兩條直線所成的角

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1、兩條直線所成的角　一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)一條直線與另一條直線所成角的概念及其公式，兩直線的夾角公式，能熟練運(yùn)用公式解題．(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)通過(guò)課題的引入，訓(xùn)練學(xué)生由特殊到一般，定性、定量逐層深入研究問(wèn)題的思想方法；通過(guò)公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力．(三)學(xué)科滲透點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生由特殊到一般，定性、定量逐步深入地研究問(wèn)題的習(xí)慣．二、教材分析1．重點(diǎn)：前面研究了兩條直線平行與垂直，本課時(shí)是對(duì)兩直線相交的情況作定量的研究．兩直線所成的角公式可由一條直線到另一條直線的角公式直接得到，教學(xué)時(shí)要講請(qǐng)l1、l2的公式的推導(dǎo)方法及這一公

2、式的應(yīng)用．2，難點(diǎn)：公式的記憶與應(yīng)用．3．疑點(diǎn)：推導(dǎo)l1、l2的角公式時(shí)的構(gòu)圖的分類依據(jù)．三、活動(dòng)設(shè)計(jì)分析、啟發(fā)、講練結(jié)合．四、教學(xué)過(guò)程(一)引入新課我們已經(jīng)研究了直角坐標(biāo)平面兩條直線平行與垂直的情況，對(duì)于兩條相交直線，怎樣根據(jù)它們的直線方程求它們所成的角是我們下面要解決的問(wèn)題．(二)l1到l2的角正切兩條直線l1和l2相交構(gòu)成四個(gè)角，它們是兩對(duì)對(duì)頂角．為了區(qū)別這些角，我們把直線l1依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角，叫做l1到l2的角．圖1-27中，直線l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2(θ1+θ2=180°)．l1到l2

3、的角有三個(gè)要點(diǎn)：始邊、終邊和旋轉(zhuǎn)方向．現(xiàn)在我們來(lái)求斜率分別為k1、k2的兩條直線l1到l2的角，設(shè)已知直線的方程分別是l1∶y=k1x+b1　l2∶y=k2x+b2如果1+k1k2=0，那么θ=90°，下面研究1+k1k2≠0的情形．由于直線的方向是由直線的傾角決定的，所以我們從研究θ與l1和l2的傾角的關(guān)系入手考慮問(wèn)題．設(shè)l1、l2的傾斜角分別是α1和α2(圖1-32)，甲圖的特征是l1到l2的角是l1、l2和x軸圍成的三角形的內(nèi)角；乙圖的特征是l1到l2的角是l1、l2與x軸圍成的三角形的外角．tgα1=k1，　tgα2=k2．∵θ

4、=α2-α1(圖1-32)，或θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，∴tgθ=tg(α2-α1)．或tgθ=tg[π(α2-α1)]=tg(α2-α1)．可得即eqx()上面的關(guān)系記憶時(shí)，可抓住分子是終邊斜率減始邊斜率的特征進(jìn)行記憶．(三)夾角公式從一條直線到另一條直線的角，可能不大于直角，也可能大于直角，但我們常常只需要考慮不大于直角的角(就是兩條直線所成的角，簡(jiǎn)稱夾角)就可以了，這時(shí)可以用下面的公式(四)例題解：k1=-2，k2=1．∴θ=arctg3≈71°34′．本例題用來(lái)熟悉夾角公式．例2　已知直線l1：　A1x+B1

5、y+C1=0和l2：　A2x+B2y+C2=0(B1≠0、B2≠0、A1A2+B1B2≠0)，l1到l2的角是θ，求證：證明：設(shè)兩條直線l1、l2的斜率分別為k1、k2，則這個(gè)例題用來(lái)熟悉直線l1到l2的角．例3等腰三角形一腰所在的直線l1的方程是x-2y-2=0，底邊所在的直線l2的方程是x+y-1=0，點(diǎn)(-2，0)在另一腰上，求這腰所在直線l3的方程．解：先作圖演示一腰到底的角與底到另一腰的角相等，并且與兩腰到底的角與底到另一腰的角相等，并且與兩腰的順序無(wú)關(guān)．設(shè)l1、l2、l3的斜率分別是k1、k2、k3，l1到l2的角是θ1，l

6、2到l3的角是θ2，則．因?yàn)閘1、l2、l3所圍成的三角形是等腰三角形，所以θ1=θ2．tgθ2=tgθ1=-3．解得　k3=2．因?yàn)閘3經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2，0)，斜率為2，寫出點(diǎn)斜式為y=2[x-(-2)]，即　2x-y+4=0．這就是直線l3的方程．講此例題時(shí)，一定要說(shuō)明：無(wú)須作圖，任一腰到底的角與底到另一腰的角都相等，要為銳角都為銳角，要為鈍角都為鈍角．(五)課后小結(jié)(1)l1到l2的角的概念及l(fā)1與l2夾角的概念；(2)l1到l2的角的正切公式；(3)l1與l2的夾角的正切公式；(4)等腰三角形中，一腰所在直線到底面所在直線的角，等于

7、底邊所在直線到另一腰所在直線的角．五、布置作業(yè)1．(教材第32頁(yè)，1．8練習(xí)第1題)求下列直線l1到l2的角與l2到l1的角：∴θ1=45°．l2到l1的角θ2=π-θ1=arctg3．2．(教材第32頁(yè)，1．8練習(xí)第2題)求下列直線的夾角：∵k1·k2=-1，∴l(xiāng)1與l2的夾角是90°．(2)k1=1，　k2=0．兩直線的夾角為45°．∴l(xiāng)1與l2的夾角是90°．3．(習(xí)題三第10題)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(2，1)，且和直線5x+2y+3=0的夾角為45o，求直線l的方程．即3x+7y-13=0或7x-3y-11=0．4．等腰三角形一腰

8、所在的直線l1的方程是2x-y+4=0，底面所在的直線l2的方程是x+y-1=0，點(diǎn)(-2，0)在另一腰上，求這腰所在的直線l3的方程．解：這是本課例3將l1與l3互換的變形題，解法與例3相同，所求方程為：