liapunov函數(shù)的構(gòu)造

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1、Liapunov函數(shù)的構(gòu)造摘要：Liapunov函數(shù)是一種判定微分方程零解穩(wěn)定性的重要方法，所以本文首先介紹了Liapunov函數(shù)以及判斷微分方程的穩(wěn)定性定理，然后著重介紹了Liapunov函數(shù)的幾種構(gòu)造方法，包括常系數(shù)線性系統(tǒng)的巴爾巴欣公式、線性類比法.通過這兩種構(gòu)造方法，我們將初步了解Liapunov函數(shù)的構(gòu)造在判斷微分方程零解穩(wěn)定性中的重要作用.關(guān)鍵詞：Liapunov函數(shù)；零解；穩(wěn)定性.引言在常微分方程中，穩(wěn)定性理論研究是很重要的一部分，即研究當(dāng)時(shí)間趨于無窮時(shí)，其解的形態(tài)將會(huì)怎樣變化，他在自然科學(xué)、工程

2、力學(xué)、環(huán)境生態(tài)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等方面有著重要的應(yīng)用。在本章第一節(jié)中介紹了穩(wěn)定性的相關(guān)定義，也介紹了對(duì)于可以求得微分方程的解析解時(shí)，如何利用定義判斷其零解的穩(wěn)定性。但是在實(shí)際問題中提出的微分方程往往是很復(fù)雜的，無法求得其解析解，這就需要從方程本身來判斷零解的穩(wěn)定性Liapunov直接方法就是求解這一問題的有效途徑。本文先引入Liapunov函數(shù)，即V函數(shù)的定義，以及Liapunov穩(wěn)定性的定理，然后介紹幾種構(gòu)造Liapunov函數(shù)方法。1Liapunov穩(wěn)定性的定理1.1函數(shù)設(shè)函數(shù)在中原點(diǎn)的某鄰域中有定義,在中連續(xù)可微

3、，且滿足定義1.1若除原點(diǎn)外對(duì)所有均有，則稱為正定函數(shù)（負(fù)定函數(shù)）；若除原點(diǎn)外對(duì)所有均有，則稱為半正定函數(shù)（半負(fù)定函數(shù)）；若在中原點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)既可以取正，也可以取負(fù)，則稱為變號(hào)函數(shù).例如，是中的正定函數(shù)，但在中確實(shí)半正定函數(shù)，而是中的變號(hào)函數(shù).一般函數(shù)的符號(hào)判斷十分困難，通常把在原點(diǎn)展開為Taylor級(jí)數(shù)其中分C是的次，，齊次函數(shù)，根據(jù)展開式中的最低次項(xiàng)的系數(shù)，通常就可以判斷在原點(diǎn)鄰域內(nèi)的符號(hào).因?yàn)樵僭c(diǎn)附近其他項(xiàng)都可以視為第一項(xiàng)的高階無窮小.1.1Liapunov穩(wěn)定性定理設(shè)維自治微分方程（1.1）的解為，

4、為了研究方程（1.1）零解的穩(wěn)定性，考察隨時(shí)間變化時(shí)的變化情況，將視為的復(fù)合函數(shù)，關(guān)于求導(dǎo)可得（1.2）式（1.2）稱為函數(shù)沿著方程（1.1）軌線的全導(dǎo)數(shù).介紹了以及其全導(dǎo)數(shù)后，接下來簡(jiǎn)單介紹下Liapunov穩(wěn)定性理論的幾個(gè)定理.定理1.1若有原點(diǎn)的鄰域和一個(gè)正定（負(fù)定）函數(shù)，使得其全導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定（半正定），則稱系統(tǒng)（1.1）的零解是穩(wěn)定的；特別地，當(dāng)是負(fù)定（正定）時(shí)，系統(tǒng)（1.1）的零解是漸進(jìn)穩(wěn)定的.定理1.2設(shè)在原點(diǎn)的鄰域內(nèi)有函數(shù)，它沿著方程（1.1）的軌線的全導(dǎo)數(shù)是正定（負(fù)定）的，而本身不是半負(fù)定（半正

5、定）的，則方程（1.1）的零解是不穩(wěn)定的.這兩個(gè)定理是直接通過構(gòu)造Liapunov函數(shù)，來判斷方程的零解是否穩(wěn)定的，定理在本章第2節(jié)已經(jīng)詳細(xì)的證明過，這里不再做證明.2Liapunov函數(shù)的構(gòu)造第一節(jié)中所討論的兩個(gè)定理都是一個(gè)函數(shù)穩(wěn)定的充分條件，即存在一個(gè)，和它的全導(dǎo)數(shù)滿足定理1.1時(shí)，系統(tǒng)的零解是穩(wěn)定的.滿足定理1.2的條件時(shí)，系統(tǒng)的零解是不穩(wěn)定的.在使用Liapunov函數(shù)判定穩(wěn)定性時(shí)應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)找不到滿足穩(wěn)定性定理的條件的函數(shù)時(shí)，并無法斷言此系統(tǒng)的零解是不穩(wěn)定的,并且構(gòu)造的Liapunov函數(shù)不同時(shí)，判斷

6、零解是否漸進(jìn)穩(wěn)定以及吸引域的大小也會(huì)有些差異.再利用Liapunov方法判斷系統(tǒng)零解穩(wěn)定性時(shí)，需要明確滿足一定條件的Liapunov函數(shù)是否存在，即當(dāng)系統(tǒng)的零解有某種穩(wěn)定性時(shí)，滿足這個(gè)穩(wěn)定性定理的是否存在，這就是上述定理1.1和定理1.2的逆命題.是否成立.2.1Liapunov函數(shù)的存在性考慮微分方程組（2.1）記，設(shè)在連續(xù)，關(guān)于滿足Liapunov條件.令是方程組（2.1）滿足的解.定理2.1若方程組2.1的零解是穩(wěn)定的，則有正定函數(shù)，使得其全導(dǎo)數(shù)是半負(fù)定的.證首先根據(jù)方程組（2.1）的零解構(gòu)造出正定函數(shù)，

7、在驗(yàn)證是半負(fù)定.取其中表示方程組（2.1）在時(shí)刻過的解在時(shí)刻的位置坐標(biāo).顯然有因?yàn)榉匠探M（2.1）的零解是穩(wěn)定的，所以對(duì)任意的，有，使得當(dāng)時(shí)，有（2.2）于是當(dāng)時(shí)，對(duì)所有的有.否則就有，，以及，使得.由式（2.2）得又因?yàn)榕c式（2.2）矛盾.由此得是正定函數(shù)，顯然有即是正定函數(shù)，另一方面所以有即是半負(fù)定的.例1研究下述微分方程組零解的穩(wěn)定性.滿足初值問題.解容易解得滿足上述初值問題的解為所以有定理2.1，可以取函數(shù)顯然即通過這種方法構(gòu)造的是正定函數(shù).并求得其全導(dǎo)數(shù)為：即正定，半負(fù)定，所以上述方程組的零解是穩(wěn)定的

8、.1.1常系數(shù)線性系統(tǒng)的巴爾巴欣公式對(duì)于常系數(shù)線性微分方程組（2.3）這里可以假設(shè)該線性自治系統(tǒng)的Liapunov函數(shù)為一個(gè)二次型，不妨設(shè)其為，則他沿系統(tǒng)（2.3）的全導(dǎo)數(shù)為顯然其全導(dǎo)數(shù)依然是一個(gè)二次型.這樣，可以從的二次型出發(fā)，利用進(jìn)而來確定二次型，再根據(jù)和的符號(hào)來判斷方程組（2.3）零解的穩(wěn)定性.下面就利用這一思想介紹二階方程組的巴爾巴欣公式.對(duì)于二維微分方程組（2.4）可以給出一