年廣東省廣雅中學(xué)高二數(shù)學(xué)競賽試卷含答案

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1、2009年廣東省廣雅中學(xué)高二數(shù)學(xué)競賽試卷2009.5.6命題人:楊志明4:00-6:00題號一二三合計(jì)（11）（12）（13）（14）（15）得分評卷員考生注意：⒈用鋼筆、簽字筆或圓珠筆作答；⒉不準(zhǔn)使用計(jì)算器；⒊考試用時(shí)120分鐘，全卷滿分150分．一、選擇題：本大題共4小題，每小題6分，共24分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．請將正確選項(xiàng)前的字母代號填在該小題后的括號內(nèi)．1.若,則的最小值是（）A．2B．4C．D．1選D.解據(jù)題意,,所以,即或..設(shè).取,則,當(dāng)且僅當(dāng),,或取等號.其中.所以,時(shí),

2、最小.與有相同的增減性,所以.2．如圖是一個(gè)正方形紙盒的展開圖，若把1、2、3、4、5、6分別填入小正方形后，再折成正方體，則所得正方體對面上兩數(shù)的和不都相等的概率是().A．B．C．D．2.C.考慮對立事件：a與b，c與d，e與f為正方體的對面，ab有種填法，cd有種填法，ef有2種填法,而整體填法共有種填法，所以符合題意的概率為：.3．定義兩種運(yùn)算：，，則函數(shù)為（）（A）奇函數(shù)（B）偶函數(shù)（C）奇函數(shù)且為偶函數(shù)（D）非奇函數(shù)且非偶函數(shù)3．A．.4．圓周上按順時(shí)針方向標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)點(diǎn)，一只青蛙按順時(shí)針方向繞

3、圓從一個(gè)點(diǎn)跳到另一點(diǎn)．若起跳點(diǎn)為奇數(shù)，則落點(diǎn)與起跳點(diǎn)相鄰；若起跳點(diǎn)為偶數(shù)，則落點(diǎn)與起跳相隔一個(gè)點(diǎn)．該青蛙從5這點(diǎn)開始起跳，經(jīng)2008次跳動(dòng)，最終停在的點(diǎn)為(▲)A．4B．3C．2D．14．D．二、填空題：本大題共6小題，每小題6分，共36分．把答案填在題中橫線上．5.已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有實(shí)根b,且z=a+bi，則復(fù)數(shù)z=.5.2-2i.由題意知b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即b2+4b+4+(a+b)i=0.由復(fù)數(shù)相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐標(biāo)系中，若方程m(x2+

4、y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲線是雙曲線，則m的取值范圍為.6．(0,5).方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以變形為m=,即得,∴其表示雙曲線上一點(diǎn)（x,y)到定點(diǎn)（0,-1)與定直線x-2y+3=0之比為常數(shù)e=,又由e>1,可得0

5、的個(gè)數(shù)共有12個(gè)，此12個(gè)點(diǎn)任意兩點(diǎn)相連可得C=66條直線，過12個(gè)點(diǎn)的切線也有12條，又直線ax+by-1=0(a,b不全為0）不過坐標(biāo)原點(diǎn)，故其中有6條過原點(diǎn)的直線不合要求，符合條件的直線共有66+12-6=72條.17．如圖的三角形數(shù)陣中，滿足：（1）第1行的數(shù)為1；（2）第n（n≥2)行首尾兩數(shù)均為n，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加．則第n行(n≥2)中第2個(gè)數(shù)是____▲____（用n表示）.17.8．一個(gè)正六面體的各個(gè)面和一個(gè)正八面體的各個(gè)面都是邊長為a的正三角形，這樣的兩個(gè)多面體的內(nèi)切球的半徑之比是一個(gè)最

6、簡分?jǐn)?shù),那么積m·n是.8.6.解：設(shè)六面體與八面體的內(nèi)切球半徑分別為r1與r2,再設(shè)六面體中的正三棱錐A—BCD的高為h1,八面體中的正四棱錐M—NPQR的高為h2,如圖所示，則h1=a,h2=a.∵V正六面體=2·h1·S△BCD=6·r1·S△ABC，∴r1=h1=a.又∵V正八面體=2·h2·S正方形NPQR=8·r2·S△MNP，∴a3=2r2a2,r2=a,于是是最簡分?jǐn)?shù)，即m=2,n=3,∴m·n=6.9．若的兩條中線的長度分別為6，7，則面積的最大值為.9.28.如圖，D,E,F是各邊的中點(diǎn)，延長BE至G

7、，使得BE=BG，延長BC至H，使得DC=CH，連接AG,EH,則CH=EF=AG=DH,且AG

8、

9、DH，則四邊形EFCH和ADHG是平行四邊形.故CF=EH,AD=EH.故△EGH的三邊EH、EG、EH分別是△ABC的三邊的中線AD、BE、CF，即、、.由共邊定理知,.10．已知是定義（-3,3）在上的偶函數(shù)，當(dāng)0

10、要求寫出解答過程．11．（本小題滿分15分）已知函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若，求的值.11．（Ⅰ）∵2分∴6分∴當(dāng)時(shí)，最小正周期為8分（Ⅱ）∵∴11分∴15分12．（本小題滿分15分）如右放置在水平面上的組合體由直三棱柱與正三棱錐組成，其中，．它的正視圖、俯視圖、從左向右的側(cè)視圖的面積