安徽省蕪湖市2022-2023學年高二下學期期末教學質(zhì)量統(tǒng)測 數(shù)學 Word版含解析.docx

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2022-2023學年度高二第二學期蕪湖市教學質(zhì)量統(tǒng)測數(shù)學試卷本試題卷共4頁，22小題，滿分100分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?學校?考場/座位號?班級?準考證號填寫在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卷上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試題卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)線內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將試題卷和答題卷一并交回.一?單項選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.本大題共8小題，每小題3分，共24分，請把正確的答案寫在答題卷上）1.經(jīng)過點，傾斜角為的直線的點斜式方程為（）A.B..CD.2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（）A.9B.0C.-3D.-63.某工廠生產(chǎn)的新能源汽車的某部件產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.76B.0.24C.0.26D.0.744.為拋物線的焦點，直線與拋物線交于兩點，則為（）A.B.C.D.5.在棱長為3的正四面體中，為的中點，為上靠近的三等分點，則為（） A.B.C.D.6.甲?乙?丙?丁?戊?已共6名同學進行數(shù)學文化知識比賽，決出第1名到第6名的名次.甲?乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都不是第一名.”對乙說：“你和丙的名次是相鄰的.”從對這兩人回答分析，這6人的名次排列的所有可能不同情況有（）種.A.144B.156C.168D.1927.客機越來越普及之后，為了減少空氣阻力?降低油耗以及減少亂流，飛機開始越來越往高空飛，飛機的機身也因此做了很多調(diào)整，其中一項調(diào)整是機艙必須加壓，好讓旅客在內(nèi)部能夠生存，為了更好地分散機窗壓力，工程師將最開始的方形窗戶改為橢圓形窗戶如圖1所示，使其均勻受壓，飛機更為安全.一縷陽光從飛機窗戶射入，在機艙地面上形成輪廓為圓的光斑，如圖2所示.若光線與地面所成角為60°，則橢圓的離心率為（）AB.C.D.8.已知，則下列不等關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.二?多項選擇題（在每小題給出的四個選項中，有多個選項是正確的.本大題共4小題，每小題4分，共16分，每題全部選對的得4分，部分選對得2分，有選錯得0分.請把正確的答案寫在答題卷上）9.下列說法正確的有（）A.隨機變量的方差越大，則隨機變量的取值與均值的偏離程度越大B.隨機拋擲質(zhì)地均勻的硬幣100次，出現(xiàn)50次正面向上的可能性為C.根據(jù)分類變量與的樣本數(shù)據(jù)計算得到，根據(jù)小概率 的獨立性檢驗（），可判斷與有關(guān)，且犯錯誤的概率不超過0.05D.若變量關(guān)于變量的經(jīng)驗回歸方程為時，則變量與負相關(guān)10.已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線切線斜率可以是-1B.曲線的切線斜率可以是2C.過點且與曲線相切的直線有且只有1條D.過點且與曲線相切的直線有且只有2條11.一個不透明的袋子里，裝有大小相同的個紅球和個白球，每次從中不放回地取出一球，現(xiàn)取出個球，則下列說法正確的是（）A.兩個都是紅球的概率為B.在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為C.第二次取到紅球的概率為D.第二次取到紅球的條件下，第一次取到白球的概率為12.已知數(shù)列有無限項且滿足：，其中為大于0的常數(shù)，則下列說法正確的有（）A.當時，若數(shù)列是等差數(shù)列，則B.當時，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則C.存在，數(shù)列單調(diào)遞增數(shù)列D.任意，數(shù)列不可能是單調(diào)遞增數(shù)列三?填空題（本大題共有4小題，每小題4分，共16分，請把正確的答案寫在答題卷上）13.已知函數(shù)，則__________.14.在的展開式中，含的項的系數(shù)是__________.15.已知圓，若圓上存在兩點使得為等邊三角形，則的取值范圍為__________.16.俄羅斯方塊游戲，是一款由俄羅斯人阿列克謝· 帕基特諾夫發(fā)明的休閑游戲，它的玩法就是用一些隨機出現(xiàn)的幾何圖案去填充平面區(qū)域，消去一行就會有得分，如果一次能消去多行，則會得到很多額外的獎勵分，但這會承擔一定的風險，因為這些隨機的圖案是需要通過適當?shù)钠揭苹蛐D(zhuǎn)后才可能被放置到合適的空位上去的，當剩余的內(nèi)容太多時，就不容易做這些操作，而導致失敗.已知這些隨機出現(xiàn)的圖案都是由若干塊相同的小正方形拼接在一起構(gòu)成的，要求相鄰的兩個正方形必須有一條公共邊相連.如果相同小正方形的個數(shù)為n，記用它們構(gòu)成的不同圖案總數(shù)為（通過平移或旋轉(zhuǎn)后重合的視為同一個圖案）.已知，則__________.四?解答題（本大題共6題，共44分，解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟）17.2023年5月，某高中開展了“最美寢室”文化布置評比活動，學生會成員隨機抽取了12間寢室進行量化評估，其中有4間寢室被評為優(yōu)秀寢室.（1）現(xiàn)從這12間寢室中隨機抽取3間，求有1間優(yōu)秀的概率；（2）以這12間寢室的評估情況來估計全校寢室的文化布置情況，若從全校所有寢室中任選3間，記X表示抽到優(yōu)秀的寢室間數(shù)，求X的分布列和期望.18.在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，且直線與平面所成角為為中點.（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值.19.已知等比數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項； （2）在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證：.20.楊輝是我國古代數(shù)學史上一位著述豐富的數(shù)學家，著有《詳解九章算法》?《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數(shù)字表示，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學問題.性質(zhì)1：楊輝三角的第行就是的展開式的二項式系數(shù)；性質(zhì)2（對稱性）：每行中與首末兩端“等距離”之數(shù)相等，即；性質(zhì)3（遞歸性）：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即；性質(zhì)4：自腰上的某個1開始平行于腰的一條線上的連續(xù)個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜右下方的那個數(shù)，比如：；請回答以下問題：（1）求楊輝三角中第8行的各數(shù)之和；（2）證明：；（3）在展開式中，求含項的系數(shù).21.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個零點，求的取值范圍.22.已知以為焦點的橢圓過，記橢圓的另一個焦點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線是曲線的切線，且與直線和分別交于點，與軸交于點，求證：為定值. 2022-2023學年度第二學期蕪湖市教學質(zhì)量統(tǒng)測高二數(shù)學試題卷本試題卷共4頁，22小題，滿分100分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?學校?考場/座位號?班級?準考證號填寫在答題卷上，將條形碼橫貼在答題卷右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卷上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試題卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)線內(nèi)；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無效.4.考生必須保證答題卷的整潔，考試結(jié)束后，將試題卷和答題卷一并交回.一?單項選擇題（在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.本大題共8小題，每小題3分，共24分，請把正確的答案寫在答題卷上）1.經(jīng)過點，傾斜角為的直線的點斜式方程為（）A.B..C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由直線得點斜式方程，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為傾斜角為，則斜率，且過點，則，即.故選：A2.已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則（）A.9B.0C.-3D.-6【答案】B【解析】 【分析】由于數(shù)列是等差數(shù)列，根據(jù)其性質(zhì)可知，即可求得.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列又故選：B.3.某工廠生產(chǎn)的新能源汽車的某部件產(chǎn)品的質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.76B.0.24C.0.26D.0.74【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由正態(tài)分布的特點，代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由正態(tài)分布可知，，則，所以.故選：D4.為拋物線的焦點，直線與拋物線交于兩點，則為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】在拋物線中可借助直角三角形的正切值的求解.再由對稱性求.【詳解】，拋物線中時可得，且則，?。ㄈ鐖D） ，,又對稱性可知.故選；C.5.在棱長為3的正四面體中，為的中點，為上靠近的三等分點，則為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，取的中點，連接，由余弦定理可得的長，再由余弦定理即可得到，再結(jié)合平面向量數(shù)量積的定義即可得到結(jié)果.【詳解】取的中點，連接，因為為的中點，為上靠近的三等分點，且是棱長為3的正四面體，則，且，，，，且，在中，由余弦定理可得， ，所以，在中，由余弦定理可得，，且與的夾角為與的夾角，即為的補角，所以，所以.故選：B6.甲?乙?丙?丁?戊?已共6名同學進行數(shù)學文化知識比賽，決出第1名到第6名的名次.甲?乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都不是第一名.”對乙說：“你和丙的名次是相鄰的.”從對這兩人回答分析，這6人的名次排列的所有可能不同情況有（）種.A.144B.156C.168D.192【答案】C【解析】【分析】分丙排第一名和不是第一名討論，結(jié)合捆綁法進行求解.【詳解】依題意，甲?乙都不能排第一名，乙和丙的名次相鄰，當丙是第一名時，則第二名肯定是乙，則共有種不同名次排列情況；當丙不是第一名時，甲?乙都不能排第一名，乙和丙的名次相鄰，則共有種不同名次排列情況，故共有種不同名次排列情況.故選：C7.客機越來越普及之后，為了減少空氣阻力?降低油耗以及減少亂流，飛機開始越來越往高空飛，飛機機身也因此做了很多調(diào)整，其中一項調(diào)整是機艙必須加壓，好讓旅客在內(nèi)部能夠生存，為了更好地分散機窗壓力，工程師將最開始的方形窗戶改為橢圓形窗戶如圖1所示，使其均勻受壓，飛機更為安全.一縷陽光從飛機窗戶射入，在機艙地面上形成輪廓為圓的光斑，如圖2所示.若光線與地面所成角為60°，則橢圓的離心率為（） AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)條件，找出與圓的半徑為間的關(guān)系，再利用離心率的定義即可求出結(jié)果.【詳解】因為橢圓形窗戶在機艙地面上形成輪廓為圓的光斑，不妨設圓的半徑為，則有，，所以，故離心率.故選：C.8.已知，則下列不等關(guān)系正確的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用構(gòu)造函數(shù)的方法比較和，和的大小，利用，即可比較和的大小.【詳解】因為，所以，即，所以，令，，若，即，若，即，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，當且僅當時等號成立， 所以，所以，令，，令，，令，，所以單調(diào)遞增，當時，，所以當時，，所以，所以在時單調(diào)遞增，所以，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，所以當時，，所以，所以由已證過的不等式可知，所以，則，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是利用余弦函數(shù)的單調(diào)性從而比較出大小關(guān)系，再通過構(gòu)造函數(shù)，，再通過導數(shù)證明其單調(diào)性，利用其單調(diào)性比較大小.二?多項選擇題（在每小題給出的四個選項中，有多個選項是正確的.本大題共4小題，每小題4分，共16分，每題全部選對的得4分，部分選對得2分，有選錯得0分.請把正確的答案寫在答題卷上）9.下列說法正確的有（）A.隨機變量的方差越大，則隨機變量的取值與均值的偏離程度越大B.隨機拋擲質(zhì)地均勻的硬幣100次，出現(xiàn)50次正面向上的可能性為C.根據(jù)分類變量與的樣本數(shù)據(jù)計算得到，根據(jù)小概率的獨立性檢驗（），可判斷與有關(guān)，且犯錯誤的概率不超過0.05D.若變量關(guān)于變量的經(jīng)驗回歸方程為時，則變量與負相關(guān)【答案】AD【解析】【分析】對A、C、D：根據(jù)案例分析相關(guān)知識逐項分析判斷；對B：根據(jù)二項分布結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)分析判斷. 【詳解】對于選項A：根據(jù)方差的計算公式可知：方差越大，則隨機變量的取值與均值的偏離程度越大，故A正確；對于選項B：隨機拋擲質(zhì)地均勻的硬幣100次，設出現(xiàn)正面向上的次數(shù)為，則，則，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可知，即，所以，即出現(xiàn)50次正面向上的可能性小于，故B錯誤；對于選項C：因為，根據(jù)小概率的獨立性檢驗，可判斷與無關(guān)，故C錯誤；對于選項D：由經(jīng)驗回歸方程為可知，所以變量與負相關(guān)，故D正確；故選：AD.10.已知函數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)），則下列結(jié)論正確的是（）A.曲線的切線斜率可以是-1B.曲線的切線斜率可以是2C.過點且與曲線相切的直線有且只有1條D.過點且與曲線相切的直線有且只有2條【答案】BCD【解析】【分析】利用導數(shù)的幾何意義，判斷的范圍，即可判斷AB；設切點，利用導數(shù)的幾何意義，求切點坐標或切點的個數(shù)，即可判斷CD.【詳解】，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可知，曲線的切線斜率可以是2，不能是，故A錯誤，B正確； C.設切點，則，得，所以切線只有一條，故C正確；D.設切點，則，整理為，設，，得當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，函數(shù)取得最小值，，，所以在函數(shù)在和各有1個零點，所以過點且與曲線相切的直線有且只有2條，故D正確.故選：BCD11.一個不透明的袋子里，裝有大小相同的個紅球和個白球，每次從中不放回地取出一球，現(xiàn)取出個球，則下列說法正確的是（）A.兩個都是紅球的概率為B.在第一次取到紅球的條件下，第二次取到白球的概率為C.第二次取到紅球的概率為D.第二次取到紅球的條件下，第一次取到白球的概率為【答案】BCD【解析】【分析】利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可判斷A選項；利用條件概率公式可判斷B選項；利用全概率公式可判斷C選項；利用貝葉斯公式可判斷D選項.【詳解】對于A選項，抽取的兩個都是紅球的概率為，A錯；對于B選項，記事件第一次取紅球，事件第二次取白球，則，，所以，，B對；對于C選項，記事件第一次取紅球，事件第二次取紅球， 則，，，，由全概率公式可得，C對；對于D選項，記事件第一次取紅球，事件第二次取紅球，則，所以，，D對.故選：BCD.12.已知數(shù)列有無限項且滿足：，其中為大于0的常數(shù)，則下列說法正確的有（）A.當時，若數(shù)列是等差數(shù)列，則B.當時，若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則C.存在，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列D.任意，數(shù)列不可能是單調(diào)遞增數(shù)列【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合題目中等式，建立方程，解得公差，可得答案；對于B，根據(jù)單調(diào)遞增數(shù)列的定義，建立方程與不等式，可得答案；對于C、D，利用分類討論的思想結(jié)合累加法和遞增數(shù)列的定義，根據(jù)作差法，可得答案.【詳解】對于A，由數(shù)列為等差數(shù)列，可設其公差為，則，解得，由，則，解得，故A正確；對于B，由數(shù)列為遞增數(shù)列，則，設，，兩式相減可得：，解得，故B正確；對于C、D，當時，，顯然此時數(shù)列不是遞增數(shù)列；當且時，由，，，， 則，則，同理可得：，兩式相減可得：，當時，必定存在，當時，，則數(shù)列不是遞增數(shù)列；，當時，必定存在，當時，，則數(shù)列不是遞增數(shù)列.故C錯誤，D正確.故選：ABD三?填空題（本大題共有4小題，每小題4分，共16分，請把正確的答案寫在答題卷上）13.已知函數(shù)，則__________.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)題意，求導得，然后代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】由可得，，則.故答案為：14.在的展開式中，含的項的系數(shù)是__________.【答案】15【解析】【分析】在的展開式中含的項即從5個因式中取4個，1個常數(shù)即可寫出含的項，則可得到答案.【詳解】在的展開式中含的項即從5個因式中取4個，1個常數(shù),所以含的項為.所以展開式中，含的項的系數(shù)是15.故答案為：15 15.已知圓，若圓上存在兩點使得為等邊三角形，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】【分析】作圖分析，討論和，設D為的中點，推出三點共線，從而可得；利用點到直線的距離公式得到等量關(guān)系，結(jié)合方程知識，利用判別式可得不等式即可求得答案.【詳解】由題意知為等邊三角形，設D為的中點，連接，則，因為在圓上，故，故三點共線，當時，，滿足圓上存在兩點使得為等邊三角形；時，直線OA的斜率為，則斜率為，設方程為，A到的距離為，，而，故，即，令，則，即，由于，故，解得，即，則或，綜合可得，故的取值范圍為， 故答案為：【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題的關(guān)鍵在于要結(jié)合圓以及等邊三角形的幾何性質(zhì)，找到線段之間的數(shù)量關(guān)系，結(jié)合方程知識求解.16.俄羅斯方塊游戲，是一款由俄羅斯人阿列克謝·帕基特諾夫發(fā)明的休閑游戲，它的玩法就是用一些隨機出現(xiàn)的幾何圖案去填充平面區(qū)域，消去一行就會有得分，如果一次能消去多行，則會得到很多額外的獎勵分，但這會承擔一定的風險，因為這些隨機的圖案是需要通過適當?shù)钠揭苹蛐D(zhuǎn)后才可能被放置到合適的空位上去的，當剩余的內(nèi)容太多時，就不容易做這些操作，而導致失敗.已知這些隨機出現(xiàn)的圖案都是由若干塊相同的小正方形拼接在一起構(gòu)成的，要求相鄰的兩個正方形必須有一條公共邊相連.如果相同小正方形的個數(shù)為n，記用它們構(gòu)成的不同圖案總數(shù)為（通過平移或旋轉(zhuǎn)后重合的視為同一個圖案）.已知，則__________.【答案】7【解析】【分析】根據(jù)題意，分別畫出四個相同的小正方形拼接在一起構(gòu)成的不同圖案，即可得到結(jié)果.【詳解】如圖所示，四個相同的小正方形拼接在一起構(gòu)成的不同圖案總數(shù)為7個.故答案為：7四?解答題（本大題共6題，共44分，解答時每小題必須給出必要的演算過程或推理步驟）17.2023年5月，某高中開展了“最美寢室”文化布置評比活動，學生會成員隨機抽取了12間寢室進行量化評估，其中有4間寢室被評為優(yōu)秀寢室.（1）現(xiàn)從這12間寢室中隨機抽取3間，求有1間優(yōu)秀的概率；（2）以這12間寢室的評估情況來估計全校寢室的文化布置情況，若從全校所有寢室中任選3間，記X表示抽到優(yōu)秀的寢室間數(shù)，求X的分布列和期望. 【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)公式，結(jié)合超幾何分布的概率公式，即可求解；（2）首先由題意可得，再根據(jù)二項分布概率公式，即可求分布列和數(shù)學期望.【小問1詳解】設表示所抽取的3間寢室中有間寢室優(yōu)秀，抽取的3間寢室中有1間優(yōu)秀為事件，則；【小問2詳解】由題表數(shù)據(jù)可知，從12間寢室中任選1間是優(yōu)秀的概率為，由題可知的所有可能取值為，則，，所以的分布列為0123.18.在三棱錐中，底面是邊長為2的等邊三角形，且直線與平面所成角為為中點. （1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證明面面垂直，需先證明線面垂直，轉(zhuǎn)化為證明平面；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，過點作延長線的垂線，垂足為，以點為原點，建立空間直角坐標系，分別求平面和平面的法向量，利用法向量的夾角公式，即可求解.【小問1詳解】由為等邊三角形，且為中點，得.又因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面【小問2詳解】過作延長線的垂線，垂足為，連接.由（1）知，平面，又因為平面，所以.因為，平面，所以平面.直線與平面所成角為，則.以為坐標原點，的方向為軸正方向，的方向為軸正方向，過點作與軸平行的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.由題可得，. 設為平面的法向量，則可取設為平面的法向量，則可取因為，則，所以二面角的正值為19.已知等比數(shù)列前項和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項；（2）在和之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求證：.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求出等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的通項公式求解；（2）利用錯位相減法求和，然后分析即可.【小問1詳解】 當時，，即，當時，，即，又因為是等比數(shù)列，所以的公比為3，且，即，所以；【小問2詳解】由（1）可得，所以，則，所以令，①所以，②①②：所以，因為，所以.20.楊輝是我國古代數(shù)學史上一位著述豐富的數(shù)學家，著有《詳解九章算法》?《日用算法》和《楊輝算法》，楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》給出了如下圖1所示的表，我們稱這個表為楊輝三角，圖2是楊輝三角的數(shù)字表示，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早500 年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的.楊輝三角本身包含了很多有趣的性質(zhì)，利用這些性質(zhì)，可以解決很多數(shù)學問題.性質(zhì)1：楊輝三角的第行就是的展開式的二項式系數(shù)；性質(zhì)2（對稱性）：每行中與首末兩端“等距離”之數(shù)相等，即；性質(zhì)3（遞歸性）：除1以外的數(shù)都等于肩上兩數(shù)之和，即；性質(zhì)4：自腰上的某個1開始平行于腰的一條線上的連續(xù)個數(shù)的和等于最后一個數(shù)斜右下方的那個數(shù)，比如：；請回答以下問題：（1）求楊輝三角中第8行的各數(shù)之和；（2）證明：；（3）在的展開式中，求含項的系數(shù).【答案】（1）256（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）由楊輝三角的第八行結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)求解即可；（2）由組合數(shù)公式證明即可；（3）由二項式定理結(jié)合組合數(shù)性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】楊輝三角中第8行的各數(shù)之和為 【小問2詳解】，【小問3詳解】的展開式中，求含項的系數(shù)為21.已知函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導，再對進行分類討論，根據(jù)和，即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）的單調(diào)區(qū)間，對進行分類討論，結(jié)合單調(diào)性和函數(shù)值的變化特點，即可得到的取值范圍.【小問1詳解】的定義域為，（i）若，則，由得.當時，；當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. （ii）若，則由得.①當時，則，當時，；當時，；當時，；所以單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.②當時，則，此時，所以在單調(diào)遞減.③當時，則，當時，；當時，；當時，；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞減；當時，在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.【小問2詳解】（i）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為①當時，由于，故只有一個零點；②當時，由于，即，故沒有零點；③當時，，即.當時，，故，所以， 故在有一個零點.設，，時，單調(diào)遞增，所以，即當時，，故，所以，因此在有一個零點.（ii）若，由（1）知，至多有一個零點；（iii）若，由（1）知，至多有一個零點；（iv）若，由（1）知，至多有一個零點；綜上，的取值范圍為【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設條件對參數(shù)進行分類討論，構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．22.已知以為焦點的橢圓過，記橢圓的另一個焦點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線是曲線的切線，且與直線和分別交于點，與軸交于點，求證：為定值.【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的定義，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分直線的斜率存在與不存在分別討論，結(jié)合韋達定理代入計算，即可得到證明；【小問1詳解】 由題意得，即，所以的軌跡是以為焦點的雙曲線的右支，方程為【小問2詳解】當切線的斜率存在時，設切線為，則，聯(lián)立可得：，則，即，設，直線和是曲線的漸近線，聯(lián)立可得：，則，，，所以.當切線的斜率不存在時，易知.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系，難度較難，解答本題的關(guān)鍵在于分直線的斜率存在與不存在討論，然后聯(lián)立直線與雙曲線方程，結(jié)合韋達定理代入計算.