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1、新疆師范大學2012屆本科畢業(yè)論文2012屆本科畢業(yè)論文極值原理及應用Maximumprincipleanditsapplications學院：數(shù)學科學學院專業(yè)班級：數(shù)學與應用數(shù)學08-2班學生姓名：指導教師：教授答辯日期：2012年5月8日新疆師范大學教務處19新疆師范大學2012屆本科畢業(yè)論文目錄摘要21極值原理的內(nèi)容31.1弱極值原理31.2強極值原理42極值原理的性質52.1調和函數(shù)的極值原理的性質52.2極值原理與最大模估計62.2.1極值原理與最大模估計中的弱極值原理62.2.2第一邊值問題解的最大模估計72.
2、2.3第二、三邊值問題解的最大模估計83.極值原理的應用103.1初等數(shù)學中的極值應用103.2極值原理和比較原理113.2.1橢圓形方程的情形113.2.2拋物形方程的情形12參考文獻15致謝1519新疆師范大學2012屆本科畢業(yè)論文極值原理及應用摘要：眾所周知，極值原理在偏微分方程研究中具有十分重要的作用。本文中，我們對偏微分方程的若干極值原理做了歸納總結。并且還給出了幾個極值原理的若干應用。關鍵詞：極值原理;最大模原理;偏微分方程MaximumprincipleanditsapplicationsAbstract：A
3、sitisknowntoallthatMaximumprincipleinaveryimportantroleinthestudyofpartialdifferentialequations.Inthispaper,Maximumprincipleofpartialdifferentialequationsaresummarized.Andalsogivesthenumberofapplicationsofthemaximumprinciple.Keywords:Maximumprinciple;Maximummodulu
4、sprinciple;partialdifferentialequations19新疆師范大學2012屆本科畢業(yè)論文極值原理及應用引言“極值”問題一直是數(shù)學研究的中心問題。無論是分析，代數(shù)與幾何都涉及不同的極值問題。其它的自然科學也是如此。偉大的哲學與數(shù)學家羅素在其專著《人類的知識》中有關因果律一節(jié)中論述到：按照愛因斯坦的說法，時空中充滿我們可以叫做小山的東西；每座小山越往上就越陡，在山頂還有一塊物質。結果是各地點之間最容易走的路途就是盤繞各小山的那個路途，引力存在于這個事實之上：物體總是走最容易的路徑，這就是那種叫做“短
5、程線”的東西。有一種叫做“最小作用原理”的宇宙惰性原理。這個定律表示一個物體從一個地點移動另外一個地點要選擇需要作出最小的功的路途，通過這個原理，引力才被時空的幾何學包括進去，數(shù)學上給予這個定理一個量化的描述就是：微分方程中的山路引理（mountainpass）。在微分方程的解的存在性問題中，我們經(jīng)常構造一個極小化序列，即ps序列并驗證ps序列滿足mountainpass條件。這個極小化序列的極限就是微分方程的解，就相當于：盤繞各個小山的那個路徑。眾所周知，極值原理在偏微分方程研究中具有十分重要的作用。本文中，我們對偏微分
6、方程的若干極值原理做了歸納總結。并且還給出了幾個極值原理的若干應用。以下我們分幾部分論述之。1.極值原理的內(nèi)容設Ω是n維歐氏空間的有界開區(qū)域，Ω的邊界記為，考慮比poisson方程更一般的方程，（1.1）我們假定當（1.2）對于方程（1.1）的最大模估計，條件(1.2）是十分重要的。1.1弱極值原理引理1.1設，函數(shù)且在Ω內(nèi)滿足，則u不能再Ω內(nèi)達到它在上的非負最大值。定理1（弱極值原理）設且在Ω上有界，且在Ω內(nèi)滿足，則u在上的非負最大值必在上達到，即其中19新疆師范大學2012屆本科畢業(yè)論文注1如果，則引理1.1與定理1中
7、的“非負最大值”可以用“最大值”代替。注2極值原理的物理意義是顯然的，對于一個穩(wěn)定溫度場，如果內(nèi)部有熱匯，那么溫度的最大值必在邊界達到。注3在定理1中，如果在Ω內(nèi)，u在上的非正最小值必在上達到，如果，則u在上的非負最大值和非正最小值都必在上達到。1.2強極值原理其中定理1只斷言u在上的非負最大值必在上達到，我們可以得到更強的結果，方程（1.1）的非常數(shù)解u的非負最大值不能再Ω內(nèi)達到，這就是“強極值原理”，為證明強極值原理，需要以下基本引理：引理1.2（邊界點引理）設S是的一個球，在S上且有界，如果且滿足條件，且當時，則，（
8、1.3）其中與在點的單位外法向量n的夾角小于。定理2（強極值原理）設Ω是有界連通開區(qū)域，在Ω上且有界，并滿足，如果u在Ω內(nèi)達到非負最大值，則u恒為常數(shù)。證明:記，考慮集合。由于u在Ω內(nèi)的連續(xù)性，顯然E相對于Ω是閉的，如果我們能證明E相對于Ω是開的，有Ω的連通性，則或，前者表示u在Ω上恒為常數(shù)M，后者表示
