數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

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1、數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法(一)（一）主要知識(shí)：1．?dāng)?shù)列的概念按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．2．?dāng)?shù)列的一般形式數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…，簡(jiǎn)記為{an}，其中a1稱為數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或稱為首項(xiàng))，a2稱為第2項(xiàng)，…，an稱為第n項(xiàng)．3．?dāng)?shù)列的分類(1)根據(jù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)可以將數(shù)列分為兩類：有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列；無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列．(2)按照數(shù)列的每一項(xiàng)隨序號(hào)變化的情況分類：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列；遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它

2、的前一項(xiàng)的數(shù)列；常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列；擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列．?dāng)?shù)列的表示方法：列舉法；圖象法；解析法（通項(xiàng)公式）數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．遞推法．?dāng)?shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)(或前n項(xiàng))及相鄰兩項(xiàng)間的關(guān)系可用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式叫做數(shù)列的遞推公式與的關(guān)系：．（二）主要方法：數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：觀察分析法；公式法：轉(zhuǎn)化成等差、等比數(shù)列；累加、累乘法；遞推法。（三）典例分析：一、根

3、據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式例1　根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)－1,7，－13,19，…(2)0.8,0.88,0.888，…(3)，，－，，－，，…(4)，1，，，…(5)0,1,0,1，…解　(1)符號(hào)問題可通過(－1)n或(－1)n＋1表示，其各項(xiàng)的絕對(duì)值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對(duì)值總比前面數(shù)的絕對(duì)值大6，故通項(xiàng)公式為an＝(－1)n(6n－5)(n∈N*)．(2)數(shù)列變形為(1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝(n∈N*)．(3)各項(xiàng)的分母分別為21,22,23

4、,24，…易看出第2,3,4項(xiàng)的分子分別比分母少3.因此把第1項(xiàng)變?yōu)椋虼嗽瓟?shù)列可化為－，，－，，…，∴an＝(－1)n·(n∈N*)．(4)將數(shù)列統(tǒng)一為，，，，…對(duì)于分子3,5,7,9，…，是序號(hào)的2倍加1，可得分子的通項(xiàng)公式為bn＝2n＋1，對(duì)于分母2,5,10,17，…聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16…即數(shù)列{n2}，可得分母的通項(xiàng)公式為cn＝n2＋1，∴可得它的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝(n∈N*)．(5)an＝或an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*)．總結(jié)　解決本類問題的關(guān)鍵是觀察、歸納各項(xiàng)與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)數(shù)之間的聯(lián)系．同時(shí)，要善于利用我

5、們熟知的一些基本數(shù)列，通過合理的聯(lián)想、轉(zhuǎn)化而達(dá)到問題的解決．變式訓(xùn)練1　寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)2，4，6，8，…；　(2)10,11,10,11,10,11，…；　(3)－1，，－，，….解　(1)這是個(gè)混合數(shù)列，可看成2＋，4＋，6＋，8＋，….故通項(xiàng)公式an＝2n＋(n∈N*)．(2)該數(shù)列中各項(xiàng)每?jī)蓚€(gè)元素重復(fù)一遍，可以利用這個(gè)周期性求an.原數(shù)列可變形為：10＋0,10＋1,10＋0,10＋1，….故其一個(gè)通項(xiàng)為：an＝10＋，或an＝.(3)通項(xiàng)符號(hào)為(－1)n，如果把第一項(xiàng)－1看作－，則分母為3,5,7,9，…

6、，分母通項(xiàng)為2n＋1；分子為3,8,15,24，…，分子通項(xiàng)為(n＋1)2－1即n(n＋2)，所以原數(shù)列通項(xiàng)為：an＝(－1)n(n∈N*)．根據(jù)下面各數(shù)列的前幾項(xiàng)值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：，，，，，…；，，，，，…；，，，，，，，，…；，，，，，，，，…；，，，，，…；二、根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)例2　設(shè)數(shù)列{an}滿足寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)．解　由題意可知a1＝1，a2＝1＋＝1＋＝2，a3＝1＋＝1＋＝，a4＝1＋＝1＋＝，a5＝1＋＝1＋＝.總結(jié)　由遞推公式可以確定數(shù)列，它也是給出數(shù)列的一種常用方法變式訓(xùn)練2　在數(shù)列{a

7、n}中，已知a1＝2，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n≥1)，寫出此數(shù)列的前6項(xiàng)．解　a1＝2，a2＝3，a3＝3a2－2a1＝3×3－2×2＝5，a4＝3a3－2a2＝3×5－2×3＝9，a5＝3a4－2a3＝3×9－2×5＝17，a6＝3a5－2a4＝3×17－2×9＝33.三、數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用例3　已知數(shù)列；(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng)；(2)是不是該數(shù)列中的項(xiàng)，為什么？(3)求證：數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi)；(4)在區(qū)間內(nèi)有、無數(shù)列中的項(xiàng)？若有，有幾項(xiàng)？若沒有，說明理由．(1)解　設(shè)f(n)＝＝＝.令n＝10

8、，得第10項(xiàng)a10＝f(10)＝.(2)解　令＝，得9n＝300.此方程無自然數(shù)解，所以不是該數(shù)列中的項(xiàng)．(3)證明　∵an＝＝＝1－，又n∈N*，∴0<<1，∴0