高考數學復習資料專題19：數系擴充復數

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1、考綱導讀數系的擴充與復數的引入1、了解數系的擴充過程，體會實際需求與數學內部的矛盾（數的運算規(guī)則、方程理論）在數系擴充過程中的作用.2、理解復數的基本概念以及復數相等的充要條件3、了解復數的代數表示法及其幾何意義，能進行復數代數形式的四則運算，了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義.知識網絡高考導航重視復數的概念和運算，注意復數問題實數化.第1課時復數的有關概念基礎過關1．復數：形如的數叫做復數，其中a,b分別叫它的和．2．分類：設復數：(1)當＝0時，z為實數；(2)當0時，z為虛數；(3)當＝0,且0時，z為純虛數.3．復數相等：如果兩個復數相等且相等就說

2、這兩個復數相等.4．共軛復數：當兩個復數實部，虛部時．這兩個復數互為共軛復數．(當虛部不為零時，也可說成互為共軛虛數)．5．若z＝a＋bi,(a,bR),則

3、z

4、＝；z＝.6．復平面：建立直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面,x軸叫做，叫虛軸．7．復數z＝a＋bi(a,bR)與復平面上的點建立了一一對應的關系．8．兩個實數可以比較大小、但兩個復數如果不全是實數，就比較它們的大小.典型例題例1.m取何實數值時，復數z＝＋是實數？是純虛數？解：①z是實數②z為純虛數變式訓練1：當m分別為何實數時，復數z=m2－1＋(m2＋3m＋2)i是（1）實數？（2）虛數？（3

5、）純虛數？（4）零？解：（1）m=－1,m=－2；(2)m≠－1,m≠－2；（3）m=1；（4）m=－1．例2.已知x、y為共軛復數，且，求x．解：設代入由復數相等的概念可得變式訓練2：已知復數z=1＋i，如果=1－i,求實數a,b的值．由z=1＋i得==（a＋2)－(a＋b)i從而，解得．例3.若方程至少有一個實根，試求實數m的值.解：設實根為，代入利用復數相等的概念可得＝變式訓練3：若關于x的方程x2＋(t2＋3t＋tx)i=0有純虛數根，求實數t的值和該方程的根．解：t=－3,x1=0,x2=3i．提示：提示：設出方程的純虛數根，分別令實部、虛部為0，將

6、問題轉化成解方程組．例4.復數滿足，試求的最小值.設，則，于是變式訓練4：已知復平面內的點A、B對應的復數分別是、，其中，設對應的復數為.(1)求復數；(2)若復數對應的點P在直線上，求的值.解：(1)(2)將代入可得.小結歸納1．要理解和掌握復數為實數、虛數、純虛數、零時，對實部和虛部的約束條件.2．設z＝a＋bi(a，bR)，利用復數相等和有關性質將復數問題實數化是解決復數問題的常用方法.第2課時復數的代數形式及其運算基礎過關1．復數的加、減、乘、除運算按以下法則進行：設，則(1)＝；(2)＝；(3)＝().2．幾個重要的結論：⑴⑵＝＝.⑶若z為虛數，則＝

7、3．運算律⑴＝.⑵＝.⑶＝.典型例題例1．計算：解：提示：利用原式＝0變式訓練1：求復數（A）（B）（C）（D）解：故選C；例2.若，求解：提示：利用原式＝變式訓練2：已知復數z滿足z2＋1＝0，則（z6＋i）（z6－i）＝▲．解：2例3.已知，問是否存在復數z，使其滿足（aR），如果存在，求出z的值，如果不存在，說明理由解：提示：設利用復數相等的概念有變式訓練3：若，其中是虛數單位，則a＋b＝__________解：3例4.證明：在復數范圍內，方程（為虛數單位）無解．證明：原方程化簡為設、y∈R，代入上述方程得將（2）代入（1），整理得無實數解，∴原方程在復

8、數范圍內無解.變式訓練4：已知復數z1滿足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i為虛數單位，a∈R,若<，求a的取值范圍.解：由題意得z1＝＝2＋3i,于是==,=.小結歸納由<，得a2－8a＋7<0，1

9、則實數的值為（）A、-6B、13C.D.2．定義運算，則符合條件的復數對應的點在（）A．第一象限；B．第二象限；C．第三象限；D．第四象限；3．若復數是純虛數（是虛數單位），則實數（）A.－4；B.4；C.－1；D.1；4．復數=（）A．－IB．IC．2－iD．－2+i6．若復數在復平面上對應的點位于第二象限，則實數a的取值范圍是（）A．B．C．D．7．已知復數z滿足，則z＝（）(A)－1+i(B)1+i(C)1－i(D)－1－i8．若復數，且為純虛數，則實數為()A．1B．-1C．D．09．如果復數的實部和虛部相等，則實數等于（）（A）（B）（C）（D）10

10、．若z是復數，且，則的一個值為（）A．