全國初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)（初1）第20講應(yīng)用問題的算術(shù)解法與代數(shù)解法

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1、第二十講應(yīng)用問題的算術(shù)解法與代數(shù)解法　　從小學(xué)到中學(xué)，數(shù)學(xué)課程最顯著的變化，就是從算術(shù)學(xué)習(xí)到代數(shù)和幾何的學(xué)習(xí)．僅就代數(shù)來說，它的基本課題是著眼于利用運算來討論各種數(shù)學(xué)問題．從發(fā)展的角度看，代數(shù)學(xué)是在“數(shù)”與“運算”的基礎(chǔ)上有系統(tǒng)地發(fā)展起來的．首先擴(kuò)大了數(shù)的范圍，從正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)和零發(fā)展到有理數(shù)、實數(shù)；其次，在用字母表示數(shù)的基礎(chǔ)上，應(yīng)用“運算律”解代數(shù)方程和研究代數(shù)式．由于在常見的數(shù)量關(guān)系中，可以說應(yīng)用問題是最基本的討論對象，因此，在小學(xué)和中學(xué)的數(shù)學(xué)課中，都有解應(yīng)用問題這一內(nèi)容．只不過在小學(xué)是用“算術(shù)解法”，而在中學(xué)是用“代數(shù)解法”．

2、下面舉幾個典型實例，來比較一下這兩種解法的不同，從而進(jìn)一步體會代數(shù)解法的優(yōu)越性．　　例1某農(nóng)場計劃播種小麥與大豆共138公頃，種小麥的面積是種大豆面積的4倍．試問該農(nóng)場應(yīng)種小麥與大豆各多少公頃？　　算術(shù)解法由本題所給的條件可知，播種總面積等于種大豆面積的(4+1)倍，因此種大豆的公頃數(shù)=總播種公頃數(shù)÷(4+1)，　　種小麥的公頃數(shù)=總播種公頃數(shù)-種大豆的公頃數(shù)，即138÷(4+1)=27.6(公頃)，138-27.6=110.4(公頃)．　　即應(yīng)種大豆27.6公頃，小麥110.4公頃．　　代數(shù)解法用一個字母x表示要求的一個未知量，例

3、如，設(shè)種大豆x公頃；再由題目的條件可知，種小麥4x公頃．因此，只要根據(jù)關(guān)系式　　總播種公頃數(shù)=種小麥公頃數(shù)+種大豆公頃數(shù)　　和已知條件“總公頃數(shù)為138”，就可以直截了當(dāng)?shù)貙懗鲆韵碌仁?含有未知數(shù)的等式，也叫方程)4x+x=138．　　由于x是一個未知數(shù)，但它終歸是一個數(shù)，所以可以對它應(yīng)用運算律．為此，我們對上式做如下變形(4+1)x=138，　　即5x=138．　　兩邊同除以5，得x=27.6(公頃)．　　從而4x=4×27.6=110.4(公頃)．　　即種大豆27.6公頃，種小麥110.4公頃．　　比較分析本題的算術(shù)解法中，要求

4、對題意進(jìn)行思考，先求得解決問題的公式，然后再逐步地對公式中的計算找出解釋的理由，從而作出解答．而代數(shù)解法，只要求用字母x表示待求的未知量，再考慮待求的未知量x與已知數(shù)量之間的關(guān)系，然后直截了當(dāng)?shù)亓谐鲆粋€等式，再應(yīng)用運算律(或等式的基本性質(zhì))，求出這個未知數(shù)x應(yīng)取的數(shù)值，使問題得到解決．　　例2雞兔同籠．共有56個頭，160只腳，試問雞、兔各多少只？　　算術(shù)解法這是一個古老而有趣的數(shù)學(xué)問題，由于思考方法不同，可有不同的解法，以下是較為簡單的解法．由于已知雞、兔共160只腳，如果我們假定每只兔抬起2只腳，每只雞抬起一只腳，則落地的腳是1

5、60只的一半，即80只腳．這80只腳中雞的腳數(shù)與頭數(shù)相等．因此，　　兔數(shù)為：　　　80-56=24(只)；　　雞數(shù)為：　　　56-24=32(只)．　　代數(shù)解法設(shè)兔為x只，則雞為(56-x)只，兔的腳數(shù)為4x，雞的腳數(shù)為2(56-x)，又由已知條件，雞兔一共有160只腳，可列出方程4x+2(56-x)=160．　　去括號4x+112-2x＝160，　　合并同類項4x-2x＝160-112，　　即　　　2x=48，　　所以　　x=24(只)…兔數(shù)．　　從而　　56-24=32(只)…雞數(shù)．　　比較分析本題算術(shù)解法中，根據(jù)題設(shè)特點，利用

6、了一個特殊技巧，即雞、免各抬起一半腳，然后依據(jù)其余腳數(shù)中，雞的腳數(shù)與頭數(shù)一一對應(yīng)關(guān)系，得到解答．這種解法雖然有效，但不具有一般性，這也是算術(shù)解法的一個弱點，即一個問題一種解法，缺乏一般的通用性．而代數(shù)解法則不同，在本題中，只須用一個字母x代表兔(或雞)的數(shù)量，然后便可根據(jù)已知條件，順理成章地找出等量關(guān)系，列出方程．下一步解方程求未知數(shù)x的值，只是進(jìn)行變形和運算，不需要什么特殊技巧．因此，代數(shù)解法具有一般性，這也是它優(yōu)于算術(shù)解法之所在．　　在前面的兩例中，雖然比較分析了應(yīng)用問題的算術(shù)解法和代數(shù)解法的特點，但對兩者的聯(lián)系未作進(jìn)一步的探討

7、，下面通過例3，初步討論一下這個問題．　　例3設(shè)有5元和10元的人民幣共12張，共計85元，問其中5元、10元的人民幣各幾張？　　算術(shù)解法假如全部是5元的人民幣，則共計5×12=60(元)，　　與總和相差85-60=25(元)．　　現(xiàn)在讓我們逐次用一張10元的票子去換一張5元的票子，使得總張數(shù)保持不變，每換一次，總值將增加10-5=5(元)．　　那么換幾次才能補(bǔ)足總差額25元呢？這只要做一次除法就行了，即25÷5=5．所以答案是　　10元人民幣的張數(shù)=(85-60)÷(10-5)①=25÷5＝5．　　5元人民幣的張數(shù)=12-5=7．

8、　　代數(shù)解法設(shè)10元人民幣的張數(shù)為x，則5元人民幣的張數(shù)為(12-x)，其中x是一個待求的未知數(shù)，在此它只是10元人民幣張數(shù)的簡寫，利用上述未知數(shù)符號，根據(jù)　　10元人民幣的總元數(shù)+5元人民幣的總元數(shù)=85，則可寫出下列方程　　10x