零點個數(shù)．【變式2-3】（2023·全國·重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）若是的極值點，求；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．【題型3根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)】滿分技巧1、分離參數(shù)后，將原問題轉(zhuǎn)化為的值域（最值）問題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點個數(shù)問題（優(yōu)先分離、次選分類）求解；2、利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)造不等式求解；3、轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解?！纠?】（2024·重慶·統(tǒng)考一模）（多選）已知函數(shù)，則在有兩個不同零點的充分不必要條件可以是（）A．B．C．D．【變式3-1】（2024·甘肅·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式3-2】（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)（1）求曲線在處的切線方程（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【變式3-3】（2024·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）若有且僅有1個零點，求的取值范圍.【題型4max、min函數(shù)的零點問題】【例4】（2022·江蘇徐州·高三期末）設(shè)，若函數(shù)有且只有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式4-1】（2022·山西朔州·高三懷仁市第一中學(xué)校?？计谀┮阎瘮?shù).（1）若過點可作的兩條切線，求的值.（2）用表示中的最小值，設(shè)函數(shù)，討論零點的個數(shù).【變式4-2】（2022·福建龍巖·高三福建省龍巖第一中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)，，其中.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）用表示m，n的最大值，記，討論函數(shù)的零點個數(shù)【變式4-3】（2023·四川南充·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的極值；（2）用表示，中的最大值，記函數(shù)，當(dāng)時，討論函數(shù)在上的零點個數(shù).【題型5導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)的零點問題】學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 滿分技巧有關(guān)三角函數(shù)的零點問題處理主要手段有：（1）分段處理；（2）討論好單調(diào)性與端點（特殊點），注意高階函數(shù)的應(yīng)用，直接能清楚判斷所討論區(qū)間的單調(diào)性；（3）關(guān)注有關(guān)三角函數(shù)不等式放縮，有時候可優(yōu)化解題，避免繁雜的找點過程：；；【例5】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；（2）討論在區(qū)間上的零點個數(shù)，【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）若，求證：當(dāng)時，（2）若，求證：在上有且僅有三個零點，，（），且．【變式5-2】（2023·甘肅蘭州·高三蘭化一中?？计谀┮阎瘮?shù)（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;（2）當(dāng)時，試判斷函數(shù)零點的個數(shù)，并加以證明.【變式5-3】（2024·湖南邵陽·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，求證：當(dāng)時，恰有兩個零點.【題型6不含參函數(shù)的“隱零點”問題】滿分技巧1、不含參函數(shù)的“隱零點”問題的解策略：已知不含參函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有：①關(guān)系式成立；②注意確定的合適范圍.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 2、“虛設(shè)零點”的具體操作方法：第一步：用零點存在性定理判定導(dǎo)函數(shù)零點的存在性，列出零點方程，并結(jié)合的單調(diào)性得到零點的范圍；這里應(yīng)注意，確定隱性零點范圍的方式是多種多樣的，可以由零點的存在性定理確定，也可以由函數(shù)的圖象特征得到，甚至可以由題設(shè)直接得到，等等；至于隱性零點范圍精確到多少，由所求解問題決定，因此必要時盡可能縮小其范圍；第二步：以零點為分界點，說明導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進而得到的最值表達式；這里應(yīng)注意，進行代數(shù)式的替換過程中，盡可能將目標(biāo)式變形為整式或分式，那么就需要盡可能將指、對數(shù)函數(shù)式用有理式替換，這是能否繼續(xù)深入的關(guān)鍵；第三步：將零點方程適當(dāng)變形，整體代入最值式子進行化簡證明；有時候第一步中的零點范圍還可以適當(dāng)縮?。畬?dǎo)函數(shù)零點雖然隱形，但只要抓住特征(零點方程)，判斷其范圍(用零點存在性定理)，最后整體代入即可．（即注意零點的范圍和性質(zhì)特征）【例6】（2024·浙江寧波·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；（2）記為的導(dǎo)函數(shù)，若對，都有，求的取值范圍．【變式6-1】（2024·河北邢臺·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）證明：．【變式6-2】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求整數(shù)的最大值．【變式6-3】（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，.（1）若函數(shù)只有一個零點，求實數(shù)的取值所構(gòu)成的集合；（2）已知，若，函數(shù)的最小值為，求的值域.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 【題型7含參函數(shù)的“隱零點”問題】滿分技巧含參函數(shù)的“隱零點”問題解題策略：已知含參函數(shù)，其中為參數(shù)，導(dǎo)函數(shù)方程的根存在，卻無法求出，設(shè)方程的根為，則有①有關(guān)系式成立，該關(guān)系式給出了的關(guān)系；②注意確定的合適范圍，往往和的范圍有關(guān).【例7】（2024·吉林長春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程，（2）當(dāng)時，判斷是否存在極值，并說明理由；（3），求實數(shù)的取值范圍.【變式7-1】（2024·江蘇·徐州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．（1）若，證明；（2）討論的極值點的個數(shù)．【變式7-2】（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）（1）求函數(shù)的極值；（2）若，證明：當(dāng)時，．【變式7-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，證明：.（建議用時：60分鐘）學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 1．（2022·河南·高三校聯(lián)考期末）若函數(shù)恰好有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．2．（2022·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)恰有2個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．3．（2024·廣西·模擬預(yù)測）若函數(shù)在上有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．4．（2023·廣東中山·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，.（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，討論與圖象的交點個數(shù)．5．（2023·四川綿陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)．（1）若為奇函數(shù)，求實數(shù)的值；（2）已知僅有兩個零點，證明：函數(shù)僅有一個零點．6．（2023·湖北黃岡·黃岡中學(xué)?？既＃┮阎瘮?shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的極值；（2）用表示中的最大值，記函數(shù)，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司 （1）若，證明：當(dāng)時，；（2）若在有一個零點，求.8．（2023·安徽蚌埠·高三固鎮(zhèn)縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍.學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司學(xué)科網(wǎng)（北京）股份有限公司